二維分形光子晶體內趨膚效應的準正則模式分析

摘 要：【目的】探索光子晶體的內趨膚效應，給出用于討論該問題的數值方法。【方法】首先，基于準正則模式理論，通過理論推導將準正則模式應用于光子晶體中，給出了提高求解精度的方法。其次，使用謝爾賓斯基分形的建構規律構建了拓撲謝爾賓斯基地毯（TSC），并通過在TSC分形晶格上實現的模型來展示ISE這一觀察結果。最后，針對NH本征模式問題，使用準正則模式進行描述，并針對一種典型的結構進行分析。【結果】在周期性邊界條件（PBC）下，非厄米（NH）趨膚效應出現在分形晶格的內邊界，即內趨膚效應（ISE）。趨膚效應并不簡單等同于單一本征模式的疊加，內趨膚效應是分形結構導致本征模式對稱性破缺的疊加結果。【結論】從準正則模式分析的角度描繪了理解光子晶體中內趨膚效應的方法，對進一步探索內趨膚效應具有重要指導作用。

關鍵詞：內趨膚效應；非厄米；光子晶體；準正則模式

中圖分類號：O439" " "文獻標志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2025）04-0079-07

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.04.016

Quasi-Normal Modes Analysis of Inner Skin Effects in Two-Dimensional Fractal Photonic Crystals

CHEN Junkun" " ZHAI Yujia" " WANG Yezhuang" " LONG Qing

（School of Physics， Ningxia University， Yinchuan 750000，China）

Abstract： [Purposes] This study aims to investigate the skin effect of photonic crystals， which holds broad application prospects and research value， while the skin effect presents a completely different inner skin effect （ISE） in the fractal structure， which has attracted extensive research and discussion in the academic community. Therefore， we explore the intrinsic skin effect of photonic crystals and give a numerical method to discuss this problem. [Methods] Based on the theory of quasi-normal mode， the application of quasi-canonical mode in photonic crystal is given through theoretical derivation， and the method to improve the solution accuracy is given. The analysis process is summarized as follows： A topological Sierpiński carpet （TSC） is constructed following the Sierpiński fractal principle， and ISE is observed in the TSC fractal lattice model. To address the challenges of NH eigenmodes， a quasi-normal mode framework is employed， with analysis conducted on a representative structure. [Findings] The analysis reveals that under the periodic boundary condition （PBC）， the non-Hermitian （NH） skin effect emerges at the inner boundary of the fractal lattice，referred to as the internal skin effect （ISE）. [Conclusions] The results demonstrate that the inner skin effect is generally not simply equivalent to the superposition of a single eigenmode， and the inner skin effect is the result of the superposition of eigenmode symmetry breaking due to fractal structure. Finally， based on the results discussed above， this paper discusses the nature of quasi-normal modes. It is taken as identifying a set of discrete frequency-dependent complex values.

Keywords： inner skin effects; non-hermitian; photonic crystal; quasi-normal modes

0 引言

在固體結構分類中，對稱性占據著非常重要的地位。晶體中存在著3種相對獨立的對稱性，即平移、旋轉和反演。而在晶體制約定理的限制下，晶體中能夠存在的與旋轉相關的對稱元素有限，即在描述晶體對稱性的空間群中，晶體點群中轉動元素只能是[C1]（也就是E）[、C2、C3、C4、C6]，所有轉動反演元素，只能是[I、IC2、IC3、IC4、IC6]［1］，但這些對稱性在非晶體和準晶體中并不存在。分形的自相似性是另一套獨特的對稱系統，這會導致在很多尺度上出現模式重復［2］。分形的自相似性直接導致了具有分形特征的內部邊界出現在了系統的內部。由于在分子材料中實現了量子分形［3］，具有分形特征的內部邊界特性也亟待研究。

在包含增益或損失的非厄米系統中，異常點（EP）作為一種特殊的簡并點，與厄米系統中的惡魔點（DP）顯著不同［4-8］。在n階的EP上，n個本征能量（特征頻率）和相應的能量特征態（模式）合并［8-11］，這與惡魔點（DP）［12］上只有本征能量合并不同。這意味著EP的形成條件與DP有所不同。EP不僅對應的哈密頓量[H]是非厄米的（[H≠H?]），特征向量也不能保證是正交的。這意味著特征向量不僅僅是特征值簡并的［13］。目前，有很多學者對非厄米系統中的惡魔點DP展開研究。大量研究發現，惡魔點在非厄米微擾下會分裂成EP［14-16］。非厄米晶格中的狄拉克點dirac point會變成一個EP環［14］或兩個EP［15］，而三維（3D）晶格中的外爾點Weyl point能變成一個EP環［16］。

