回歸定義巧解題，靈活應用妙創新

摘要拋物線的定義是其曲線特征的本質屬性，也是解決拋物線問題的一個重要切入點與突破口．借助拋物線定義合理實現并轉化涉及“兩點距離”或“點線距離”的幾何直觀問題，處理與破解拋物線中一些線段的長度、參數的取值、最值的確定以及綜合的應用等問題.合理歸納總結解題技巧與方法，指導數學教學與解題研究．

關鍵詞拋物線；定義；線段；距離；最值

定義是相關概念的本質與靈魂，是相關概念與應用進一步深入與應用的理論基礎與基石．借助定義來分析與解決問題，是回歸問題的本質，是闡述與論證問題的基本切入點．在解決數學問題時，借助定義將成為解決數學問題的一個基本思維方式．而拋物線的定義，其巧妙闡述了點與點之間的距離、點與線之間的距離的等價轉化，成為合理、巧妙轉化的一個重要基礎，是實現“兩點距離”或“點線距離”的一個重要技巧方法，成為解決拋物線的綜合應用問題中比較常用的一種思維方式．本文通過幾道例題來闡述拋物線定義在解決相應問題中的重要作用，并給出相似問題的處理方法和步驟.

1．線段的長度問題

拋物線中有關焦點的線段長度問題可以依托拋物線的定義，巧妙實現“兩點距離”或“點線距離”之間聯系與轉化，實現單條線段長度、多條線段長度的線性關系式等的求解與應用．

例1設F為拋物線y2=8x的焦點，A，B，C為該拋物線上不同的三點，若FA+FB+FC=OF，O為坐標原點，則FA+FB+FC=．

解析設Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，易知p=4，F2，0．

則FA=x1－2，y1，FB=x2－2，y2，FC=x3－2，y3．

因為FA+FB+FC=OF，所以x1－2+x2－2+x3－2=2，即x1+x2+x3=8．

由拋物線的定義可得FA=x1+2，FB=x2+2，FC=x3+2．所以FA+FB+FC=x1+x2+x3+6=14．

點評解決拋物線中的線段長度問題，合理借助定義，靈活運用拋物線上一點Px0，y0到焦點F的距離PF=x0+p2或PF=y0+p2，從而實現距離與坐標之間的聯系與轉化，給線段長度的求解與應用創造條件．

2．參數的取值問題

拋物線中有關參數的取值問題，以拋物線中的參數p，直線方程的斜率、截距，以及對應的交點等為主，可以依托拋物線的定義，合理建立關系式或方程（組），實現參數取值的分析與求解．

例2已知過拋物線C：y2=4x的焦點F的直線l交C于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，且DE=45AB，則直線l的斜率為（）.

A．±33B．±1C．±2D．±12

解析設AB=2r2r4，AB的中點為M，MN⊥y軸于點N，過點A，B作準線x=－1 的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖1所示．由拋物線的定義知2MN+1=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r，則MN=r－1．所以DE=2r2－r－12=85r，即16r2－50r+25=0，解得r=52 或r=58（舍去），故點M 的橫坐標為32．

設直線l：y=kx－1，Ax1，y1，Bx2，y2，將y=kx－1代入拋物線y2=4x，整理可得k2x2－2k2+4x+k2=0，則x1+x2=2k2+4k2=2xM=3，解得k=±2．故選C．

點評借助定義，利用“兩點距離”或“點線距離”之間的轉化與應用，合理構建對應的方程（組），進而通過方程（組）的求解，并結合參數取值的實際意義加以合理取舍與判斷，實現參數取值的求解與應用．此類問題中，往往需要結合函數與方程、平面幾何、三角函數以及平面向量等知識．

3．最值的確定問題

拋物線中有關最值的確定問題，以線段長度的線性關系式的最值，代數式的最值等場景為主，可以依托拋物線的定義，通過不同類型距離的巧妙轉化，以方便進一步的數形結合，給問題的直觀想象與巧妙突破創造條件．

例3 （1）（2024年上海市虹口區華東師大一附中高考數學三模試題）已知F是拋物線y2=4x的焦點，P是拋物線C上一動點，點Q是曲線x2+y2－8x－2y+16=0上一動點，則PF+PQ的最小值為．

（2）（2024年重慶市南開中學高考數學第四次質檢試）已知點P為拋物線y2=2pxpgt;0上一動點，點Q為圓C：x+12+y－42=1上一動點，點F為拋物線的焦點，點P到y軸的距離為d，若PQ+d的最小值為2，則p=．

