巧思維切入，妙方法解決

摘要：平面解析幾何中的最值或最值范圍問題是高考試卷中的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)與難點(diǎn)所在，常考常新，變化多樣.本文結(jié)合一道解析幾何最值問題的求解，從不同思維視角切入，借助不同技巧方法解決，開拓學(xué)生的解題思路，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：解析幾何；最值；三角函數(shù)；參數(shù)方程

平面解析幾何中的最值或最值范圍問題，一直是模擬考試、高考、自主招生以及競(jìng)賽等考試命題的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一，其涵蓋各種題型，命題角度廣，倍受命題者青睞.同時(shí)，平面解析幾何中的最值或最值范圍問題形式多變，創(chuàng)新靈活，難度較高，但其基本解題思路與技巧方法仍然有章可循，有法可依.

1問題呈現(xiàn)

問題［2023年安徽省阜陽市臨泉一中高考數(shù)學(xué)（三模）試卷第16題］已知A，B分別為圓（x－1）2＋y2=1與圓（x＋2）2＋y2=4上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB面積的最大值為.

2問題剖析

本題以平面解析幾何中兩圓方程的直接給出為場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，設(shè)置兩定圓上的“雙動(dòng)點(diǎn)”以及兩定圓的“切點(diǎn)”，合理構(gòu)建一個(gè)“動(dòng)態(tài)”的三角形，“動(dòng)”中涉及一些相應(yīng)的常值或最值問題，“動(dòng)”中取“靜”，進(jìn)而確定相關(guān)三角形面積的最大值，實(shí)現(xiàn)“動(dòng)”“靜”的巧妙結(jié)合與轉(zhuǎn)化.

以圍繞一定軌跡的“雙動(dòng)點(diǎn)”來合理設(shè)置“動(dòng)態(tài)”問題，利用“動(dòng)態(tài)”變化過程中相關(guān)數(shù)值或變量的最值（或取值范圍等）的求解來設(shè)計(jì)“靜態(tài)”結(jié)論，“動(dòng)”“靜”結(jié)合，定值與最值融合，以簡(jiǎn)單場(chǎng)景中滲透復(fù)雜思維，巧妙融合了平面幾何、平面解析幾何、解三角形、三角函數(shù)以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，是一道具有較強(qiáng)創(chuàng)新性、交匯性、綜合性的應(yīng)用問題，呈現(xiàn)方式新穎.

3問題破解

方法1：三角函數(shù)法.

如圖1所示，根據(jù)對(duì)稱性，不失一般性，記圓M與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，設(shè)∠AOC=α∈－π2，π2.

記圓N與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，設(shè)∠BOD=β∈0，π2，可得OA=2cosα，OB=4cosβ，所以S△OAB=12OA·OBsin（π－α－β）=4cosαcosβ·sin（α＋β）=4cosαcosβ（sinαcosβ＋cosαsinβ）=4sinαcosαcos2β＋4cos2αsinβcosβ=sin2α（1＋cos2β）＋sin2β（1＋cos2α）=sin2α＋sin2α·cos2β＋（1＋cos2α）sin2β=sin2α＋sin22α＋（1＋cos2α）2·sin（2β＋φ）≤sin2α＋sin22α＋（1＋cos2α）2=sin2α＋2＋2cos2α=sin2α＋2cosα.""構(gòu)造函數(shù)f（α）=sin2α＋2cosα，α∈－π2，π2，求導(dǎo)可得f′（α）=2cos2α－2sinα=－2（2sinα－1）（sinα＋1）.

令f′（α）=0，解得sinα=12，即α=π6，所以函數(shù)f（α）在區(qū)間－π2，π6上單調(diào)遞增，在區(qū)間π6，π2上單調(diào)遞減，所以f（α）≤fπ6=332，當(dāng)且僅當(dāng)α=π6，β=π6時(shí)等號(hào)成立，所以△OAB面積的最大值為332，故填答案332.

方法2：參數(shù)方程法.

結(jié)合圓的參數(shù)方程，根據(jù)對(duì)稱性，不失一般性，可設(shè)A（1＋cosα，sinα），α∈［0，π），B（－2＋2cosβ，2sinβ），β∈（0，π］，結(jié)合三角形面積公式的向量形式，可得S△OAB=12|（1＋cosα）·2sinβ－sinα·（－2＋2cosβ）|=sinα＋（1＋cosα）sinβ－sinαcosβ=sinα＋（1＋cosα）2＋sin2αsin（β＋φ）≤sinα＋（1＋cosα）2＋sin2α=sinα＋2＋2cosα=sinα＋2cosα2.

以下部分與方法1中相似，所以△OAB面積的最大值為332，故填答案332.

