巧思維切入，妙方法解決

摘要：平面解析幾何中的最值或最值范圍問題是高考試卷中的一個創新點與難點所在，常考常新，變化多樣.本文結合一道解析幾何最值問題的求解，從不同思維視角切入，借助不同技巧方法解決，開拓學生的解題思路，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：解析幾何；最值；三角函數；參數方程

平面解析幾何中的最值或最值范圍問題，一直是模擬考試、高考、自主招生以及競賽等考試命題的熱點與難點之一，其涵蓋各種題型，命題角度廣，倍受命題者青睞.同時，平面解析幾何中的最值或最值范圍問題形式多變，創新靈活，難度較高，但其基本解題思路與技巧方法仍然有章可循，有法可依.

1問題呈現

問題［2023年安徽省阜陽市臨泉一中高考數學（三模）試卷第16題］已知A，B分別為圓（x－1）2＋y2=1與圓（x＋2）2＋y2=4上的點，O為坐標原點，則△OAB面積的最大值為.

2問題剖析

本題以平面解析幾何中兩圓方程的直接給出為場景創設，設置兩定圓上的“雙動點”以及兩定圓的“切點”，合理構建一個“動態”的三角形，“動”中涉及一些相應的常值或最值問題，“動”中取“靜”，進而確定相關三角形面積的最大值，實現“動”“靜”的巧妙結合與轉化.

以圍繞一定軌跡的“雙動點”來合理設置“動態”問題，利用“動態”變化過程中相關數值或變量的最值（或取值范圍等）的求解來設計“靜態”結論，“動”“靜”結合，定值與最值融合，以簡單場景中滲透復雜思維，巧妙融合了平面幾何、平面解析幾何、解三角形、三角函數以及函數與導數等基本知識，是一道具有較強創新性、交匯性、綜合性的應用問題，呈現方式新穎.

3問題破解

方法1：三角函數法.

如圖1所示，根據對稱性，不失一般性，記圓M與x軸的另一個交點為C，設∠AOC=α∈－π2，π2.

記圓N與x軸的另一個交點為D，設∠BOD=β∈0，π2，可得OA=2cosα，OB=4cosβ，所以S△OAB=12OA·OBsin（π－α－β）=4cosαcosβ·sin（α＋β）=4cosαcosβ（sinαcosβ＋cosαsinβ）=4sinαcosαcos2β＋4cos2αsinβcosβ=sin2α（1＋cos2β）＋sin2β（1＋cos2α）=sin2α＋sin2α·cos2β＋（1＋cos2α）sin2β=sin2α＋sin22α＋（1＋cos2α）2·sin（2β＋φ）≤sin2α＋sin22α＋（1＋cos2α）2=sin2α＋2＋2cos2α=sin2α＋2cosα.""構造函數f（α）=sin2α＋2cosα，α∈－π2，π2，求導可得f′（α）=2cos2α－2sinα=－2（2sinα－1）（sinα＋1）.

令f′（α）=0，解得sinα=12，即α=π6，所以函數f（α）在區間－π2，π6上單調遞增，在區間π6，π2上單調遞減，所以f（α）≤fπ6=332，當且僅當α=π6，β=π6時等號成立，所以△OAB面積的最大值為332，故填答案332.

方法2：參數方程法.

結合圓的參數方程，根據對稱性，不失一般性，可設A（1＋cosα，sinα），α∈［0，π），B（－2＋2cosβ，2sinβ），β∈（0，π］，結合三角形面積公式的向量形式，可得S△OAB=12|（1＋cosα）·2sinβ－sinα·（－2＋2cosβ）|=sinα＋（1＋cosα）sinβ－sinαcosβ=sinα＋（1＋cosα）2＋sin2αsin（β＋φ）≤sinα＋（1＋cosα）2＋sin2α=sinα＋2＋2cosα=sinα＋2cosα2.

以下部分與方法1中相似，所以△OAB面積的最大值為332，故填答案332.

解后反思：根據題設引入兩個“角參”，將問題轉化為三角函數的最值問題，是解決此類問題比較常見的思維方式.特別要注意的是，在解決含有雙變量的三角函數最值問題時，要合理借助主元法思維，通過輔助角公式的應用轉化為單變量的三角函數的最值問題.解題思路明了清晰，但解題過程繁雜漫長.

