初中數學跨學科項目式學習設計策略

【摘 要】跨學科項目式學習對提升學生的高階思維與綜合素養至關重要。文章以“弦外之音”項目為例，探討數學與音樂融合的教學實踐，展示如何培養學生的模型觀念與創新意識。文章總結提煉了初中數學跨學科項目式學習在主題選擇、目標設定、任務設計上的有效策略：項目主題需兼顧相關性與真實性、趣味性與挑戰性、跨學科性與多樣性；目標設定需融合跨學科知識、學情信息、素養發展要求；任務設計需明確目標，注重層次遞進，強調實踐創新與合作交流，教師需發揮指導作用并提供適當資源。

【關鍵詞】項目式學習；跨學科；數學與音樂；模型觀念；創新意識

《義務教育課程方案（2022年版）》強調要探索大單元教學，積極開展主題化、項目式學習等綜合教學活動，促進學生舉一反三、融會貫通，加強知識間的內在關聯，促進知識結構化［1］。針對項目式學習，《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，要以數學方法解決現實問題為主，引導學生發現解決現實問題的關鍵要素，用數學的思維分析要素之間的關系并發現規律，培養模型觀念，經歷發現、提出、分析、解決問題的過程，培養應用意識和創新意識［2］88，讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界［2］5-6（簡稱“三會”）。初中數學跨學科項目式學習是以核心知識為基礎，通過創設真實且具有挑戰性的問題情境，激發學生圍繞數學項目任務進行持續的探究性活動，最終呈現出創造性項目成果。在項目實施過程中，學生不僅構建或運用了核心知識，而且還發展了批判性思維、創造性思維等高階思維，從而促進了“三會”素養目標的達成。本文以“弦外之音”項目［3］（由中國人民大學附屬中學團隊開發，張雨朦、李長彥兩位老師實踐，北京師范大學曹一鳴教授、北京市海淀區教師進修學校黃延林老師指導，刊載于本刊2025年第2期）為例，總結提煉初中數學跨學科項目式學習的有效路徑和實施策略，展示如何通過跨學科融合，激發學生的創新意識和模型觀念，促進學生的全面發展。

一、項目主題的遴選

主題是項目式學習的“心臟”。主題的選定與學生的學習熱情、知識深度掌握及跨學科能力培育等息息相關。在選定項目學習主題時，教師需要權衡多個核心要素，確保所選主題能夠真正滿足學生的需求并推動學生的全面發展。

“弦外之音”是數學和音樂融合的項目主題。音樂的發展歷史悠久，現代社會有諸多樂器，各具特色。追根溯源，學生不免好奇：樂器是如何出現的？演奏和諧的聲音之間，有怎樣的關系？事實上，樂器背后的數學原理是解開音樂之謎的關鍵所在。這些數學關系不僅揭示了聲音的內在規律，也為樂器的制作和演奏提供了科學依據，因此，這一主題巧妙地融合了數學與音樂，展現了無盡的探索魅力，能有效培養學生的跨學科思維能力和創新精神。

以“弦外之音”項目主題的確立為例，分析可知主題的遴選需要綜合考慮多個因素，主要包括以下三個方面。

1.相關性和真實性

音樂的創作與表演，不僅是藝術的表達，更是數學原理的體現。旋律設計和和聲構建等音樂理論的各個方面，都與數學緊密相連，這種聯系不是抽象的，而是可以通過具體的數學模型來描述和分析，這就是數學與音樂的相關性。例如，在探索音樂理論時，學生會發現音階的頻率比與數學中的幾何序列有著直接的聯系，這種發現不僅豐富了他們對音樂結構的理解，也激發了他們對數學概念的興趣。又如，在學習五聲音階時，學生發現它的構成可以通過簡單的數學比例來解釋，這個發現可以幫助學生更好地掌握音樂的和諧性。再如，在節奏的學習中，通過對節奏模式進行數學分析，學生可以更清晰地理解不同節奏型的節奏結構，從而在創作和演奏中自如地運用。此外，和聲的學習也可以通過數學來加深理解，即通過數學模型來分析和弦的構成，理解不同和弦如何創造出豐富的音樂效果。這種跨學科的學習方法不僅能提高學生的音樂素養，也鍛煉了邏輯思維和分析能力。

