變精度不協調決策信息系統的知識約簡及決策方法

摘要：屬性約簡是粗糙集理論的一個核心問題.根據變精度粗糙集理論與包含度理論，引入不協調決策信息系統β-上近似約簡和β-下近似約簡的概念，提出了一種新的知識約簡算法，該算法以β-上近似辨識集和β-下近似辨識集為基礎，先分別求解出β-上近似辨識集與β-下近似辨識集，再通過最小析取范式確定知識約簡集，從而進一步推導出最優決策規則集.理論分析和實例結果表明，該屬性約簡算法具有有效性和實用性.

關鍵詞：不協調決策信息系統；β-上（下）近似辨識集；知識約簡；決策方法

中圖分類號：O159"" 文獻標志碼：A

Knowledge Reduction and Decision-making Methodfor Variable Precision Inconsistent Decision Information Systems

WANG Wei-yuan， WANG Qian*

（College of Mathematics and Computer Science， Northwest Minzu University， Lanzhou 730030， China）

Abstract：Attribute reduction is a key problem in rough set theory. In this paper，the concepts of β-upper approximate reduction and β-lower approximate reduction in inconsistent decision information system is proposed based on variable precision rough set theory and inclusion degree theory. And a new knowledge reduction algorithm is proposes based on β-upper approximate identification set and β-lower approximate identification set. By solving the β-upper approximate identification set，the β-lower approximate identification set and the minimum disjunctive norm， the knowledge reduction set and the optimal decision rule set is obtained. Theoretical analysis and experimental results show that the new attribute reduction algorithm is effective and practical.

Key words：inconsistent decision information system; β-upper（lower） approximate recognition sets; knowledge reduction; decision rule

粗糙集理論^[1]，作為繼概率論、模糊集等之后的新興數學工具，主要用于不精確和不確定的數據處理.該理論在多個領域，如機器學習、知識獲取、決策制定、信息處理、數據挖掘、模式識別及過程控制中，均獲得了廣泛應用與深入推廣^[2].粗糙集理論是處理復雜、不確定及不精確數據的強有力工具，尤其擅長解決傳統統計或計算難以應對的問題.它重新定義知識，把知識看作是不可分辨關系對論域的分類能力.通過引入上下近似概念，該理論有效量化知識中的不確定度，從數據中提煉有價值信息.

隨著科技發展的需要，從海量信息中汲取有價值知識的需求日益迫切.文獻[3]中深入剖析了產業鏈信息的不確定性問題；文獻[4]則巧妙運用邏輯回歸的方法，有效縮減信息的復雜性和冗余.知識發現是一個嚴謹的過程，它需要通過精確的數學方法來揭示信息的深層結構，在此過程中，粗糙集理論被證明是一種極具價值的方法.粗糙集理論通過等價關系細分對象，為復雜信息中提取穩定知識提供新視角.Pawlak模型雖在數據處理與分類上展現了強大的功能，但二元分類忽略現實模糊性，且限于靜態數據，對動態變化應對不足，沒有有效的處理方法.1993年，ZIARKO W^[5]拓展了Pawlak粗糙集模型，提出變精度粗糙集模型，引入了閾值概念，使對象分類不再局限于嚴格等價，在實際應用中能更好地適應各種復雜場景，提高分類的準確性和魯棒性.文獻[6-7]中進一步探討了變精度粗糙集理論的知識約簡方法.

從不協調決策信息系統中獲得屬性約簡和知識約簡是決策系統研究領域的一個重要課題.本文旨在探討從不協調決策信息系統中高效獲取這兩種約簡并進行決策的方法.在已有的不協調決策信息系統屬性約簡技術的基礎上，通過引入不協調決策信息系統β-上近似約簡和β-下近似約簡的概念，提出了一種新的知識約簡算法，該算法以β-上近似辨識集和β-下近似辨識集為基礎，先分別求解出β-上近似辨識集與β-下近似辨識集，再通過最小析取范式來確定知識約簡集，從而進一步推導出最優決策規則集.最后，采用實例分析的方式，對所述算法的有效性和實用性進行了驗證.