在特定頻率范圍內，非厄米（NH）晶體、準晶體和非晶網絡在其與真空接觸的特定界面附近會表現出大量態的積累，所有本征模態都趨向于成為邊緣狀態，這種現象被稱為趨膚效應（SE）［17-20］。這一現象的發生與非厄米系統中唯一的復特征值的拓撲性質密切相關。需要注意的是，NH趨膚效應一般只在開放邊界條件下才能觀察到［21-28］，這一特性進一步表明邊界條件對非厄米系統中的物理行為起著關鍵作用。而在周期性邊界條件下，系統沿布里淵區（BZ）特定線的波數k的PBC特征值在復平面中形成光譜區域，NHSE就能存在于二維（2D）非厄米系統中［29］。這種趨膚效應就是幾何依賴的趨膚效應。從對稱性的角度來看，幾何依賴的趨膚效應顯然要求幾何對稱性和晶格對稱性不匹配［29-30］。關于非厄米晶體，鮮有文章研究具有分形特征的內部邊界特性。因此，本研究基于謝爾賓斯基地毯的分形構建規律［31］，構建了一個拓撲謝爾賓斯基地毯（TSC），并分析了該種結構的光子晶體的內趨膚效應（ISEs）。使用法國波爾多大學研發的MAN（Modal Analysis of Nanoresonators） ［32］進行模式分析。分析結果表明，ISEs由模型哈密頓量捕獲。對于上述色散問題的求解，即準正則模式（QNM，Quasi-Normal Model）問題，采用WKB方法，基于主方程和薛定諤方程之間的類比求解。以Schulz和Will的工作為基礎，通過研究函數Q（x）在3個區域中的行為，找到他們之間的匹配條件。而根據Born-Sommerfield 量子化條件，方程 [Q]取決于頻率[ω]，它標識一組離散的復數值，即準正態模頻率。

1 拓撲謝爾賓斯基地毯

拓撲分形格子模型見式（1）。

[S=i=13ψi（S）] （1）

式中：[S??2]是最小的非空集合；[ψ1，ψ2，ψ3]均為[?2→?2]是仿射映射（affine maps），3者的表示見式（2）。

[ψ1（x，y）=（x/2，y/2）ψ2（x，y）=（x/2+1/2，y/2）ψ3（x，y）=（x/2+1/4，y/2+√3/4）] （2）

上述集合在很多文獻中也被稱為Sierpinski gasket，簡寫為[SG2]。

基于帕斯卡三角的拓撲變換，即二進制帕斯卡三角可用于構建謝爾賓斯基三角［34］。具體而言，可在帕斯卡三角中，根據每個元素的奇偶性，為每個元素分配一個0或1的二進制數，使其構成一個二進制帕斯卡三角。隨著帕斯卡三角逐行遞推，其二元結構收斂于Sierpinski分形。

基于上述謝爾賓斯基地毯的分形構建規律，對謝爾賓斯基三角進行拓撲，構建拓撲分形格子模型過程如圖1所示。構建出謝爾賓斯基等腰直角三角形（Sierpinski isosceles right triangle，SIRT）晶格結構，并對SIRT以斜邊（hypotenuse）為鏡面進行鏡像反演后，再平移構建出一個新的SIRT，這兩個SIRT共同構成了一個拓撲謝爾賓斯基地毯（TSC）。

2 內趨膚效應

ISEs模型哈密頓量描述為[HFO=H0+HNH]，其中H0表示見式（3）。

[H0=j≠kFrjk2c?j?itcos?jkΓ1+sin?jkΓ2+t0Γ3ck?jc?jm0Γ3cjHNH=ic?j（h?Γ）cj≡ic?j?xΓ1+?yΓ2+?zΓ3cj，（3）]

式中：[i=?1，cj=cjα，cjβ?，cjα] 是位點 [j] 和軌道[α]上的費米子湮滅算子，且[Γμ=τμ]，其中[μ=1，2，3]；向量泡利矩陣 [τ] 作用于軌道的指數； [j] 和 [k]為位點之間的跳躍強度，分別在[rj]和[rk]處的增強見式（4）。

[Frjk=Θrjk?Rexp1?rjkr0] （4）

為確保位點之間連接良好，尤其是在缺乏平移對稱性和旋轉對稱性的情況下， [rjk=∣rj?] [rk∣] 是距離；[?jk] 是二者間的方位角； [R] 控制跳頻范圍；[r0] 是衰減長度。[HNH]很好地描述了通常與動量無關的NH耦合。光子晶體示意圖如圖2所示，方形晶格上的非厄米（NH）趨膚效應如圖3所示。