方法3：平面幾何法.

如圖2所示，根據對稱性，不失一般性，過點B作OA的反向延長線的垂線，垂足為點H.

記圓M與x軸的另一個交點為C，設∠AOC=α∈0，π2，數形結合可知BH≤BN＋NH=2＋AC=2＋2sinα，所以S△OAB=12OA·BH≤12×2cosα×（2＋2sinα）=2cosα（1＋sinα）=sin2α＋2cosα.""以下同方法1，所以△OAB面積的最大值為332，故填答案332.

解后反思：根據解析幾何問題的實質，借助平面幾何的內涵與直觀，通過幾何直觀，利用圖形的“動態”直觀來確定三角形面積最大時的條件，合理構建單變量的三角函數的最值，同樣利用導數法來分析與應用.相比方法1，本方法變量少，直觀性強，避免了繁雜的三角恒等變換以及雙變量的優化過程，操作起來更加簡單快捷.

方法4：幾何轉化法.

根據題意，如圖3所示，以ON為直徑畫圓，BO交新圓于點F，延長AO交新圓于點E，連接FE，NE，NF，則NF與OB垂直.

又NB=NO=2，故F為BO的中點，由對稱性可得OE=OA，S△OAB=12OA·OBsin∠AOB，S△OBE=12OB·OEsin（π－∠AOB）=12OB·OEsin∠AOB.

可得S△OAB=S△OBE=2S△OEF，則當S△OEF取得最大值時，S△OAB最大，故原問題轉化為在半徑為1的圓內接△OEF面積的最大值問題.對于半徑為1的圓內接△OEF，當其為正三角形時，面積最大，最大值為12sin2π3×3=334，所以△OAB面積的最大值為2×334=332，故填答案332.

解后反思：根據題設，將兩定圓上雙動點與兩定圓切點所構成的三角形的面積問題，借助平面幾何方法轉化到同一圓上雙動點與一定點所構成的三角形的面積問題，通過平面幾何直觀以及輔助線的構建，利用化歸進行兩次轉化，有效優化繁雜的公式變形與數學運算.

4變式拓展

變式1已知A，B分別為圓（x－1）2＋y2=1與圓（x＋2）2＋y2=4上的點，O為坐標原點，若OP=OA＋OB，則四邊形OAPB面積的最大值為" " " " nbsp; " " " " " " """ .

分析：該變式問題在原問題的基礎上，增加條件OP=OA＋OB，此時四邊形OAPB就是以OA、OB為鄰邊的平行四邊形，則四邊形OAPB面積恰好是△OAB面積的2倍.具體解析可以直接參考原問題的解析過程.

變式2已知A，B分別為圓（x－1）2＋y2=1與圓（x＋2）2＋y2=4上的點，O為坐標原點，若OP=OA＋OB，則△PAB面積的最大值為" " " " " " "".

分析：變式2與變式1類似，從另一個角度來合理變式與應用.

5教學啟示

5.1巧妙場景創設，創新知識交匯

借助平面解析幾何的場景創設，以平面直角坐標系為背景，以平面解析幾何中的點、直線、圓以及圓錐曲線等為媒介，可以很好融合進平面幾何、函數與方程、三角函數、不等式、解三角形與平面向量、函數與導數等相關知識，進行綜合應用與綜合考查，是實現多知識點交匯的一個重要場所，要多加關注.

5.2倡導“一題多解”，實現“一題多得”

涉及平面解析幾何的最值或取值范圍等綜合應用問題，體現了多知識點、多知識模塊之間的交匯與融合.教師通過多知識點的交匯應用，抓住不同知識以不同思維視角切入，實現多技巧方法破解，并加以深入分析、挖掘、探究、拓展與應用，引導學生充分挖掘這一典型的綜合應用問題，達到“一題多思”“一題多解”“一題多變”的目的，在此基礎上加以不斷提升，實現“一題多得”等目的，從而使學生能夠充分復習、鞏固、總結數學相關知識和數學思想方法.這類問題全面考查了學生的數學思想與數學能力，為學生養成良好的思維習慣，優良的數學品質以及數學核心素養等方面都有極大裨益.