1 不協調決策信息系統

定義1^[8-9] 設（U，A，F，d）為決策信息系統，

RA=xi，xjflxi=flxjal∈A，

Rd=xi，xjdxi=dxj，

若RARd，則稱（U，A，F，d）是協調的，若RARd，則稱（U，A，F，d）是不協調的.

（U，A，F，d）為決策信息系統，

RB=xi，xjflxi=

flxjal∈BBA，

U/RB=xiBxi∈U，

U/Rd=D1，D2，…，Dr，

其中xiB=xjxi，xj∈RB.

對xi∈U，記DDj/xiB=Dj∩xiBxiBj≤r，則U上關于B的β上近似協調集、β下近似協調集定義為

MβBxi=

DjDDj/xiBgt;1－βxi∈U，（1）

GβBxi=

DjDDj/xiBgt;βxi∈U.（2）

定義2^[8-9] 設（U，A，F，d）為不協調決策信息系統，BA，

（1）對xi∈U，若MβBxi=MβAxi，則B為β上近似協調集，如果B的任何真子集都不是β上近似協調集，則必是β上近似約簡集.

（2）對xi∈U，若GβBxi=GβAxi，則B為β下近似協調集，如果B的任何真子集都不是β下近似協調集，則必是β下近似約簡集.

例1 不協調決策信息系統如表1所列，取β=3/5.

按照分類，等價關系有

U/RA=x1，x2，x3，x4，x5，x6，

U/Rd=x1，x4，x2，x3，x5，x6.

顯然，RARd，因此U，A，F，d是不協調決策信息系統，并且

Ra1=x1，x2，x3，x4，x5，x6，

Ra2=x1，x2，x3，x4，x5，x6，

Ra3=x1，x2，x3，x4，x5，x6，

Ra4=x1，x2，x3，x4，x5，x6.

于是得到β下近似協調集為

G^βAx1=G^βAx2=，

G^βAx3=G^βAx4=G^βAx5=G^βAx6=D2，

G^βa1x1=G^βa1x2=

G^βa1x3=G^βa1x4=G^βa1x5=

G^βa1x6=D2，

G^βa2x1=G^βa2x2=，

G^βa2x3=G^βa2x4=G^βa2x5=

G^βa2x6=D2，

G^βa3x1=G^βa3x2=，

G^βa3x3=G^βa3x4=G^βa3x5=

G^βa3x6=D2，

G^βa4x1=G^βa4x2=G^βa4x3=

G^βa4x4=G^βa4x5=G^βa4x6=D2.

β上近似協調集為

M^βAx1=M^βAx2=D1，D2，

M^βAx3=M^βAx4=M^βAx5=

M^βAx6=D2，

M^βa1x1=M^βa1x2=M^βa1x3=

M^βa1x4=M^βa1x5=M^βa1x6=D2，

M^βa2x1=M^βa2x2=D1，D2，

M^βa2x3=M^βa2x4=M^βa2x5=

M^βa2x6=D2，

M^βa3x1=M^βa3x2=D1，D2，

M^βa3x3=M^βa3x4=M^βa3x5=

M^βa3x6=D2，

M^βa4x1=M^βa4x2=M^βa4x3=

M^βa4x4=M^βa4x5=M^βa4x6=D2.

2 知識約簡理論分析

設（U，A，F，d）為不協調決策信息系統，對于xi∈U，由上述定義1及定義2，可對屬性子集的約簡性和協調性進行區分.以下給出β上下近似辨識集對的相關概念以及性質和定理.

定義3 設不協調決策信息系統為（U，A，F，d），U/RA=x1A，x2A，…，xiA，MβBxi={Dj|D（Dj/［xi］Bgt;1－β）}，GβB（xi）={Dj|D（Dj/［xi］Bgt;β）}，xi∈U，其中β上下近似對象集對分別定義為

D^*βM=

［xi］A，［xj］AM^βAxi≠M^βAxj，（3）

D^*βG=

［xi］A，［xj］AG^βAxi≠G^βAxj.（4）

定義4 設（U，A，F，d）為不協調決策信息系統，U/RA=C1，C2，…，Cm，fakCi表示ak關于Ci的值.

a） 記

DβMCi，Cj=

akak∈A，fak（Ci）≠fak（Cj），

Ci，Cj∈D^*βM；

，Ci，CjD^*βM，（5）

則定義MβM=DβMCi，Cj，i，j≤m為β上近似辨識矩陣.

b） 記

DβGCi，Cj=

akak∈A，fak（Ci）≠fak（Cj），

Ci，Cj∈D^*βG;

，Ci，CjD^*βG，（6）

則MβG=DβGCi，Cj，i，j≤m為β下近似辨識矩陣.

