數學文化在微積分課程教學中的探索與實踐

微積分是人類歷史上的偉大思想成就之一，也是數學領域不可或缺的一個分支，不僅是高校各學科學生的必修課程，更是培養學生邏輯思維、抽象思維和解決實際問題能力的有力工具。然而，傳統的微積分教學往往側重于公式推導和計算技巧，忽視了數學文化的傳承和數學素養的培養。隨著教育教學理念的不斷更新和課程改革的不斷深入，微積分教學已不僅僅是知識和技巧的傳授，而是要更多地關注數學文化的傳承與發揚。因此，探索數學文化在微積分課程教學中的融入與實踐，對于提高學生的數學學習興趣和數學素養具有重要意義。

1 微積分教學中融入數學文化的必要性

數學，這門古老而深厚的學問，蘊含著豐富的哲學思想和美學內涵。將數學文化融入教學，不僅有助于深化學生對微積分知識的理解，還能緩解學生因課堂上長時間關注定理內容帶來的疲勞，是提升數學教學品質，從而實現知識、能力、思政目標全面達成的一條重要途徑。數學文化，是數學在漫長歲月中積累的理念、思想、方法和精神的總和。它展現數學的簡潔、對稱和樸實之美，展示數學家們的堅韌與智慧，傳遞他們對世界的深刻洞察。

通過訪談新疆各高校，了解到在數學課堂教學中，教師關注更多的是數學知識本身，要知道，數學本身包含知識、思想、方法等多方面內容，而數學文化是數學在發展歷程中，與社會、歷史、人文等諸多領域相互交融形成的，如古代的數學成果反映當時社會的思維與智慧，數學的應用影響著人們的生活方式等。只要有數學存在，其在實踐、傳承、拓展過程中必然會和周邊環境產生關聯互動，進而催生出相應的數學文化。所以當我們一味刻板地講解數學知識，就會切斷數學的文化脈絡，剝離數學知識與數學文化的內在聯系，從而使學生感到枯燥、乏味，數學是看不見的文化，我們要重視和挖掘數學知識中內隱的文化內涵，關注包括數學知識在內的整個數學文化。

2 微積分教學中融入數學文化的應用現狀

數學文化的內涵，其不僅僅是數學公式和理論的堆砌，更是一種思維模式、一種解決問題的方法論。數學文化中蘊含的抽象思維、邏輯推理和創新精神，都是現代社會所亟須的重要素養。我們可以主要從以下兩個方面去理解數學文化的含義：一是數學本身所包含的定理、公式、思想、方法，這些內容在歷史長河中逐步發展、完善，其背后所蘊含的數學家的智慧與探索歷程，反映出特定時代的思維特點與學術氛圍，是數學文化的重要體現；二是數學的廣泛應用，在科技、經濟、建筑等各個領域，它改變了人們的生活方式與認知模式，其在推動社會進步過程中所展現出的作用、價值以及所營造出的崇尚理性與邏輯的文化氛圍，也是數學文化的關鍵組成部分。

然而，這些深層次的文化內涵在傳統的數學教育中往往被忽視。微積分課程教學的現狀在近年來雖有所改進，但仍存在一些問題。一方面，由于教學內容繁雜、課時量有限，教師往往側重于知識點的灌輸和解題技能的訓練，而忽視了數學文化的傳承和學生數學素養的培養。另一方面，由于生源因素，對于本地考生來說，部分學生基礎薄弱，更加難以從中體會到數學的魅力和實用價值，從而感到望而生畏。也有部分學生，步入大學，放松了對自己的要求，從而導致在微積分課程的學習中認為抽象難懂。

針對這些問題，數學教師在數學文化方面進行了很多的探索和實踐。例如，在微積分課程中融入數學史的內容，通過講述微積分的發展歷程和杰出數學家的故事，來激發學生的學習興趣和探究欲望。還有嘗試將數學建模這類實踐性較強的內容引入課堂，讓學生在解決問題的過程中體會數學的力量和魅力。這些探索和實踐為我們提供了寶貴的借鑒和啟示。但它們是否適用于所有的學生和所有的微積分課程？如何在具體的教學中有效地融入數學文化？這些問題仍需要我們進一步的思考。

3 微積分教學中融入數學文化的探索

3.1 轉變教育觀念，樹立數學的文化教育觀

數學的文化教育觀，其根本在于數學教育不應只聚焦數學知識，而要著眼于包含數學知識在內的整個數學文化。教師應深入了解數學在不同歷史階段的發展脈絡，知曉數學知識背后的人文故事以及蘊含的思想演變，明白數學不只是公式定理，更是人類智慧的結晶。在日常教學中，巧妙融入數學文化元素，如講幾何知識時穿插古代埃及人丈量土地推動了幾何的發展，講函數時介紹其在實際生活中的應用案例，讓學生感受到數學與生活及其他學科的緊密相連，體會數學文化的豐富內涵，在數學文化的熏陶下，全方位提升其數學文化素養。

