構造旋轉中心，妙解幾何問題

摘要：旋轉變換是幾何圖形的基本變換之一，在中考數學中有著廣泛的應用.解決此類問題時，如果能抓住圖形的某些幾何特征，借助旋轉變換，往往能巧妙地構造出輔助線，從而順利找到解決問題的路徑，最終為提升學生數學核心素養奠定基礎.

關鍵詞：旋轉相似；旋轉中心；四點共圓；尺規作圖

初中幾何涉及圖形變換的內容主要包括平移、對稱和旋轉.其中，旋轉變換是幾何三大變換中最難的一種，也是每年中考數學重點考查的知識.例如，2023年南京中考數學第27題，就是一道非常典型的突出考查旋轉變換的壓軸題，對學生的空間想象能力和邏輯思維能力有著較高的要求.

本文主要探討解決初中幾何復雜問題的一種構造旋轉中心的幾何變換方法，從而幫助學生深入理解幾何圖形的性質及數學原理，為培養學生的幾何空間想象能力和邏輯推理能力搭建好一座橋梁.

1回顧舊問題

學生在八年級下學期，已經學過旋轉中心的作法.具體的問題與作法如下.

問題如圖1所示，已知線段AB繞某一定點旋轉至線段A′B′，請用尺規作出旋轉中心點P.

分析：旋轉中心到每組對應點的距離相等，即PA＝PA′，PB＝PB′，則點P是線段AA′、BB′的垂直平分線的交點.

作法：如圖2所示，連接AA′、BB′，作這兩條線段的垂直平分線，交點P即為旋轉中心

2提出新問題

由舊問題出發，平面內有兩條長度不等的線段，是否可以通過旋轉變換的方式得到，繼而找到它的旋轉中心呢？

經過探索發現，兩條線段可以通過旋轉變換得到，且旋轉中心可以確定位置.畫出草圖，分析圖形特點，發現通過尺規作圖，可以作出旋轉中心，具體的問題與作法如下.

問題如圖3所示，已知線段AB繞某一定點P旋轉并縮放得到線段A′B′，請用尺規作出旋轉中心點P.

分析：如圖4所示，延長BA、A′B′交于點M.由旋轉性質，易得△PAB∽△PA′B′，則∠BAP＝∠B′A′P，所以∠PAM＋∠B′A′P＝180°，所以A、M、A′、P四點共圓，即點P在三個定點A、A′、M的外接圓上.同理，點P也在三個定點B、B′、M的外接圓上，則兩圓交點即為點P.

作法：如圖5所示，過三點A、A′、M作外接圓，過三點B、B′、M作外接圓，兩圓交于點P，即為所求.

特殊地，當這兩條線段處于某些特殊位置時，點M的存在情況需要討論，對此進行特例分析：當AB∥A′B′時，易得點M不存在；當M與已知一點重合時（如圖6），此時點M與點A重合，則只能作出B、B′、A的外接圓，

那如何確定點P呢？

由旋轉角相等，得∠APA′＝∠BPB′＝180°－∠BAB′.

因為∠BAB′為定角，所以∠APA′為定角，則點P可作.

3例題探究

通過以上探究，旋轉中心位置的確定可形成一種基本尺規作圖的方法，那么這種方法能否解決相關幾何問題.以2023年遼寧省大連市九上期末數學卷第27題為例，通過以上方法來繼續探究.

問題如圖7所示，在△ABC中，當∠A＝60°時，點D、E為AC、AB上的點，CD＝BE，∠CED＝30°，若BC＝7，CE＝5，則線段ED＝" " " " " ""。

分析：如圖8所示，聚焦線段BE和CD，假定兩條線段的旋轉中心在DE上方，故作△ABC和△AED的外接圓，兩圓交點即為旋轉中心O.

易得△OBE≌△OCD，且△OBC和△OED均為等邊三角形.

∴OE＝ED，OC＝BC，∠OED＝60°.

又∠CED＝30°，∴∠OEC＝90°，∴△OEC為直角三角形，∴EO2＋CE2＝OC2.

又OE＝ED，OC＝BC＝7，CE＝5.

∴EO＝26，∴ED＝EO＝26.

有些時候，題目的條件比較特殊，無法通過兩個外接圓的交點來確定旋轉中心，可以作一個外接圓，疊加相似比的條件來確定旋轉中心，以2023年達州中考第15題為例，來說明這個方法.

問題如圖9所示，在△ABC中，AB＝43，∠C＝60°，在邊BC上有一點P，且點BP＝12AC，連接AP，則AP的最小值為.

分析：作△ABC的外接圓，在外接圓上存在一點D，滿足DA＝2DB，∠ADB＝60°，易得△ABD是有一個角為30°的直角三角形，即點D為旋轉中心且BD＝4.

如圖10所示，連接DC、DP，因為BP＝12AC，BD＝12AD，∠PBD＝∠CAD，所以△PBD∽△CAD，所以∠DPB＝∠DCA＝90°，所以點P的軌跡為以BD中點O為圓心、BD為直徑的圓，所以AO＝AB2＋BO2＝（43）2＋22＝213，所以AP的最小值為213－2.

4結語

由已學過的全等旋轉中心知識，合情推理相似旋轉中心知識，繼而探索論證過程，這個過程展現了邏輯推理的魅力，即《義務教育數學課程標準（2022年版）》所指的從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力.［1］

數學的教與學，是不斷精進的.教師一方面在教學，另一方面更是學習的主體.在平時的教學之外，教師需要廣泛涉獵，大膽提出新的問題，才能夠在教學過程中不斷激發引導學生，提升學生的數學核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.