基于定義3和定義4，可推導出以下的性質和定理.

性質1 設不協調決策信息系統為（U，A，F，d），U/RA=C1，C2，…，Cm，MβM，MβG具有以下性質：

（1） MβM，MβG為對稱矩陣， 即

DβMCi，Cj=DβMCj，Ci，

DβGCi，Cj=DβGCj，Ci，i，j≤m.

（2） MβM，MβG對角線上元素都為A，即

DβMCi，Cj=DβGCi，Cj=A， i，j≤m.

（3） DβM（Ci，Cj）DβM（Ci，Ck）∪DβM（Ck，Cj），i，j，k≤m.

DβG（Ci，Cj）DβG（Ci，Ck）∪DβG（Ck，Cj），i，j，k≤m.

定理1 設不協調決策信息系統為（U，A，F，d），對于BA，有

（1）B是β上近似協調集當且僅當Ci，Cj∈D^*βM，有B∩DβMCi，Cj≠.

（2）B是β下近似協調集當且僅當Ci，Cj∈D^*βG，有B∩DβGCi，Cj≠.

證明 （1） 充分性.假設B是β上近似協調集，若Ci，Cj∈D^*βM，記Ci=xiA，Cj=［xj］A，則由β上近似協調集定義可知MβAxi≠MβAxj.根據β上近似協調集（B為β上近似協調集當且僅當MβAx=MβBx，BA）可知，［xi］A∩［xj］A=，則ak∈B，使得fkxi≠fkxj，即fkCi≠fkCj，因而有ak∈DβMCi，Cj成立，從而B∩DβMCi，Cj≠.

必要性.假設Ci，Cj∈D^*βM，使得B∩DβMCi，Cj=成立，記 Ci=xiA，Cj=［xj］A，則由β上近似協調集定義可知MβAxi≠MβA（xj）.對于ak∈B，必然akDβM（Ci，Cj），使得fkCi=fkCj，即fkxi=fkxj，這說明［xi］B=［xj］B，根據β上近似協調集定義可知B不是β上近似協調集.

（2）充分性.假設B是β下近似協調集，若Ci，Cj∈D^*βG，記 Ci=xiA，Cj=［xj］A，則由β下近似協調集定義可知GβAxi≠GβAxj.根據β下近似協調集（B為β下近似協調集當且僅當GβAx=GβBx，BA）可知，［xi］A∩［xj］A=，則ak∈B，使得fkxi≠fkxj，即fkCi≠fkCj，因而有ak∈DβGCi，Cj成立，從而B∩DβGCi，Cj≠.

必要性.假設Ci，Cj∈D^*βG，使得B∩DβGCi，Cj=成立，記Ci=xiA，Cj=［xj］A，則由β下近似協調集定義可知GβAxi≠GβAxj.對ak∈B，必akDβGCi，Cj，使得fkCi=fkCj，即fkxi=fkxj，這說明［xi］B=［xj］B，根據β下近似協調集定義可知B不是β下近似協調集.

定理1提供了判斷變精度不協調決策信息系統的屬性子集是否具有協調性的理論基礎.

定義5 設不協調決策信息系統為（U，A，F，d），對于U/RA=C1，C2，…，Cm，其β上近似區分公式，β下近似區分公式分別定義為

FM=∧Ci，Cj∈D^*βM∨D^βMCi，Cj，（7）

FG=∧Ci，Cj∈D^*βG∨D^βGCi，Cj.（8）

定理2 設不協調決策信息系統為（U，A，F，d），FM最小析取范式簡記為FM=∨mk=1∧ni=1ai，若Bk=aii=1，2，…，n，則{Bk|k=1，2，…，m}包含所有β上近似約簡集.