在數學知識教學的基礎上，要有數學的文化教育觀念，不能認為單純的數學知識教學已無用，而應該認為數學知識本身是富有文化內涵、生動鮮活的內容，從文化宏觀視角重新認識數學知識，理解其背后的文化內涵，并有機融入教學。

3.2 合理選取素材，豐富和拓展課堂教學的內容

回顧數學的歷史發展，在生產和生活實踐里，人類一直通過不斷發現新問題、提出新問題和解決新問題，促使數學不斷累積、連續發展，這種“不斷累積性”就是數學的一個重要的文化特征。在數學發展的歷史長河中，關于數學文化的素材可以從以下幾個方面去尋找。

（1）數學家的創造活動

我們可以在教學過程中融入數學史和數學家的故事、數學符號和數學方法的創造發明等。通過介紹微積分的發展歷程，讓學生感受到微積分的深厚底蘊，幫助學生理解微積分來源于實際問題并應用于實際問題。并且在微積分的發展史上，涌現出了大批杰出的數學家，如牛頓、萊布尼茨等。通過講述這些數學家的生平事跡和他們對數學符號、數學方法的發明創造，可以讓學生感受到他們為微積分學科發展所付出的努力，從而培養學生的科學精神和探索意識。由于課時有限，而微積分的發展歷程較長，故該部分內容可選擇通過第二課堂完成，例如，舉辦關于微積分發展歷史的講座，讓學生了解數學背后的文化背景和思想演變。

（2）理清數學的思想方法

微積分不僅是一門技術更是一種思維方式。一方面，微積分中的極限思想、微元法等思想方法，對幫助學生樹立正確的數學觀念，提高學生的思維能力和解決問題的能力具有重要的意義。例如，極限思想是微積分的基礎和核心，它提供了一種用無窮小量分析問題的思路和方法，而微元法則是一種將整體劃分為無數個微小部分進行分析的方法，在解決實際問題中具有廣泛的應用價值。另一方面，尋找數學與其他學科的關聯，運用數學思維來解決其他學科的問題，如其他學科中隱含的數學知識和原理、數學在其他學科中的運用等。具體化就是數學建模，這種思想方法能應用到各個學科領域，強調的是思維模式運用。傳授該思想方法教學，不能只拘泥于數學公式本身形式，要結合其他學科的具體問題展開教學研究，使學生掌握應用數學思維去解決其他學科具體問題的能力。

（3）數學自身的特性

在微積分教材中我們可通過有趣的數字、奇妙的數學問題、神奇的數學規律、趣味的數學游戲等來探尋數學文化。如質數，像數字3、5、7等，它們只能被1和自身整除，尋找大質數一直是數學領域的一個挑戰，質數就如同數學世界的基石，構建起了數論的大廈。斐波那契數列，這個數列從0和1開始，后面的每一項都是前兩項之和。在自然界中廣泛存在，像花朵的花瓣數、松果的螺旋排列等。它還與黃金分割有著密切的關系，給人以一種和諧、美觀的感覺。除了提到的在自然界中的廣泛存在，斐波那契數列還有許多神奇的規律。如隨著數列項數的增加，相鄰兩項的比值越來越接近黃金分割比。斐波那契數列的各項數字的平方和也有著特殊的關系，這些規律展示了數學的內在和諧與統一。莫比烏斯帶，一個只有一個面和一條邊的奇特形狀，將一條長方形紙條扭轉180度后首尾相連，就形成了莫比烏斯帶。沿著帶子的中線剪開，它不會分成兩個獨立的部分，而是會變成一個更大的環，這種神奇的特性挑戰了人們對傳統幾何形狀的認知。在藝術、設計和科學領域，莫比烏斯帶常常被用來象征無限、循環和悖論，給人帶來無盡的遐想。“四色問題”是任何一張地圖只用四種顏色，就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。這個問題經過了長時間的探索和計算機的輔助證明才得以解決。它體現了數學在實際問題中的應用和解決復雜問題的能力。

3.3 精心組織學習活動，改善學生課堂學習方式

（1）倡導師生互動，開展研究性教學活動

數學文化教學是教與學之間傳動和共同交流的過程。需精心設計學習活動，可設計小組作業環節，教師根據學生專業、課程內容等，設計一些具有研究性的主題，例如微積分在經濟學中的應用等，將學生分成若干小組，小組成員通過具體分工最終形成一篇研究報告，安排時間進行小組展示，從而增強學生的參與感，促進學生之間的交流合作與學習。教師也可以提供一些實際的案例，比如生物增長模型等，讓學生運用微積分知識進行分析問題解決問題，從而讓學生達到學以致用的目的。