由圖3（a）可知，在具有OBC的方形晶格上，上述模型顯示了h=（hx，0，0）時左外邊緣的NH趨膚效應。由圖3（b）可知，當PBC在x方向或x和y兩個方向時，系統中的任何地方都沒有趨膚效應；當h=（0，hy，0）時，x和y方向的作用顛倒了。相比之下，對于h=（0，0，hz），無論邊界條件如何，都沒有趨膚效應。因此，將hz=0設置為后面的討論。拓撲謝爾賓斯基地毯（TSC）分形上的非厄米（NH）趨膚效應如圖4所示。

由圖4（a）可知，在具有OBC的SC上，情況與正方形晶格上的情況類似，也是在外邊緣顯示NH趨膚效應。但是，在x方向h =（hx，0，0）施加PBC時，情況則大為不同。本征模式的權重在分形晶格的內部堆積，表現為ISE。圖4（a）的復平面展開如圖5所示。

3 準正則模式理論及其在光子晶體中的應用

由色散或非色散介質或兩者組成的局域諧振器的QNM被定義為無源麥克斯韋方程組的時間諧波解［32］，見式（5）。

[0?iμ?10?×iεωm?1?×0][HmEm=ωmHmEm] （5）

式中：[εωm]為復頻率[ωm]處的介電常數；[μ0]為真空磁導率，假設時間諧波場依賴于[exp?iωmt]。由電場[Em]和磁場向量[Hm]定義的準正常模（QNMs），滿足出射波條件，具有復頻率[ωm]和品質因子[Qm=?12Reωm/Imωm]，并在結構遠離處呈指數增長。

對于色散材料，存在一個困難，由于式（5）的特征問題不再定義一個標準的線性特征問題。這種非線性主要源于在構成關系中消除的隱藏變量，具有特殊的性質。在光學頻率下，大多數材料性質可以用標準的N極洛倫茲-杜德關系進行建模，即[ε（ω）=ε∞?] [ε∞iω2p，iω2?ω20，i+iωγi?1]，其中，[ωp，i]為等離子體頻率，[γi]為阻尼系數，[ω0，i]為共振頻率。例如，在金屬中，帶內轉變產生由杜德極點[ω0，i=0]表征的自由電子行為，而帶間轉變則由洛倫茲極點 [ω0，i≠0] 嚴格表示。對于洛倫茲-杜德材料的非線性特征問題，可以通過重新引入隱藏的輔助場，例如，極化[Pi=?ε∞ω2p，iω2?ω20，i+iωγi?1E]和電流[Ji=?iωPi]，將其轉換為線性形式。為簡化符號，考慮一個單一的洛倫茲極點介電常數，并將增廣特征向量表示為[Ψm=] [Hm，Em，Pm，JmT]，式（5）被重述為線性形式，見式（6）。

[HΨm=0?iμ?10?×00iε?1∞?×00?iε?1∞000i0iω2pε∞?iω20?iγΨm=ωmΨm，] （6）

在洛倫茲材料子空間中，可得到沒有輔助場的常規形式。

先定義一個[4×4]的矩陣，見式（7）。

[Σn=0σnσn0， n=0，1，2，3.] （7）

式中：[σn]為泡利（Pauli）矩陣，n=1，2，3；[σ0]是[2×2]的單位矩陣。

再定義一個[4×4]的非厄米矩陣為H，矩陣滿足贗厄米性條件（pseudo-Hermiticity condition）［33］，見式（8）。

[Σ0HΣ0=H?] （8）

反PT（anti-PT）對稱條件見式（9）。

[{H，Σ3Σ1T}=0] （9）

式中：T為復共軛算符。

第一個條件，Eq（2），意味著H的特征值是實數或出現在復共軛對中［33］。

第二個條件，Eq（3）表明，特征向量構成正交對；這意味著，如果[|ψ+〉]是[H]的特征值為[E+]的特征向量，則[|ψ?〉=Σ1Σ3T|ψ〉]是特征值為[?E?]的特征向量。| ψ +〉和| ψ -〉可以被證明是正交的，見式（10）。

[〈ψ+|ψ?〉][=n=14（ψn+）?ψn?=0] （10）

[證明：H|ψ=E|ψΣ1Σ3TH|ψ=E?Σ1Σ3T|ψ=?Σ3Σ1TH|ψ=HΣ3Σ1T|ψ?HΣ1Σ3T|ψ=?E?Σ1Σ3T|ψ]

因此，對任意兩階分量[|φ〉]，[〈][φ|σ2T|φ〉]=0

通過對主方程和薛定諤方程之間的類比，可考慮使用WKB方法求解。WKB方法是一種半解析方法，以Schulz和Will的工作［35］為基礎，考慮下列微分方程問題，見式（11）。