真實性在跨學科學習中發揮核心作用。音樂與數學的聯系有科學依據和實驗支撐，能確保學習內容的科學性和可靠性。學生可以在實際演奏和創作中，通過實踐和體驗來驗證數學原理在音樂中的實際應用。這種實證的學習過程不僅加深了學生對音樂與數學關系的理解，也使得學習體驗更加深刻、有趣，有助于培養學生的觀察能力、實驗技能和創新思維。

2.趣味性與挑戰性［4］

項目的主題要具有趣味性和挑戰性（如圖1）?！叭ぁ笔侵笇W生有興趣、感到好玩，注意力容易被吸引。“味”就是主題要蘊含豐富的學科核心概念，即要有一定的學科味道，能夠促進學生學科核心素養的提升?！皺M”就是聯系、運用和問題解決，學生在問題解決的過程中自主運用各學科的知識和方法去分析和解決問題，并能針對遇到的困難尋找相應的突破策略?！吧币环矫嬷笇W生，即項目的主體是學生，主題對于學生而言具有挑戰性，學生需要投入時間和精力，付出努力才能完成；另一方面是指項目主題的目標指向，即在完成項目的過程中或完成之后能夠生發出新的項目主題，提出新的研究問題。

“弦外之音”項目從自制樂器入手，激發學生探究不同樂器發聲方式的興趣，同時把抽象的樂理概念與數學知識相結合，并將所學知識應用于新問題，具有較大的挑戰。項目課程以小組為單位，通過“制作獨弦琴”的任務，采用實驗探究、查閱資料、交流分享等方式，引導學生自主探究弦樂器發聲的基本原理，理解音高與頻率（弦長）之間的關系，再根據實驗數據，發現數學規律，提高了學生的運算能力，培養了問題意識，滲透了數學建模的思想。

3.跨學科性與多樣性

要選擇能夠融合多個學科知識的主題，讓學生在解決問題的過程中綜合運用所學知識。同時，教師還應鼓勵學生根據自己的興趣和專長，在同一個任務下選擇自己感興趣的多樣化主題。這種方式能夠激發學生的學習積極性，培養自主學習能力。

教師可以為學生提供一些指導性的主題范圍。如“弦外之音”項目中，學生完成“制作獨弦琴”的任務之后，課下可以根據自己的興趣，探究不同樂器的原理，教師可以為學生提供相應的資源和指導，讓他們通過實踐和理論的結合來深入理解音樂與物理學、工程學、數學等學科的聯系。以下是一些具體的探究例子：（1）弦樂器的物理原理。研究小提琴、吉他等弦樂器的弦振動如何產生聲音，探討弦的張力、長度、材料如何影響音高和音色。（2）管樂器的聲學特性。分析長笛、薩克斯等管樂器中空氣柱的振動模式，探討如何通過改變吹口、指法來改變音高。（3）打擊樂器的共振機制。探究鼓、木琴等打擊樂器的共振原理，了解不同材質和結構如何影響聲音的持續時間和音色。（4）鍵盤樂器的機械結構。研究鋼琴、管風琴等鍵盤樂器的機械傳動系統，了解按鍵如何轉化為聲音。（5）電子樂器的電子原理。分析合成器、電吉他等電子樂器的電子信號處理過程，包括振蕩器、濾波器和放大器的作用。

二、學習目標的確定

跨學科項目學習目標不僅要體現對核心內容的本質的學習或運用，更重要的是依托各學科核心內容發展學生的綜合素養和關鍵技能。制訂學習目標時，主要基于以下三個原則。

第一，要與課程標準保持一致［4］。學習目標要反映課程標準的要求，確保學生能夠掌握數學學科的核心概念和技能，還要考慮如何將數學與其他學科相結合，展示跨學科的聯系。項目學習目標不僅要能滿足學術要求，而且要能激發學生的好奇心和探索欲，為終身學習奠定基礎。

第二，深入了解學生的背景至關重要。教師應通過需求分析，獲取精準的學情資料，識別學生的優勢和不足，從而設計能夠激發學習興趣和滿足探索需求的項目，提高項目的吸引力和學生的參與度。因此，在確定學習目標時，教師要充分考慮學生的年齡、認知發展水平、學習風格、先前知識、興趣、需求和動機等。

