跨學科教學設計：以靜電場中的高斯定理為例

摘"要：跨學科教學設計是當前高等教育領域的一項重要創新方法。靜電場中的高斯定理不僅是物理學中的重要理論，還要求扎實的數學基礎。以該知識點為例，探討如何使用BOPPPS教學模式進行“大學物理”和“高等數學”的跨學科教學設計。通過深度剖析靜電場中的高斯定理，并結合具體的教學設計，幫助學生在物理學和數學的交叉領域中應用所學知識，提高綜合素質和深度理解能力。跨學科教學不僅為學生提供了更廣闊的視野，培養他們解決復雜問題的能力，還能夠促進不同知識領域的有機融合，有助于在知識與技能的交叉領域中形成更高水平的創新思維。

關鍵詞：BOPPPS；跨學科教學；大學物理；高等數學；高斯定理

一、研究背景

現代高等教育追求全面素質教育，培養跨學科綜合能力成為教學改革的重要方向。物理強調理解、實驗驗證及應用，要求學生具備強數學基礎，但學生常難以將數學工具應用于物理問題［1］，知識割裂影響學習效果和應用能力。將“大學物理”和“高等數學”相結合，能使學生更好地理解物理現象，掌握數學工具，提高解決復雜問題的能力［2］。

靜電場中的高斯定理是“大學物理”的重要內容［3］，而高斯定理的數學模型是“高等數學”中的難點［4］，跨學科教學設計幫助學生將物理和數學有機結合，更全面地理解復雜概念，提升應用能力和綜合素質。

BOPPPS模式包含引入、目標、前測、參與性學習、后測和總結環節。其教學框架清晰，有助學生深入理解和掌握知識。

本文探討如何運用BOPPPS模式，將“大學物理”和“高等數學”相結合，設計一堂以靜電場中的高斯定理為主題的跨學科課程。

二、以靜電場中高斯定理為例的BOPPPS跨學科課程設計

（一）引入（BridgeIn）

從學生熟悉的電場強度通量φe（電通量）和電場線概念著手，提出激發他們好奇心的問題并展開討論。

例如，想象帶電氣球周圍有電場線從氣球表面穿出。若用紙徹底包住氣球，穿過紙面的電場線如何？換不同形狀的紙或膜包住氣球，電場線數量和分布又如何？是否影響我們計算φe？引導學生思考閉合面內部電荷與φe的關系，正是高斯定理解決的核心問題。

學生發言討論，教師引出這些物理問題中的數學背景：數學工具可以把復雜的場問題轉化為簡單的積分問題。利用已知概念激發學生對問題變化和普遍性的好奇心，引發興趣，并為高斯定理介紹鋪墊邏輯基礎。

（二）目標（Objective）

（1）掌握高斯定理的數學表達和物理意義。

（2）掌握高斯面的選取方法。

（3）掌握高斯定理計算E的條件和方法。

（三）前測（PreAssessment）

通過測驗或提問了解學生已有知識水平。

前測題1：如圖1（a），一電量為q的點電荷位于正方體中心，通過其中一側面的φe為多少？

解析：題中點電荷產生非勻強電場E=q4πε0r3r，通過其中一個側面的φe等于通過該面上所有面元dS的通量之和，φe=∫SE·dS。設q到其中一面上dS的位矢為r，此dS外法線方向單位矢量en［定義如圖1（b）］與dS處E之間的夾角為θ，則穿過dS的電通量dφe=E·dS=EdScosθ。將E代入得dφe=q4πε0r2dScosθ。由幾何知識，dScosθr2為dS對電荷處的立體角dΩ，從點電荷到各面的立體角均為4π6，故φe=q6ε0。

考查學生關于點電荷E、φe的定義、“高等數學”中取微元的思想和幾何知識，需要學生能靈活運用已學的物理和數學知識進行解答。

前測題2：將上一題中的正方體換為一個不規則的密封塑料袋，通過塑料袋的φe為多少？

解析：學生難免疑惑，塑料袋表面并不規則，似乎很難計算φe，需要學生發散思考。不難發現，與上一題中使用同樣的數學思想就可得到φe=q4πε0∫SdΩ，由幾何知識，一個點對全空間的立體角為4π，代入得φe=qε0。

此題基于學生已計算過立方體中心點電荷的φe，只需引導此思想適用于任意閉合面。

（四）參與性學習（Participatory"Learning）

（1）互動討論。組織學生重點討論不同情況下穿過某一曲面的φe。通過分組討論，促進互動和理解。

將課堂分組，每組討論一個模型中穿過曲面的φe：①點電荷在球面中心；②點電荷在閉合面內；③點電荷在閉合面外。每組展示討論結果，教師總結規律：點電荷系的電通量φe=∮SE·dS=1ε0∑ni=1qin，即在真空中靜電場，穿過任一閉合曲面（高斯面）的電通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數和除以ε0，這就是真空中靜電場的高斯定理。

可以看出，高斯面內有電荷才有電通量，故電荷是靜電場之源；若高斯面內包含正電荷，電場線向外發散，通過高斯面的電通量為正；若為負電荷，電場線則指向電荷點，電通量為負，體現了靜電場的發散性。故高斯定理的物理含義為：靜電場是有源場、發散場。