（2）拓展課外資源，開設第二課堂

微積分教學不僅僅局限于課堂，還要延伸到課外。一方面，增強文化建設，通過開展數學講座，組織圍棋、象棋等數學趣味活動，營造校園數學文化氛圍，讓學生在參與中去感受數學文化的魅力，提升校園文化品位，也為了讓學生接觸到更前沿的數學知識。教師還要充分利用課前、課后等時間要求學生去查閱所學知識的產生背景及其在各個領域的運用情況，以開闊學生視野。另一方面，積極組織學生參加大學生數學競賽、數學建模等活動，以提高學生的數學素養和綜合能力。尤其對于一般的本科院校而言，因自身基礎問題，學生對各類數學比賽參與度不夠，更需要引導學生積極參與。

（3）注重過程性考核

課堂表現、小組討論、課程綜述、章節測試等都可作為過程性考核的一部分。還可增設數學文化相關的作業或考試題目，以檢驗學生對數學文化的掌握情況。通過問卷調查、訪談等方式，收集學生對數學文化融入課程的反饋評價，以便不斷完善教學方案。

一定要精心設計課堂教學的每一個環節，學生在對數學知識進行再創造的過程中，能夠通過自己的親身實踐，從而深刻領悟到形式化的數學知識背后，還有嚴密的思維過程、簡潔的思想方法、引人深思的人生故事，從而使數學文化真正進入學生的內心世界。

3.4 加強自身的學習和積累，不斷提高自己的數學文化素養

讓數學文化切實融入課堂教學，教師自身需要有廣博且深厚的專業素養，尤其是數學文化方面的素養。然而當下，部分微積分授課教師缺乏對數學理論以及數學教育理論的鉆研，在數學文化素養方面存在較大的提升空間。所以在教學實踐中，我們所謂的數學文化教育，有時不過是簡單的生搬硬套，抑或是游離于數學知識教學之外的專門說教，這些都并非真正把數學文化融入其中。基于此，若想讓數學文化真正融入數學課堂，教師務必強化自身學習。教師首先要主動去閱讀教育教學理論以及數學文化相關書籍，比如數學思想方法、數學史、數學家傳記，還有關于數學與生活、數學與其他科學的通俗讀本等，以此提升自身的數學教育理論修養與數學文化修養。其次，積極推動微積分與其他學科的交叉融合，可通過引入跨學科案例、開展項目式學習、邀請其他學科教師合作教學、建立學科聯系圖表等方式，將數學文化與其他科學領域緊密相連。最后，觀看教學創新大賽、各類課程思政比賽，通過學習名師們的精彩課堂，進一步體會數學文化的深層次內涵。無論是讀書還是觀課，一定要有體會和感悟，可能有時這種體會和感悟較為“單薄”和“膚淺”，但正因為這些的體會，我們才能在自己的課堂上有好的展示。通過這種方式，學生可以更好地理解數學的實用價值，從而激發他們的學習熱情和創造力，并培養他們的數學思維和創新能力，真正實現知識教育與文化教育的有機結合。在老教授的課堂上，他們能將數學知識與生活實際聯系得非常緊密，聽他們的課就是一種享受，所以只要學生肯下功夫，最終一定能把握數學文化的真諦。

4 微積分課程中的文化實踐

4.1 在課程首課體現數學文化

數學文化揭示著數學知識的起源、產生背景、形成過程與發展以及解決問題的思路。開學第一課可以告訴學生微積分的三大核心問題是曲線問題、運動問題、變化問題。如果沒有微積分人類就不可能發明電視、電話、計算機、GPS，也不可能發現冥王星、破解人類基因組、將宇航員送上月球，更不能防控艾滋病等。微積分在人類文明進程中這些具有里程碑意義的發明和發現扮演著非常重要的角色。

微積分的核心價值是讓復雜問題簡單化，即把復雜的問題分解成若干個更簡單的部分。微積分真正厲害的地方在于它把這種分而治之的策略發揮到了極致，也就是無窮的程度。它不是把一個大問題切分成有限的幾小塊，而是無休止地切分下去，直到這個問題被切分成無窮多個微小并且可以想象的部分。之后，它會逐一解決所有微小的問題。接下來的挑戰就是把所有微小問題的答案重新組合起來。如圓的面積、周長的計算等。因此，微積分可分為兩個步驟：細分和重組。用數學術語來說，細分過程總是涉及無限精細的減法運算，用于量化各部分之間的差異，這個部分叫作微分學。重組過程則總是涉及無限的加法運算，將各個部分整合成原來的整體，這個部分叫作積分學，這種策略可用于做無盡切分的所有事物。