解后反思：根據(jù)題設(shè)引入兩個(gè)“角參”，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，是解決此類問題比較常見的思維方式.特別要注意的是，在解決含有雙變量的三角函數(shù)最值問題時(shí)，要合理借助主元法思維，通過輔助角公式的應(yīng)用轉(zhuǎn)化為單變量的三角函數(shù)的最值問題.解題思路明了清晰，但解題過程繁雜漫長(zhǎng).

方法3：平面幾何法.

如圖2所示，根據(jù)對(duì)稱性，不失一般性，過點(diǎn)B作OA的反向延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)H.

記圓M與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，設(shè)∠AOC=α∈0，π2，數(shù)形結(jié)合可知BH≤BN＋NH=2＋AC=2＋2sinα，所以S△OAB=12OA·BH≤12×2cosα×（2＋2sinα）=2cosα（1＋sinα）=sin2α＋2cosα.""以下同方法1，所以△OAB面積的最大值為332，故填答案332.

解后反思：根據(jù)解析幾何問題的實(shí)質(zhì)，借助平面幾何的內(nèi)涵與直觀，通過幾何直觀，利用圖形的“動(dòng)態(tài)”直觀來確定三角形面積最大時(shí)的條件，合理構(gòu)建單變量的三角函數(shù)的最值，同樣利用導(dǎo)數(shù)法來分析與應(yīng)用.相比方法1，本方法變量少，直觀性強(qiáng)，避免了繁雜的三角恒等變換以及雙變量的優(yōu)化過程，操作起來更加簡(jiǎn)單快捷.

方法4：幾何轉(zhuǎn)化法.

根據(jù)題意，如圖3所示，以O(shè)N為直徑畫圓，BO交新圓于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AO交新圓于點(diǎn)E，連接FE，NE，NF，則NF與OB垂直.

又NB=NO=2，故F為BO的中點(diǎn)，由對(duì)稱性可得OE=OA，S△OAB=12OA·OBsin∠AOB，S△OBE=12OB·OEsin（π－∠AOB）=12OB·OEsin∠AOB.

可得S△OAB=S△OBE=2S△OEF，則當(dāng)S△OEF取得最大值時(shí)，S△OAB最大，故原問題轉(zhuǎn)化為在半徑為1的圓內(nèi)接△OEF面積的最大值問題.對(duì)于半徑為1的圓內(nèi)接△OEF，當(dāng)其為正三角形時(shí)，面積最大，最大值為12sin2π3×3=334，所以△OAB面積的最大值為2×334=332，故填答案332.

解后反思：根據(jù)題設(shè)，將兩定圓上雙動(dòng)點(diǎn)與兩定圓切點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積問題，借助平面幾何方法轉(zhuǎn)化到同一圓上雙動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積問題，通過平面幾何直觀以及輔助線的構(gòu)建，利用化歸進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)化，有效優(yōu)化繁雜的公式變形與數(shù)學(xué)運(yùn)算.

4變式拓展

變式1已知A，B分別為圓（x－1）2＋y2=1與圓（x＋2）2＋y2=4上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP=OA＋OB，則四邊形OAPB面積的最大值為" " " " nbsp; " " " " " " """ .

分析：該變式問題在原問題的基礎(chǔ)上，增加條件OP=OA＋OB，此時(shí)四邊形OAPB就是以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形，則四邊形OAPB面積恰好是△OAB面積的2倍.具體解析可以直接參考原問題的解析過程.

變式2已知A，B分別為圓（x－1）2＋y2=1與圓（x＋2）2＋y2=4上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP=OA＋OB，則△PAB面積的最大值為" " " " " " "".

分析：變式2與變式1類似，從另一個(gè)角度來合理變式與應(yīng)用.

5教學(xué)啟示

5.1巧妙場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，創(chuàng)新知識(shí)交匯

借助平面解析幾何的場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，以平面直角坐標(biāo)系為背景，以平面解析幾何中的點(diǎn)、直線、圓以及圓錐曲線等為媒介，可以很好融合進(jìn)平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式、解三角形與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行綜合應(yīng)用與綜合考查，是實(shí)現(xiàn)多知識(shí)點(diǎn)交匯的一個(gè)重要場(chǎng)所，要多加關(guān)注.

5.2倡導(dǎo)“一題多解”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”

涉及平面解析幾何的最值或取值范圍等綜合應(yīng)用問題，體現(xiàn)了多知識(shí)點(diǎn)、多知識(shí)模塊之間的交匯與融合.教師通過多知識(shí)點(diǎn)的交匯應(yīng)用，抓住不同知識(shí)以不同思維視角切入，實(shí)現(xiàn)多技巧方法破解，并加以深入分析、挖掘、探究、拓展與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘這一典型的綜合應(yīng)用問題，達(dá)到“一題多思”“一題多解”“一題多變”的目的，在此基礎(chǔ)上加以不斷提升，實(shí)現(xiàn)“一題多得”等目的，從而使學(xué)生能夠充分復(fù)習(xí)、鞏固、總結(jié)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法.這類問題全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面都有極大裨益.