有形·無形：指向深度學習的單元整合教學策略研究

［摘 要］圓柱與圓錐作為小學階段最后系統學習的立體圖形，是“圖形與幾何”領域的重要內容。本研究基于單元整體教學目標重構學習序列，開發“制作圓柱和圓錐”實踐課程。以“圖紙”為教學主線，通過“設計平面圖紙—制作立體模型”和“變換平面圖形—繪制立體圖紙”兩大模塊，深度探究圓柱與圓錐的表面積及體積特征，著力培養學生空間觀念、數學素養和實踐能力。

［關鍵詞］圓柱和圓錐；單元整合教學；深度學習

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）08-0063-03

小學數學教材采用單元化編排體系，各單元新知按認知邏輯有序分布，旨在幫助學生建構完整的認知結構。本文從單元整體設計視角審視課時安排，通過重構學習序列實現“整體大于部分之和”的教學效益；基于單元目標完善課時目標，達成“源于目標而高于目標”的教學定位。

以人教版教材六年級下冊“圓柱與圓錐”單元為例，本研究立足深度學習理念，對原有教學序列進行結構性調整（如圖1）。調整后的教學序列突破傳統教學模式，采用“基本特征→表面積→體積”的互動教學路徑，強化知識間的對比聯系。

一、設計平面圖紙，制作立體圖形——從“無形”到“有形”

陶行知曾指出：“中國教育革命的對策是手腦聯盟，結果是手與腦的力量都可以大到不可思議。”在教學中，通過平面圖形與立體圖形的相互轉化活動，可有效落實這一教育理念

（一）牛刀小試：分解一模仿一合成，再認圓柱

1.初探展開圖，化“曲”為“直”

采用“想象—操作—驗證”三部曲開展教學：準備三個紙模圓柱，引導學生沿母線剪裁。通過對比不同展開方式使學生感受到所有曲面展開圖均可轉化為矩形，直觀呈現“化曲為直”的數學思想。

【教學片段1】

師：沿不同路徑剪裁側面時，展開圖形狀如何變化？

生1：沿高剪，得矩形。（如圖2-1）

生2：沿斜線剪，得平行四邊形。（如圖2-2）

生3：沿曲線剪，得不規則圖形。（如圖2-3）

通過動手操作將抽象概念具象化，使學生直觀感知圓柱體結構。這種自主探索過程實現了曲面到平面的幾何轉化，使“化曲為直”的數學思想在實踐活動中自然生成。

2.擬畫設計圖，組“面”成“體”

從立體圖形到平面圖形的分解是訓練學生的順向思維，而通過平面圖形重構立體模型則培養學生的逆向思維。教學中以核心問題驅動探究：首先以問題“任意兩個圓與矩形能否組合成圓柱？”引發學生討論；繼而提出“當側面展開圖為正方形時如何設計？”深化學生思考。學生在制作圓柱模型的過程中，通過觀察“高矮胖瘦”差異與對比表格數據，最終揭示規律：底面半徑決定截面大小（“胖瘦”），高度決定柱體長度（“高矮”）。這一過程不僅直觀呈現表面積計算原理，更在具象操作中建立平面與立體的空間對應關系。

（二）漸入佳境：猜測—驗證—發現，續學圓錐

1.想象展開圖，遷移轉化

學生在掌握圓柱展開圖的學習經驗后，研究圓錐展開圖便漸入佳境。教學時教師先引導學生展開合理想象，當扇形的意象浮現后，再讓學生動手繪制圖形，實現知識的正向遷移。

【教學片段2】

師：一個圓錐由哪幾部分組成？

生1：一個圓形底面和一個側面，側面是曲面。

師：圓柱的側面展開圖是長方形。想象一下，圓錐的側面展開圖可能是什么形狀？

生2：可能是扇形。

師：請在紙上任意畫一個扇形。扇形由哪幾部分組成？

生3：圓心角、半徑和弧。

師：扇形的哪個部分與圓錐底面相關？

生4：扇形的弧長是底面的周長。

師：為什么？

生5：因為這條弧必須與底面周長重合才能圍成圓錐。

任何新知識的學習，都是對原有知識進行遷移、轉化和發展的過程，圓錐的學習亦遵循這一規律。

2.演算關聯量，類比推理

未經驗證的猜測僅是“假設”，唯有通過實踐檢驗才能確認其正確性。因此，需驗證“圓錐側面展開圖是否為扇形”及“扇形弧長是否等于底面周長”。在小組討論后，全班共同確定圓錐平面圖的繪制步驟：

①確定扇形的半徑（如4厘米）和圓心角（如90°），繪制扇形。

②計算扇形弧長（即底面周長）。

③根據周長計算底面半徑，繪制底面圓形。

開普勒曾說：“我珍視類比勝于任何事物，它是我最信賴的老師，能揭示自然界的奧秘，在幾何學中尤不可忽視。”通過演算數據繪制圓錐平面圖，正是基于圓柱學習經驗的類比推理。當平面圖被制成實物圓錐時，猜測即被驗證為真理。為進一步探究圓錐特性，教師可在制作過程中用細線穿過頂點與底面圓心，拉直后的兩點間線段即為圓錐的高。通過對比高與扇形的半徑，學生自然發現高短于扇形的半徑，由此引出“扇形的半徑稱為圓錐的母線”這一概念。母線的引入順理成章，高與母線的區別亦在學生認知中得以強化。