證明 對于k≤m，Ci，Cj∈D^*βM，依據最小析取范式的定義可知Bk∩DβMCi，Cj≠，結合定理1中的（1），可推出Bk為β上近似協調集.若FM=∨mk=1Bk從Bk中約去任意元素ai成為Bk′，即Bk′=Bk－ai，則xi，xj∈U，且Ci=xiA，Cj=［xj］A，Ci，Cj∈D^*βM，使Bk′∩DβMCi，Cj=，則Bk不是β上近似協調集，進而，Bk是β上近似約簡集.又因區分公式FM涵蓋所有DβMCi，Cj，因此不包含其他的分布約簡.

定理3 設不協調決策信息系統為（U，A，F，d），FG為最小析取范式，簡記為FG=∨mk=1∧ni=1ai，若Bk=aii=1，2，…，n，則{Bk|k=1，2，…，m}包含所有β下近似約簡集.

證明 對于k≤m，Ci，Cj∈D^*βG，依據最小析取范式的定義可知Bk∩DβGCi，Cj≠，結合定理1中的（2），可推出Bk為β下近似協調集.若FG=∨mk=1Bk從Bk中約去任意元素ai成為Bk′，即Bk′=Bk－ai，則xi，xj∈U，且Ci=xiA，Cj=［xj］A，Ci，Cj∈D^*βG，使Bk′∩DβGCi，Cj=，則Bk不是β下近似協調集，進而，Bk是β下近似約簡集.又因區分公式FG涵蓋所有DβGCi，Cj，因此不包含其他的分布約簡.

定理1、定理2和定理3為處理變精度不協調決策信息系統提供了理論支撐.利用β上近似區分公式與β下近似區分公式，可以計算出相應的最小析取范式，進而簡化規則，同時確保其完整性，獲取各類變精度不協調決策信息系統的相對約簡集.此方法能有效提取優化決策規則，并應對數據的不確定性與不協調性.

3 變精度不協調決策信息系統的知識約簡方法

3.1 算法原理與描述

基于知識約簡理論，根據定義3和定義4求解變精度不協調決策信息系統的辨識集對，也就是β上下近似辨識集對，對對象的屬性集進行精確的分類.再依據定義5、定理2以及定理3，構建出β上近似辨識矩陣和β下近似辨識矩陣.最后，通過計算這些矩陣的最小析取范式，獲取所有的相對約簡集.具體見算法1.

算法1 基于β上近似區分對象集的知識約簡算法

輸入：不協調決策信息系統S=（U，A，F，d）.

輸出：β上近似約簡集和β下近似約簡集.

步驟（1） 對S=（U，A，F，d），xi∈U，計算xiA.

步驟（2） 對S=（U，A，F，d），xi∈U，計算決策等價類xid：

U/Rd=D1，D2，…，Dr=

（xi，xj）∈U×Ud（xi）=d（xj）.

步驟（3） 計算S=（U，A，F，d）的β上近似約簡集：

①根據定義1，對xi∈U，求MβAxi，

MβAxi=

DjDDj/xiAgt;1－β，xi∈U.

②計算D^*βM，得到β上近似區分對象集對，

D^*βM=

［xi］A，［xj］AMβAxi≠MβAxj.

③根據β上近似區分對象集對，計算β上近似區分屬性集DβMCi，Cj.

DβMCi，Cj=

akak∈A，fak（Ci）≠fak（Cj），

Ci，Cj∈D^*βM;

，Ci，CjD^*βM.

④根據DβMCi，Cj，計算β上近似辨識矩陣.

MβM=∧i，j∨DβM（Ci，Cj）=

∧Ci，Cj∈D^*βM∨DβM（Ci，Cj）.

⑤計算FM=∨mk=1∧ni=1ai的最小析取范式，得到β上近似約簡集F^minM.

步驟（4） 計算S=（U，A，F，d）的β下近似約簡集.

①根據定義1，對xi∈U，求GβAxi.

GβAxi=

DjDDj/xiAgt;βxi∈U.

②計算D^*βG，得到β下近似區分對象集對，

D^*βG=

［xi］A，［xj］AGβAxi≠GβAxj.

③根據β下近似區分對象集對，計算β下近似區分屬性集DβGCi，Cj，

DβGCi，Cj=

akak∈A，fak（Ci）≠fak（Cj），

Ci，Cj∈D^*βG;

，Ci，CjD^*βG.