第三，要強調發展學生的綜合素養和關鍵技能。項目式學習要發展學生的數學素養、跨學科素養、21世紀所需關鍵技能等，鼓勵學生自主探索、反思和自我評估，并能夠將數學知識應用于其他學科和現實世界。通過這樣的項目式學習，學生不僅能夠獲得知識和技能，還能建立對社會責任的認識，從而為未來的職業生涯和公民身份做好準備。

項目式學習注重引導學生成為問題的發現者和解決者，旨在發展學生的問題意識，培養學生解決實際問題的能力。“弦外之音”項目設計了情境真實的問題，引導學生綜合運用數學、音樂學科的知識與方法解決問題。項目設計了“制作獨弦琴”的任務，學生以任務為導向，以主導者的身份參與活動，掌握知識的同時，學會提出問題、研究問題的方法，發展了發現問題、提出問題以及利用已有知識分析并解決問題的能力。項目源于真實世界的音樂背景，學生在體會音樂之美的同時，發現音樂世界中有趣的數學知識，從而對數學在實際生活中的應用價值有更加深刻的體驗和理解，發展了模型觀念、創新意識和應用意識，真正實現“三會”素養目標。

根據學生的知識結構和認知發展水平，學生對于“制作獨弦琴”這一任務還存在如下障礙：第一，學生在理解獨弦琴的樂器結構方面存在障礙，尤其是難以把握物理結構如何影響聲音的產生，這涉及弦長、張力與音高之間的數學關系；第二，音樂理論中的數學概念，如節奏、和聲與分數、比例等數學原理緊密相關，但學生可能尚未充分理解這些數學原理在音樂中的應用；第三，探究獨弦琴背后的數學原理，如振動模式和聲音波形，可能會因學生有限數學知識的限制而變得復雜。

基于上述分析，“弦外之音”項目的學習目標確立如下：

1.了解弦樂器的發聲原理，理解數學知識在確定音高過程中發揮的重要作用，提高運算能力。

2.以任務為導向，在提出、分析、解決問題的過程中，培養問題意識、創新意識，體會數學與實際生活的緊密聯系，激發學習興趣。

3.經歷實驗探究、查閱資料、小組合作、交流分享、展示成果等，提高學生的表達及協作能力。

三、項目任務的設計

在項目學習中，學習任務的設計是至關重要的一環，它不僅是學習目標達成的有效路徑，而且關系到學生的學習動力、學習過程的深入程度以及最終的學習效果。任務設計應嚴格遵循已確立的主題和目標，確保每項任務都與學習目標高度相關，引導學生深入探索。任務設計需遵循循序漸進的原則，從基礎概念出發，逐步加深，形成層次分明的任務體系。同時，鼓勵探究性學習，讓學生在任務中主動提出問題、分析問題并尋求解決方案，以此培養他們的數學思維和獨立解決問題的能力。此外，實踐性也是不可忽視的原則，通過設計貼近生活實際問題的任務，讓學生在應用中鞏固知識，深化理解，實現理論與實踐的有機結合。

例如，“弦外之音”項目起始課以“制作獨弦琴”為核心任務，學生利用教師下發的實驗器材，從動手實踐開始，發現樂器背后的數量關系。該項目起始課任務設計如下。

任務1：觀看視頻，明確任務

【視頻內容】用水杯、塑料瓶、吸管、別針、橡皮筋等材料自制樂器的演奏展示；展示按住不同位置，吉他聲音的差別。

【設計目的】描述現象，引導學生深入思考，發現并提出研究問題。

任務2：聚焦關鍵，分解任務

【驅動任務】如何制作一個獨弦琴？

【聚焦問題】引導學生共同確定本節課初步研究的問題：一組音階內的各個聲音的振動與弦長之間的數量關系。

任務3：實踐探究，數據分析

【實踐探究】下發實驗器材和實驗記錄單，引導學生以小組為單位展開探索：尋找一組聲音，嘗試演奏旋律；測量獨弦琴上各個聲音的振動弦長，填寫實驗記錄單。

【數據分析】小組成員根據實驗記錄單填寫在線電子表格（共享文檔）。教師引導學生觀察各小組的數據，并從數學的角度進行廣泛猜想，猜想每組音階內振動弦長的數量關系（定性關系、定量關系）。