微積分的思想就是用無窮研究有窮，用直線研究曲線。如動畫片的制作就是用無限細分的思想。電影《阿凡達》用了大約100萬個多邊形模擬植物，整個電影用了數十億個多邊形，這就是微積分，它幫助我們拿到了解決自然奧秘的第一把鑰匙。在微積分思想產生1800多年后，這種思想進化成了語言，進而解決了運動問題。想要知道我國短跑英雄蘇炳添的最高時速是多少，只有微積分能回答這個問題。宇宙中永恒不變的就是變化。天陰天晴，月圓月缺，股票漲跌等如何預測？人們常說用發展的眼光看問題，如何做到這一點，只有靠微積分。艾滋病的防控是由微積分建立的方程得以實現，飛行器的飛行安全由微積分做保障。

課前通過對微積分的應用價值及其中所蘊含的思想方法的講授，讓學生直觀地感受到知識的作用，體會數學的價值，不僅對微積分課程有一個宏觀上的認識，也對后面內容的學習有所期待。

4.2 數列極限

極限作為微積分的核心概念，因為這個概念在日常生活中并不常見，所以較難解釋，最貼切的比喻就是極限就像一個達成不了的目標，你可以離他越來越近，但你永遠無法實現它。我們可以利用一個簡單的例子來說明：如果你走過了你和墻之間距離的1/2，再走剩下距離的1/2，接著繼續走剩下距離的1/2……你最終能否到達墻根。答案顯然是否定的，因為題目明確規定，你每次只能走你和墻之間距離的1/2，而不是全部。不管你走了10次、100萬次還是多少次，你和墻之間總會有間隙。但同樣明顯的是，你可以任意地接近這堵墻。也就是說，通過足夠多次的努力，你可以走到離墻1厘米、1毫米、1納米，或者其他更小但不為0的距離范圍內，但你永遠無法真正走到墻根處。在這里，墻扮演的就是極限的角色。人們花費了大約2000年的時間，才給極限下了一個嚴格的定義。所以，即使你現在對極限的感覺還很模糊，也無須擔心，通過分析一些實例，我們可以更好地了解它們。從現代的角度看，極限之所以重要，原因就在于它們是整個微積分領域的基石。

通過講授我與墻這個簡單的例子讓學生從感官上認識極限，為后面給出極限的嚴格定義奠定基礎，數學思想、數學方法、數學思維等是最高層面的數學文化。

4.3 定積分的概念

數學很多概念中都有“整體——局部——整體”的思想。以求曲邊梯形的面積（定積分定義）為例，用到了“以直代曲”“以不變代變”和“逼近”的數學思想。求曲邊梯形面積的具體步驟如下：一是“分割”，即將曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形；二是“取近似”，針對每個小曲邊梯形，用對應的矩形面積來近似替代；三是“求和”，把所有小矩形面積相加，以此求出大梯形面積，進而得到曲邊梯形面積的近似值；四是“取極限”，通過把曲邊梯形無限細分，使得每個無限小的矩形面積轉化為微分、借助極限式求值，讓原本的近似值變為準確值，最終得到定積分。同時，這里面還蘊含著化歸的思想，教師在整個教學過程中，要將這種化繁為簡、化難為易、化動為靜、從抽象到具體的數學文化價值淋漓盡致地傳輸給學生，告訴大家看待問題不應秉持靜止的眼光，而要運用可變的觀點，要善于對問題進行變形處理。

5 總結

微積分課程中的數學文化探索與實踐，是我們教育教學中的重要課題。通過梳理歷史脈絡、挖掘思想方法、結合實際案例教學等途徑，我們可以更好地傳承和發揚數學文化，并提升微積分課程的教學效果和學生的綜合素質。這對于提升微積分教學質量、培養創新型數學人才具有深遠的實踐意義。但在具體實施過程中，還會遇到一些問題，如課時量壓縮導致的教學時間緊張，教師數學文化素養不夠導致的教學枯燥，數學文化內容選取點不生動導致學生對所講內容不感興趣等。為了解決這些問題，教師需要提升自身數學文化素養，掌握語言的魅力，能通過講故事的方式將數學文化內容生動地演繹出來，還需深入挖掘數學文化與微積分教學更多可能的結合點，選取與學生專業與生活相關的數學文化內容，靈活調整教學計劃，探索更加有效的教學模式和評價機制，將數學文化有效融入現有課程。隨著互聯網和數字技術的快速發展，還可以利用更多元化的教學手段來展現數學文化的魅力，如虛擬現實技術重現數學歷史場景、在線平臺共享數學文化資源等。這些創新方式將進一步拉近學生與數學的距離，使數學文化更生動有效地融入課堂教學。

本文系新疆科技學院2022年度校級教改項目“建設高質量教育體系視域下新疆高校公共數學課程改革實踐探索”（項目編號：JGPT-22-16）研究成果。

（作者單位：新疆科技學院）