二、律動平面圖形，描繪立體圖紙——從“有形”到“無形”

學習往往遵循這樣的法則：“觀察事物時，需通過表象理解本質，體悟從無到有、由有歸無的辯證過程，此為破解諸多問題的關鍵。”教學中，可通過旋轉、疊加等操作將平面圖形轉化為“有形”的立體圖形，引導學生觀察并描繪其形態與生成過程，進而理解立體圖形的本質規律，最終實現知識的“無形”內化與能力的隱性提升。

（一）快馬揚鞭：洞悉本質，體驗一個面的運動

1.旋轉平面圖，看見軌跡

通過快速旋轉長方形、三角形硬紙板的操作活動，學生能夠結合空間想象理解立體圖形的形成過程。一是將長方形紙板貼于木棍，有兩種貼法——以長或寬為軸旋轉。觀察不同旋轉軸形成的圓柱差異，以及動畫演示圓垂直平移形成圓柱的過程，揭示“同一立體圖形可由不同平面圖形通過不同運動方式生成”。二是直角三角形旋轉實驗。以直角邊為軸旋轉形成圓錐，對比以不同直角邊為軸的結果差異；以斜邊為軸旋轉則生成雙圓錐組合體。

【教學片段3】

師：圓柱由長方形旋轉形成，圓錐可能由哪種圖形旋轉而成？

生1：三角形。

師：將直角三角形貼于木棒后快速旋轉，觀察結果。

生2：以直角邊為軸旋轉形成圓錐。

師：以不同長度的直角邊為軸旋轉，結果相同嗎？

生3：不同。

師：以斜邊為軸呢？

生4：形成雙圓錐組合體。

師：普通三角形以任意邊為軸旋轉呢？

生5：類似直角三角形以斜邊為軸旋轉的結果。

通過對比圓柱與圓錐的生成過程，引導學生從運動視角理解立體圖形的本質特征，強化學生觀察、比較與想象能力。

2.手繪透視圖，思維可視

小學教材中立體圖形多以透視圖呈現。教學中需說明透視圖原理（圓轉化為橢圓），指導學生繪制以長方形不同邊為軸旋轉形成的圓柱透視圖，標注原圖形位置并總結關聯量關系（如半徑與軸長的對應）。在動態繪制的過程中，學生會在腦內建構立體圖形生成模型，并遷移至圓錐透視圖的繪制：明確旋轉軸對應高，另一直角邊對應底面半徑。透視圖繪制將內隱思維顯性化，通過圖形轉化關系揭示平面與立體的內在聯系，促進學生空間觀念與高階思維的發展。

（二）豁然貫通：打破常規，想象多個面的疊加

1.疊加平面圖，看見厚度

以圓片疊加為例，引導學生理解“體由面累積而成”的數學本質。

【教學片段4】

師：聰聰想做一個圓柱，就用卡紙剪出了很多圓片，他能做出一個圓柱嗎？

生1：不能，做圓柱還需要一個長方形。

生2：可能可以，如果是很多圓片，將它們疊起來就得到圓柱。

師：這個想法很有創意。如果要疊起來形成圓柱，對這些圓片有什么要求？

生3：大小要一樣。

師：想象一下，將100個、200個，甚至更多的圓片疊起來，形成什么？

生4：圓柱。

師：圓錐呢？可以由圓片疊加形成嗎？

生5：我覺得每次疊加上去的圓片比上一張小一點點，慢慢疊加，直至小成一個點就形成圓錐了。

師：閉上眼睛試著想象。先放第一張圓片，再放比第一張小一點的第二張圓片，再放比第二張小一點的第三張圓片……放的圓片也越來越小，最后小到近似一個點。這便是圓錐。

通過實物操作與極限想象，學生直觀感受圓柱與圓錐的疊加生成原理，感受極限思想與“化量為形”的數學方法。

2.建立對比表，知識構建

在辨析圓柱與圓錐特征后，教師可引導學生通過對比表（見表1）系統歸納異同，強化知識關聯。

表格以直觀、簡潔的形式整合多維度信息，幫助學生系統性梳理知識脈絡。表1通過對比圓柱與圓錐的特征差異，引導學生經歷“觀察→比較→抽象”的完整認知過程，使學生在歸納中反思、在辨析中內化，最終實現知識結構化后的“豁然貫通”。

“圖”是貫穿圓柱與圓錐教學的思維之光。教師通過“繪制圖→透視圖→對比表”的階梯式引導，將平面圖形轉化為立體模型，使抽象概念具象化；學生則通過“操作→繪圖→想象”的實踐路徑，從“無形”的空間觀念走向“有形”的幾何建構，再升華至“體由面生”的數學本質理解。這一教與學的雙向互動，正是深度課堂中知識生命力與學習內驅力的共同生長。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 陳芳，邵漢民.單元整體設計" " 完善學習序列：以“三位數乘兩位數”的單元教學為例[J].教學月刊小學版（數學），2019（3）：8-11.

[2] 束蘇敏，林俊.在想象中豐富學習體驗：《圓柱和圓錐的認識》教學設計與評析[J].小學教學設計（數學），2020（Z2）：111-113.

（責編" " 金" " 鈴）