任務4：定量分析，制作作品

【驗證展示】驗證猜想得到的規律。引導學生主動思考并提出驗證的方案，如選擇猜想得到的某一組數量關系，再次制作一個獨弦琴，通過演奏旋律，進行驗證、總結。

任務5：課堂小結，自主延伸

【布置課下任務】在總結本節課內容之后，延伸課堂內容，學生自主選擇感興趣的問題進行課后研究。

分析發現，上述任務涵蓋了從細化學習目標到設定反饋機制的全方位設計。

第一，明確任務目標。任務目標應清晰明確，與項目主題緊密相關，能夠引導學生深入理解項目內容，掌握核心知識和技能。同時，任務內容應具有一定的挑戰性和趣味性，以激發學生的學習興趣和積極性?！跋彝庵簟表椖炕谝曨l演示，引導學生描述現象、深入思考、發現問題，進而提出研究問題，明確項目目標。

第二，注重任務的層次性與遞進性。學習任務的設計應具有層次性和遞進性，以適應不同學生的學習需求和能力水平。任務可以分為基礎任務、拓展任務和挑戰任務等，引導學生逐步深入探索項目內容。同時，任務之間應有一定的邏輯關系，形成一個完整的學習鏈條，幫助學生構建完整的知識體系。例如，“弦外之音”項目任務層層遞進：“真實情境—提出問題”，這一過程是利用直觀感知，引導學生提出感興趣的探究問題；“制作獨弦琴”，簡化真實問題，聚焦核心要素進行探究；“聽音制作獨弦琴”，綜合運用音樂相關知識，通過聽音制作獨弦琴；“定量分析”，收集每個小組的一組音階中各個聲音的振動弦長的數據，制作數據表格，猜想數量關系；“定量制作獨弦琴”，利用猜想得到的弦長和聲音的數量關系制作獨弦琴；“確立課后研究方向”，基于制作獨弦琴的經驗，提出新的探究問題，確立課后進一步研究的方向。

第三，關注任務的實踐創新與合作交流。學習任務的設計應盡可能貼近現實生活，注重實際操作和實踐體驗。同時，任務應具有一定的創新性，鼓勵學生發揮想象力和創造力，提出新穎的解決方案或觀點。此外，項目學習往往需要學生之間的合作與交流，在設計學習任務時，應充分考慮學生的合作需求，設置一些需要小組合作完成的任務。這不僅可以培養學生的團隊協作能力，還可以讓學生在交流中相互學習、共同進步。例如，“弦外之音”項目首先引導學生針對觀察到的現象提出各自感興趣的問題；聚焦“制作獨弦琴”任務后，開展小組合作實踐研究，并對小組研究的成果進行展示交流；接著針對各組的數據，開展組間的交流合作，形成猜想；最后創新性提出新問題，確立項目后繼研究方向。

第四，提供必要的資源與指導。為了幫助學生更好地完成任務，教師應提供必要的資源和指導。這包括提供相關的學習材料、工具和設備，以及給予適當的方法指導和建議。同時，教師還應關注學生的任務完成情況，及時給予反饋和指導，幫助學生解決問題、提升能力?！跋彝庵簟表椖恐校谇榫骋氕h節，教師提供視頻資源，引發學生思考，將學生深度卷入項目研究之中；在動手制作環節，教師提供了制作獨弦琴的材料；在數據分析環節，教師利用技術手段及時同步各小組的數據，便于學生進行數據分析。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育課程方案（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022：14.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］張雨朦，李長彥. 關注數學問題提出能力的項目式學習活動的設計與實施：以“弦外之音”項目起始課為例［J］. 中小學課堂教學研究，2025（2）：7-11.

［4］黃延林. 初中數學項目化學習主題設計策略［J］. 中小學數學（初中版），2024（5）：5-6.

（責任編輯：潘安）

【作者簡介】黃延林，高級教師，北京市海淀區教師進修學校中學數學教研員，北京市數學學科帶頭人，北京師范大學學習科學與技術研究室兼職研究員。