（2）理論講解。以往教學發現，學生在學習高斯定理時常遇到高斯面的選擇和數學計算問題［5］，因此需針對這些內容進行梳理講解。

使用φe=∮SE·dS=1ε0∑ni=1qin求解E分布的關鍵在于高斯面的選取，使積分式中的E從積分號中提出來。首先是方向，有兩種簡單情況：dS上各點E方向與高斯面外法線方向單位矢量en垂直或平行，E⊥en時E·dS=EdScosπ2=0，而E∥en時E·dS=EdScos0=EdS。其次是大小，當E∥en時，高斯面上各點E大小相等，有：∮SE·dS=E∫S⊥dS=1ε0∑ni=1qin。通過選擇合適的高斯面可將E的矢量符號去掉且從積分中提出，簡化了計算。

通過向學生展示高斯定理中的數學思想，深刻分析高斯面的選取和數學計算，使學生能將“高等數學”的知識運用到“大學物理”的實際問題中。

（3）案例分析。

例1：有一個半徑為R，均勻帶電Q的球體。求球體內外任意點的E。

該帶電球體模型如圖2（a），為選取合適的高斯面，該模型球對稱，球體內外的E均垂直于該點的球表面。為使高斯面上E大小處處相等，且E與面元垂直或平行，因此選擇一個與該球面同心的閉合球面作為高斯面，半徑為r。高斯面滿足E∥en，可得E·dS=EdS。當0＜r＜R時，高斯面內電荷量由體積的百分比計算，故∮S1E·dS=1ε0∑qin，即E·4πr2=1ε0ρ43πr3，得E=Qr4πε0R3；當r＞R時，高斯面內電荷為整個球體電荷Q，由高斯定理∮S2E·dS=E·4πr2=Qε0，得E=Q4πε0r2。

。

將帶電直線看作一個不具有直徑的圓柱體［圖2（b）中的中央深色圓柱體］。該模型軸對稱，其E垂直于直線表面向外［圖2（b）中的中央向外發散的箭頭］。與上一題同樣的思路，選擇與該圓柱同軸的閉合柱面為高斯面，半徑為r，高度為h。高斯面由上、下底面和圓柱側面構成，兩底面滿足E⊥en，則E·dS=0；側面滿足E∥en，即E·dS=EdS。故∮SE·dS=E·2πrh=1ε0∑qin=λhε0，得E=λ2πε0r。

要求學生靈活運用“大學物理”的高斯定理和“高等數學”中閉合曲面的選取及積分。

（五）后測（PostAssessment）

通過課后思考對學生的學習效果進行評估，形式可以是習題或開放性問題。要求學生按照課上所展示的解題思路對問題進行解答。

例如，讓學生求解距一個電荷面密度為σ的無限大均勻帶電平面r處的E，并分析無限大帶電平面所分割的空間中電場疊加問題。

還可布置擴展性任務，如讓學生使用COMSOL對不同帶電體的E分布進行探索。如圖3所示為使用COMSOL對一個半徑5m，電荷面密度10C/m2的帶電球面，在空氣中的E分布進行了仿真。

通過后測加深學生對高斯定理的理解，培養用數學工具和仿真軟件解決物理問題的能力，激發學習興趣，使學習過程更生動豐富。

（六）總結（Summary）

課程最后，用思維導圖對本次課進行總結，如圖4所示。

結語

跨學科教學設計在高等教育中展現了獨特的優勢和創新潛力。通過以靜電場中的高斯定理為例，采用BOPPPS模式進行“大學物理”和“高等數學”的跨學科教學，不僅提高學生的綜合素質和深度理解能力，還能拓寬視野，增強解決復雜問題的能力。這種教改模式豐富了教學內容并且有效打破了學科之間的壁壘，實現了知識的有機整合，為學生未來的學習和職業發展奠定了堅實的基礎，體現了跨學科教育的深遠意義和廣闊前景。

參考文獻：

［1］智春艷.高等數學與大學物理相結合教學初探［J］.科技風，2024（13）：107109.

［2］馮超魏勇張素紅.新工科背景下“大學物理”與“高等數學”教學融合研究［J］.科教導刊，2024（03）：98100.

［3］黃毅，覃忠成，莫曉華，等.基于BOPPPS模型的大學物理課堂教學設計：以“高斯定理”為例［J］.科技風，2020（23）：39.

［4］李慶容.基于物理意義下的高斯公式教學探究［J］.科教導刊：中旬刊，2020（02）：106107.

［5］彭婷，吳維寧，蔡亞璇.電磁學高斯定理學習狀況的研究［J］.教育教學論壇，2020（26）：334335.

基金項目：2023年教育部第二批國家級一流本科課程：貴州大學《大學物理1》；2022年貴州省普通本科高校省級“金課”（一流課程）：貴州大學《大學物理1》；貴州大學2023年度校級課程思政示范課程：《大學物理》（kcsz2023067）；《熱學》循環教學模式的探索與實踐（JZW23RX0）

作者簡介：令狐雙藝（1995—"），女，漢族，貴州遵義人，博士研究生，講師，研究方向：微納光纖光子器件，大學物理教學。

*通信作者：趙光菊（1975—"），女，漢族，貴州六枝人，碩士研究生，副教授，研究方向：大學物理教學創新改革。