④根據DβGCi，Cj，計算β下近似辨識矩陣，

MβG=∧i，j∨DβG（Ci，Cj）=

∧Ci，Cj∈D^*βG∨DβG（Ci，Cj）.

⑤計算FG=∨mk=1∧ni=1ai的最小析取范式， 得到所有β下近似約簡集F^minG.

步驟（5） 輸出β上近似約簡集和β下近似約簡集.

3.2 算法分析

算法1步驟（1）和（2）的時間復雜度均為ΟU.對于步驟（3） 和步驟（4）中，①，②均可在時間復雜度ΟU3內完成，③的時間復雜度分別為ΟD^*βM.C和Ο（|D^*βG|.|C|），④，⑤的時間復雜度均接近于ΟU2.因此，本算法總的時間復雜度為 ΟU3.算法1的空間復雜度為ΟU3.

與算法1相比，文獻[12]在計算不協調信息系統的屬性約簡時， 需要構建決策系統的區分矩陣來存儲差別屬性， 其算法的空間復雜度為 ΟC.U2， 因此， 當屬性集的個數大于對象集的個數時，即Cgt;U時，占用的存儲空間較大.相較于目前常用的屬性約簡算法，本文算法在時間復雜度和空間復雜度上有較大的優勢，并且能夠求出系統所有β上近似約簡集和β下近似約簡集.

4 基于β上近似協調算法的決策規則獲取

屬性約簡是識別和簡化決策表中條件屬性和決策屬性之間關系的過程，通過這個過程，粗糙集理論可以從復雜的數據中提取出簡潔而有用的知識，為決策提供支持.采用簡化的決策表，并運用歸納方法提取條件屬性與決策屬性間的關聯規則，進而推導出變精度不協調決策信息系統的決策準則^[10].在此過程中，決策規則的前提和后件分別對應于屬性集的描述和最終的決策判定.設不協調決策信息系統為S=（U，A，F，d），BA，d=d，U/Rd=d1，d2，…，dr，決策規則可表示為rx：∧a，v→∨d，w，a∈BA，v∈Va，w∈Vd，其中，Va表示a的值域，Vd表示d的值域.

用Crix衡量rx的可信度因子^[10]，

Crix=maxmi=1xB∩xdxB，

其中，B的等價類是xB，d的等價類是xd，集合基數是·.顯然，若Crx=1，rx為確定規則；若0lt;Crxlt;1，rx為不確定規則.

定義6^[11] 設∧a，v→∨d，w是一般決策規則，則稱red∧a，v→∨d，w是優化決策規則.

在變精度不協調決策信息系統中，通過β上下近似約簡簡化決策表，成為新的決策表，得到新的決策信息系統，它包含更少的屬性但仍然能夠進行有效的決策.為評估決策規則的可靠性，本文選取了規則可信度^[10]的概念，利用該概念對已獲取的決策規則進行優化處理，進而提煉出更為高效的決策規則.針對變精度不協調決策信息系統，提取優化決策規則的具體算法，詳見算法2.

算法2 變精度不協調決策信息系統的優化決策規則

輸入：不協調決策信息系統S=（U，A，F，d）.

輸出：最優決策規則集.

步驟（1） 基于算法1給出的約簡算法，進一步計算出S=（U，A，F，d）中所有的β上近似約簡集F^minM與β下近似約簡集F^minG.

步驟（2） 利用a） 計算出的F^minM和F^minG，構造新的決策信息系統S′=（U，A，F，d）.

步驟（3） 規則的獲取與選擇.計算每條規則的可信度，從新的決策信息系統S′=（U，A，F，d）中提取滿足條件的決策規則.

步驟（4） 當某條決策規則的可信度達到或超過給定閾值時，將其視為最優決策規則，分別輸出確定性的規則集Crx=1不確定性的規則集0lt;Crxlt;1，并對這些規則進行統一的整合處理.

5 算例分析

為了進一步分析本文算法的有效性，設S=（U，A，F，d）是不協調決策信息系統，其中U=x1，x2，…，x6，C=a1，a2，a3，a4，d=d，如表2所列.求出以下不協調決策信息系統在β=0.7時的β上近似約簡和在β=0.6時的β下近似約簡.

