萬類拋物競相解，別有林岸蝶驚風

摘要解析幾何強調利用代數計算規避幾何中繁瑣的推理過程，但完全摒棄幾何關系的分析，僅依靠代數運算，巨大的運算量也讓人苦澀難言.因此，綜合應用幾何分析及代數運算，才能達到化繁為簡的目的.本文以一道模考試題為例，挖掘蝴蝶定理在拋物線中的應用.

關鍵詞蝴蝶定理；拋物線；化繁為簡

華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休”.由此可見，數形結合的思想及方法在中學數學教學中發揮著巨大作用，這一點在解析幾何中表現地尤為明顯.因此，適當引入平面幾何的部分定理，對解決解析幾何問題具有事半功倍的效果.

1．蝴蝶定理內容及其推廣

蝴蝶定理如圖1所示，M是⊙O的弦AB的中點，CD，GH是過M點的兩條弦，連接CH，DG分別交AB于P，Q兩點，則MP=MQ.

關于蝴蝶定理的證明，在文［1］中給出了五種證明方法，過程比較詳細，本文不再贅述.實際上，蝴蝶定理內容中的圓改成橢圓，雙曲線及拋物線等一般的圓錐曲線，命題仍然成立.

命題1如圖2所示，M是圓錐曲線的弦AB的中點，CD，GH是過M點的兩條弦，連接CH，DG分別交AB于P，Q兩點，則MP=MQ.

證明以M為原點，AB為x軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系.設圓錐曲線Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.因為M是圓錐曲線的弦AB的中點，所以將y=0代入Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0中得Ax2+Dx+F=0，其兩根之和－DA=0，即D=0.設直線CD：y=k1x，直線HG：y=k2x，則過C，D，H，G的二次曲線方程為λ（Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F）+μ（y－k1x）（y－k2x）=0.直線CH，DG就是λ=λ0，μ=μ0時的退化二次曲線，其方程為λ0（Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F）+μ0（y－k1x）（y－k2x）=0.

令y=0可得點P，點Q的橫坐標關系為（A+μ0k1k2）x2+Dx+F=0，因此由韋達定理可知xP+xQ=－DA+μ0k1k2=0.故MP=MQ.

可以發現蝴蝶定理中的點M非常特殊，它是弦AB的中點，如果點M不再是弦AB的中點，而是弦AB的任意一點，是否仍然有類似的結論成立呢？其實，蝴蝶定理是坎迪定理的一種特例，坎迪定理則對點M沒有如此高的要求.

坎迪定理如圖1，若點M不再是⊙O的弦AB的中點，而是弦AB的任意一點，CD，GH是過M點的兩條弦，連接CH，DG分別交AB于P，Q兩點，則1|MP|－1|MA|=1|MQ|－1|MB|.

坎迪定理的證明，文［1］也給出了一種初等數學方法的證明.與命題1類似，坎迪定理中的圓改成任意圓錐曲線，結論成立.

命題2如圖2所示，若點M不再是圓錐曲線的弦AB的中點，而是弦AB的任意一點，CD，GH是過M點的兩條弦，連接CH，DG分別交AB于P，Q兩點，則1|MP|－1|MA|=1|MQ|－1|MB|.

命題2的證明方法與命題1類似，采用二次曲線系方程即可快速得證.文［2］中已有詳細敘述，本文不再介紹.

2．蝴蝶定理在拋物線中的應用

如圖4，對于拋物線y2=2px（pgt;0），直線PQ，MN都經過點B（b，0），分別交拋物線于P，Q兩點及M，N兩點.直線PN經過點A（a，0），直線MQ經過點C（c，0）.

若將x軸看作是拋物線內一條弦，并且與拋物線交于原點及無窮遠處.則由坎迪定理可得：

結論1 1|BC|=1|BA|－1|BO|，即1c－b=1b－a－1b，即b2=ac.

證明設直線PQ：x=t1y+b，直線MN：x=t2y+b，則過P，N，Q，M的二次曲線系方程為λ（y2－2px）+μ（x－t1y－b）（x－t2y－b）=0，則直線PN，QM就是λ=λ0，μ=μ0時的退化二次曲線，其方程為λ0（y2－2px）+μ0（x－t1y－b）（x－t2y－b）=0，則點A，C橫坐標所滿足的方程為μ0x2+（－2bμ0－2pλ0）x+μ0b2=0，則由韋達定理可知ac=b2，命題得證.

圖4中還蘊含著三角形面積的比例關系，文［3］詳細闡述了ΔPBN與ΔQBM的面積之比，得出結論：SΔPBNSΔQBM=|AB|2|BC|2，本文不再詳細敘述.其實經過推理，ΔPBN與ΔQBM的面積之比還可以表示成另外一種形式：

結論2SΔPBNSΔQBM=|OA||OC|=ac.

證明設直線PQ：x=t1y+b，直線MN：x=t2y+b，直線PN：x=t3y+a，直線MQ：x=t4y+c.聯立直線PQ與拋物線方程并化簡可得x=t1y+b，

y2=2px y2－2pt1y－2pb=0.由韋達定理可知yPyQ=－2pb，同理可得yMyN=－2pb，yPyN=－2pa，yMyQ=－2pc.因此得SΔPBNSΔQBM=|yPyN||yQyM|=|yMyN||yMyQ||yPyN||yMyN|=bc·ab=ac，故命題得證.

3．蝴蝶定理在具體問題中的應用

例1已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l1過點F且與拋物線C交于M，N兩點，直線l2過點F且與拋物線C交于P，Q兩點.

（1）若點A（3，0），且ΔAMN的面積為45，求直線l1的斜率；

（2）若點M，Q在第一象限，直線MP過點（λ，0），比較SΔMPFSΔNQF+14與λ的大小關系，并說明理由.

解（1）易得l1的斜率為±12.

（2）如圖5所示，點F（1，0），設直線MP過點F″（λ，0），直線QN與x軸交點為點F′，則由上文結論1可知，1=λxF′，故xF′=1λ，則SΔMPFSΔNQF=|FF″|2|FF′|2=（λ－1）2（1－1λ）2=λ2，或者可以由結論2直接得到SΔMPFSΔNQF=|xF″||xF′|=λ2.故SΔMPFSΔNQF+14=λ2+14≥λ，當且僅當λ=12時，該不等式取等號.

解析幾何是用代數的方法解決幾何問題，可僅僅依靠代數計算，實際操作卻困難重重，因此，結合平面幾何關系和代數運算，往往可以化腐朽為神奇，蝴蝶定理在圓錐曲線中的應用就是很好的佐證：圓錐曲線計算難，蝴蝶飛來祛疑憂.簡約精妙解難關，猶如清風掃云愁.

參考文獻［1］周春荔.蝴蝶定理——研究性學習的一個好課題［J］.數學通報，2004（01）：16-20.

［2］段惠民，饒慶生.坎迪定理在圓錐曲線上的推廣［J］.中學數學研究（江西師大），2007，（03）：15.

［3］張思凡.蝴蝶定理在圓錐曲線中的幾個命題及應用［J］.中學數學研究（江西師大），2022，（12）：39-40.