[d2ψ（x）dx2+Q（x）ψ（x）=0] （11）

式中：[Q（x）=k20n2（x）?β2]，[k0=ωε0μ0]。[β]為該模式沿z方向的傳播常數，函數[ψ（x）]取決于時間[（～e?iωt）]，函數Q（x）如圖6所示。

函數[?Q（x）]取決于坐標，極值出現在[x=0]處，

在域的兩端趨近于常數[Q（x）→α，Re（α）gt;0]。因此，解見式（12）。

[d2ψ（x）dx2+αψ（x）=0， ? ψ（x）～e±iαx， |x|→∞] （12）

式中：[e±iαx]對應[±∞]。WKB方法的主要思路是研究函數Q（x）在三個區域中的行為，找到其的匹配條件。區域 1、2、3和轉折點[x1、x2]的圖形表示如圖6所示，其中[，Q（x1）=Q（x2）=0]。在第一和第三區域，可以通過解析找到主方程的解［36］，見式（13）。

[Qx=Q?1/4xexp±ix1xdxQ（x），區域1Q?1/4xexp±ixx2dxQ（x），區域3]（13）

通過將這些解決方案與區域2相匹配，該區域以 [Qx=0→β2=ε0μ0ω2n2（x）=V]的轉折點為界。WKB 方法在[x1，x2]接近時效果更好，[x1，x2]接近使得當 [|Q（±∞）|??Qx0] 時[V0～ω2]。根據漸進方法和擾動理論［36］，用拋物線近似這個中心區域的 [Q（x）]，見式（14）。

[Qx=Q0+12Q''0x?x02+Ox?x03] （14）

式中：[Q0lt;0] ， [Q''0gt;0]。現在引入新的變量 [t=（4κ）1/4eiπ/4x?x0]， 其中 [κ=Q''0/2]， 在此情況下， [dt=（4κ）1/4eiπ/4dx] ，且[Q（t）=Q0+122κt2（4κ）1/2eiπ/2]，對方程（11）進行改寫，見式（15）。

[d2ψ（t）dt2（4κ）1/2eiπ/2+Q0+122κt2（4κ）1/2eiπ/2ψ（t）=0，?d2ψ（t）dt2+?iQ02Q''01/2?t24ψ（t）=0.]

進一步引入參數 [ν=?12?iQ02Q''01/2]，使得式（16）成立。

[d2ψdt2+ν+12?t24ψ（t）=0] （16）

其解是拋物線函數和圓柱函數的組合[Dν（t）]，見式（17）。

[ψ（t）=ADν（t）+BD?1?ν（it）] （17）

利用這些函數的漸近特性，見式（18）。

[ψ～c1（1?i）νeiπν/2κν/4x?x0νe?iκ1/2x?x02/2]

[+e?34iπν2?ν/2κ?（1+ν）/4x??x0?1?νc2?c1ie?iπν/22πΓ（?ν）eiκ1/2x?x02/2]

式中：[c1，2] 為積分常數； [Γ（ν）] 為歐拉伽馬函數。邊界條件要求在無窮遠處模態為零，這意味著 [c2=0] ，并且 [Γ（?ν）=∞]。 如果[ν] 是整數，則后者成立。此要求會自動轉換為 Born-Sommerfield 量子化條件，見式（19）。

[Q02Q''0=in+12， n=0，1，2，…] （19）

方程 [Q]取決于頻率[ω]，因此方程（19）變成一個代數關系，其標識一組離散的復數值，即準正態模頻率。考慮函數[?Q（x）]在區域2中的不同近似，并考慮超越二次展開的高階近似，可以提高WKB方法的精度［37］。

4 結語

本研究基于準正則模式理論完善了描述光子晶體結構內趨膚效應的理論方法，并指出趨膚效應一般并不簡單等同于單一本征模式的疊加，內趨膚效應是結構本征模式對稱性破缺的疊加結果。對于對稱性破缺的本征模式，定義了正交的復共軛對，使其任意兩階分量[|φ〉滿足〈φ|σ2T|φ〉=0]。針對拓撲謝爾賓斯基地毯（TSC），展示了具有PBC的TSC分形晶格內部的集膚效應（ISE）。使用MAN（Modal Analysis of Nanoresonators）進行分析，表明ISE由模型哈密頓量捕獲。對于上述色散問題的求解，通過WKB方法，基于主方程和薛定諤方程之間的類比求解。以Schulz和Will的工作為基礎，通過研究函數Q（x）在三個區域中的行為，找到其匹配條件。而根據Born-Sommerfield 量子化條件，方程 [Q]取決于頻率[ω]，它標識一組離散的復數值，即準正態模頻率。本研究從準正則模式分析的角度描繪了理解光子晶體中內趨膚效應的方法，對進一步探索內趨膚效應具有重要指導作用。

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