關于平面無限延展性的教學思考

摘要：平面作為幾何公理體系中的一個基本概念是不加以定義的，高中數學立體幾何初步的教學是借助幾個基本事實，通過直線的無限延伸性來刻畫平面的無限延展性的.加強學生對平面無限延展性的理解，加深學生對空間無限性的感悟，對學生空間想象能力的提高、空間觀念的形成等有著極其重要的意義.本文中提供三種教學設計方法，引導學生逐步建立平面無限延展性的空間觀念，培養學生直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.

關鍵詞：平面無限延展性；教學；空間想象能力；邏輯推理

人教版普通高中教科書《數學》（必修第二冊）“立體幾何初步”中，對于“平面”是這樣描述的：“生活中有一些物體給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等，幾何里所說的‘平面’就是從這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的.”在幾何公理體系之中，“平面”作為一個基本概念是不加以定義的，而是通過公理建立基本概念之間的聯系來刻畫其本質特征的.教材中的基本事實１—基本事實３，實際上是通過直線的“直”和“無限延伸”刻畫了平面的“平”和“無限延展”的本質特征[1].在研究后面的定理時，都是沿著立體空間基本元素之間位置關系的邏輯鏈條尋找底層邏輯，逐步地回到公理，回歸到平面的基本性質上.教學“平面”，常常局限在有限空間內，多以“平行四邊形”的直觀性替代“平面”，難以拓展學生對平面的無限延展性的想象思維，不利于學生解題作圖能力的提升和空間想象等核心素養的培養，如何破解，本文中嘗試提供三種教學設計思路.

1 引導作圖，點線構“面”

識圖能力、空間想象能力和動手作圖能力對應著學生頭腦中的輸入、加工和輸出過程，立體幾何部分的學習對這些能力的提升起著至關重要的作用.其中作圖是學生學習立體幾何部分的“第一大事”，在紙面上畫空間中的立體圖形，是培養直觀想象這一核心素養的重要契機[2].在有限的空間內表現無限的平面，學生對此要做到會看、會想、會畫，通過添加輔助線等方法把相關幾何元素聯系起來，才能將抽象的、看不見的、陌生的問題轉化為具象的、可視的、熟悉的問題.

例1正四棱錐PABCD中，求作平面PAB與平面PCD的交線，并說明它與AB的位置關系.

如圖1，平面PAB與平面PCD有一個公共點P，容易聯想到基本事實3，學生頭腦中的想象可能如圖2所示，初步想像交線l的大致位置，從而感知直線l與已知線面的位置關系.

正四棱錐的兩個“三角形”平面，與常規“平行四邊形”不同，引導學生作圖，讓學生更深刻地體會圖形組合元素——點、線、面的位置關系.作圖過程中，學生經歷對無限延展平面的想象過程，感知直線l與已知線面的位置關系，進而尋找證明它與AB平行的邏輯關系，找到它與AB平行的邏輯結構，從而進行邏輯推理.

例2如圖3所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′，要經過面A′C′內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？

學生想象，直線BC和點P可以確定一個平面，即為截面，需要找出所作截面與相關平面的交線.再根據線面平行的性質定理畫出線段EF，EB，FC以確定截面，如圖4.

本題作圖，體現了平面無限延展性的實際應用，將看不見的、虛空的直線和平面運用推論與定理轉化為可以看得見的、具象的線面關系，進而能夠在有限的空間中表現出無限的平面，將抽象的空間可視化，讓學生在具體的情境中感悟其本質.

2 應用性質，邏輯推理

立體幾何是高考考查學生核心素養的重要載體.近幾年的高考中涉及到空間無限性的問題，是在有限的紙面上刻畫無限空間，既能考查學生的直觀想象素養，也能考查學生對空間點、直線、平面之間位置關系的理解與掌握[3]，同時也為我們的教學打開了新的視角，提供了新的素材.

例3平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，求m，n所成角的正弦值.