解析（1）曲線x2+y2－8x－2y+16=0，可化為x－42+y－12=1，可得圓心坐標為M4，1，半徑r=1．如圖2所示，設拋物線的準線為l，過點P作PA⊥l交準線l于點A，過點M作MA1⊥l交準線l于點A1，同時交拋物線于點P1．

結合拋物線的定義可得PF+PQ=PA+PM－1，要使得PA+PM取得最小值，只需使得點P與P1重合，此時點A與A1重合，點Q與Q1重合，即PA+PMP1A1+P1M=5，當且僅當M，P，Q，A在一條直線上時等號成立．所以PF+PQ的最小值為5－1=4．

（2）如圖3所示，圓C：x+12+y－42=1 的圓心C－1，4，半徑r=1．拋物線的焦點F（p2，0），根據拋物線的定義可知d=PF－p2，所以PQ+d=PQ+PF－p2．由圖可知，當點C，Q，P，F共線，且點P，Q在線段CF 之上時，PQ+PF最小．而CF=p2+12+16，故有PQ+PF－p2min=CF－r－p2=2，即 p2+12+16－1－p2=2，解得p=4．

點評借助定義，將不同距離類型加以合理變形與轉化．借助幾何意義、數形結合的直觀想象以及不等式思維的合理放縮等，綜合數學運算與邏輯推理，巧妙確定．

4．綜合應用問題

拋物線中有關綜合應用問題，可以借助多選題來設置，也可以借助解答題來設置等，巧妙融合較多的知識與能力點，解題時可以依托拋物線的定義，合理綜合相關知識來邏輯推理與數學運算等．

例4 （多選題）已知A，B是拋物線C：y2=2x上相異的兩個動點，F為拋物線C的焦點，則（）.

A．直線AB過焦點F時，AB的最小值為4

B．直線AB過焦點F且傾斜角為60° 時，AB=83

C．若AB中點M的橫坐標為2，則AB的最大值為5

D．1AF+1BF=2

解析對于選項A，過點A，B分別作準線x=－12 的垂線，垂足分別為A1，B1，過點A，B分別作x 軸的垂線，垂足分別為A2，B2，準線與x 軸的交點為C．

設直線AB 的傾斜角為θ ，AF=n，BF=m．如圖4所示．根據拋物線的定義有AA1=AF=n，從圖可知AA1=A2C=n，CF=p=1，CF+FA2=AA1=n，在Rt△AFA2 中，FA2=ncosθ ，所以ncosθ+1=n．

所以n=11－cosθ，同理m=11+cosθ．則AB=AF+BF=11－cosθ+11+cosθ=2sin2θ，因為θ∈0，π，所以sinθ∈（0，1］，故當sinθ=1 時，2sin2θmin=2．

故AB的最小值為2，此時AB垂直于x 軸，故A錯誤；

對于選項B，由選項A可知AB=2322=83，故B正確；

對于選項C，ABSymbolcB@AF+BF=xA+xB+1=2×2+1=5，當且僅當直線AB 過焦點F 時等號成立，所以AB 的最大值為5，故C正確；

對于選項D，當直線AB 過焦點F時，1AF+1BF=1－cosθ+1+cosθ=2，當直線AB 不過焦點F 時，1AF+1BF不是定值，如當xA=xB=2 時，此時yA=2，yB=－2，即A2，2，B2，－2，F（12，0），AF=BF=322+22=52，1AF+1BF=25×2=45≠2，故D錯誤．

綜上分析，故選B、C．

點評"解決拋物線中的綜合應用問題，主要從兩個方面來入手：（1）確認坐標平面內與一定點和一定直線有關的軌跡是否為拋物線；（2）當P在拋物線上時，其到相應拋物線的焦點與到對應拋物線的準線的距離相等，可以實現坐標、參數等之間的轉化與應用等．

借助拋物線的定義，合理構建“兩點距離”或“點線距離”等關系之間，結合題設應用場景，合理加以變形與轉化，實現整體的統一性，為進一步解題與應用創設條件．回歸定義，既是相關概念的綜合應用，也是能力提升的一個重要體現，融會貫通，構建定義、性質等不同層面知識之間的聯系，對于全面提升數學關鍵能力，養成良好數學思維品質以及培養數學核心素養等都有益處．