第1步 由算法1的步驟（1），計算條件屬性等價類為

C1=x1A=x1，

C2=x2A=x2，

C3=x3A=x3，x5，x6，

C4=x4A=x4.

第2步 由算法1的步驟（2），計算決策屬性等價類為

D1=x1，x5，x6，D2=x2，x3，x4.

第3步 由算法1的步驟（3），計算在β=07時的β上近似約簡：

（a） 根據算法1中步驟（3）中①計算β=0.7時的β上近似協調集M^0.7Axi的值i=1，2，…，6，M^0.7Ax1=1，0，M^0.7Ax2=0，1，M^0.7A（x3）=M^0.7A（x5）=M^0.7A（x6）=0.67，0.33，M^0.7Ax4=0，1.

（b） 根據算法1中步驟（3）中②，計算在β=0.7時β上近似區分對象集對為

D^*0.7M=C1，C2，C1，C3，

C1，C4，C2，C3，C3，C4.

（c） 根據算法1中步驟（3）中③計算β上近似屬性集：D^*0.7MC1，C2=a1，a2，a3，a4，D^*0.7M（C1，C3）={a1，a2}，D^*0.7M（C1，C4）={a1，a2，a3}，D^*0.7M（C2，C3）={a3，a4}，D^*0.7M（C3，C4）={a3}.

（d） 根據算法1中步驟（3）中④和⑤，計算最小析取范式：

FM=a1∨a2∨a3∨a4∧

a1∨a2∧a1∨a2∨a3∧a3∨a4

∧a3=a1∧a3∨a2∧a3.

因此，S=（U，A，F，d）在β=0.7時的β上近似約簡集為a1，a3和a2，a3.

第4步 由算法1的步驟（4）中①，求在β=0.6時的β下近似約簡：

（a） 根據算法1中步驟（4）中①，計算β=06時的下近似協調集G^0.6Axi，i=1，2，…，6，G^0.6Ax1=D1，G^0.6Ax2=D2，G^0.6Ax3=G^0.6Ax5=G^0.6Ax6=D1，G^0.6Ax4=D2.

（b） 根據算法1中步驟（4）中②，計算在β=0.6時β下近似區分對象集對：

D^*0.6G=

C1，C2，C1，C4，C2，C3，C3，C4.

（c） 根據算法1中步驟（4）中③，計算β下近似區分屬性集：

D^*0.6GC1，C2=a1，a2，a3，a4，

D^*0.6GC1，C4=a1，a2，a3，

D^*0.6GC2，C3=a3，a4，

D^*0.6GC3，C4=a3.

（d） 根據算法1中步驟（4）中④和⑤，計算最小析取范式，

FG=a1∨a2∨a3∨a4∧

a1∨a2∨a3∧a3∨a4∧

a3=a3.

因此，S=（U，A，F，d）在β=0.6時的β下近似約簡集為a3.

第5步 由算法2，基于F^minM=a1，a3，對應優化決策規則集為

r1：a1，1∧a3，0→d，1，

r2：a1，0∧a3，1→d，2，

r3：a1，0∧a3，0→d，1∨d，2.

基于F^minM=a2，a3，對應優化決策規則集為

r1：a2，0∧a3，0→d，1，

r2：a2，1∧a3，1→d，2，

r3：a2，1∧a3，0→d，1∨d，2.

第6步 基于F^minG=a3，對應優化決策規則集為

r1：a3，0→d，1∨d，2，

r2：a3，1→d，2.

因此，不協調決策信息系統S=（U，A，F，d）在β=0.7時的β上近似約簡集為B1=a1，a3，a2，a3，在β=0.6時β下近似約簡集B2=a3，這些方法均能從不協調的決策系統中有效地提取出優化后的決策規則，從而提升決策的效率和準確性.

6 結束語

本文針對不協調決策信息系統，根據變精度粗糙集理論與包含度理論，引入β-上近似約簡和β-下近似約簡的概念，提出了一種新的知識約簡算法.該算法通過引入變精度參數，能夠靈活調整決策邊界，優化決策規則.實例證明，本文方法有效降低了數據冗余，提高了決策效率.下一步將針對動態信息系統，在泛化決策表的基礎上，重點研究知識約簡的動態更新理論和增量式約簡算法.

參考文獻：

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［責任編輯：趙慧霞］