本題將線面以及面面的位置關系置于一個確定的幾何體中，借助于異面直線所成的角，考查線面與線線位置關系.α是無限空間中的一個未知平面，但是根據其與已知空間元素的位置關系，可以在正方體內部利用兩個平面平行的判定定理，找到與之平行的平面A1BD（如圖5），因其與平面ABCD和平面ABB1A1分別相交，從而可以借助交線BD和A1B來解決問題.

例4已知正方體的棱長為１，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，求α截此正方體所得截面面積的最大值.

我們知道正方體的12條棱是三組平行的棱，要使得每條棱所在直線與平面α所成的角相等，只需保證平面α與3條共頂點的棱（這里選取如圖6所示的OA，OB，OC三條棱）所成的角相等即可，則易知平面α與平面ABC平行.為了找到面積最大的截面，可如圖6所示沿著過點O的體對角線平行移動平面ABC.建立移動過程中截面面積的表達式，即可求出截面面積的最大值.

例3與例4這兩道高考真題都將視線從有限的幾何體轉向無限的立體空間，都充分體現了平面無限延展性的應用魅力.在解決這兩個問題時，都要在對平面α本質特征和已知點、線、面位置關系充分理解的基礎上，尋找題目情境中的具象性與確定性，將問題可視化、具象化，從而回歸到最本質的、熟悉的對空間圖形性質的研究上.學生在這樣的問題解決過程中，定會進一步加深對空間無限性的感悟.

3 拓展方法，一題多解

平面的無限延展性可以為我們提供一種新的解題方法，開闊解題思路.

例5將如圖7所示的木質正四棱錐模型PABCD切割成三個小四棱錐：過點A作一個平面分別與棱PB，PC，PD交于點E，F，G，得到四棱錐PAEFG，再將剩下的幾何體沿平面ACF切開，得到另外兩個小四棱錐.若PEPB=35，PFPC=12，求PGPD的值.

這道題除了可以用向量來解決之外，我們還可以通過強調平面AEFG和平面ABCD有一個公共點A，引導學生聯想基本事實3，從而可以得知平面AEFG和平面ABCD必有唯一一條經過點A的公共直線，只要找到這條直線，就有可能找到解決問題的方法.由條件易知直線EF與直線CB必相交，設交點為M；同樣地，AM與CD必相交，設交點為K.于是可得K，A，M三點都在平面AEFG和平面ABCD的公共直線上（如圖8所示）.再借助相似三角形的性質得到相關線段長度的數量關系，從而解決問題.

解析：如圖9，延長FE和CB，設直線FE和CB相交于點M，由于平面AEFG和平面ABCD有一個公共點A，則這兩個平面必有唯一一條過點A的公共直線.又EF∩CB=M，所以點M也是這兩個平面的公共點，故平面AEFG∩平面ABCD=AM.根據題意可知，FG與CD必相交，設CD∩FG=K，則點K必在直線AM上.故可得△AMB∽△KAD.

取PB的中點N，連接FN，則可得FN=12BC，△NFE∽△BME.

易知NE=35PB－12PB=110PB，BE=25PB.

所以NFMB=NEBE=14，則MB=4NF=2BC.

由△AMB∽△KAD，可知ABKD=MBAD=2，所以AB=2KD.

取PD的中點Q，連接QF，則QF=12AB=KD，從而△QFG∽△DKG.

所以QGDG=QFKD=1，即G是QD的中點，則PGPD=34.

打破固有幾何體的空間局限，利用好平面的無限延展性，可以將目光放得更遠，既能培養學生的動手作圖能力，促進學生對空間幾何元素之間位置關系的理解與掌握，也能促進學生直觀想象素養和邏輯推理能力等的形成.學生通過直觀感知、動手作圖、邏輯推理、計算驗證，實現由表及里、從感性到理性的認識，在不斷深化對點、線、面位置關系認識的過程中逐步建立空間觀念.

參考文獻：

[1]李海東，張偉.深入理解平面三個公理 做好平面基本性質的教學[J].數學通報，2020（7）：1924，39.

[2]章建躍.在一般觀念引領下探索空間幾何圖形的性質——“立體幾何初步”內容分析與教學思考[J].數學通報，2021（2）：1115，48.

[3]魏智.一類突破有限空間的立體幾何問題[J].中學數學，2020（21）：2830.