不同序列上傅里葉系數的一致均值估計

摘要：在解析數論領域，探討全純尖形式的傅里葉系數具有重要的理論價值.通過復變函數的積分技巧， 結合自守L-函數的凸界以及積分均值估計方法， 研究了不同序列上傅里葉系數的一致均值估計， 形式化表達為

∑n≤xλfnλfnj， j=2，3，其中f是全模群Γ=SL（2，Z）上權為偶數k的Hecke特征型， λfn是其在尖點SymboleB@處傅里葉展開的第n個標準化傅里葉系數.

關鍵詞：全純尖形式；傅里葉系數；自守L-函數；一致均值估計.

中圖分類號：Ο156.4"" 文獻標志碼：A

Uniform Mean Estimates ofFourier Coefficients over Different Sequences

LI Li-juan

（College of Mathematics and Statistics， North China University ofWater Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046， China）

Abstract：In the field of analytic number theory， exploring the Fourier coefficients of holomorphic modular form holds significant theoretical value. This paper will use the method of integration of complex variable functions， combing with the convexity bounds of the automorphic L-function and estimates of the mean value， studies the uniform mean estimates of Fourier coefficients on different sequences. The formal expression is as follows ∑n≤xλfnλfnj， j=2，3，where f be a Hecke eigenform of even integral weights k for the full modular group Γ=SL（2，Z） and λfn be the nth normalized Fourier coefficient of its Fourier expansion at the cuspSymboleB@.

Key words：cusp form; Fourier coefficient; automorphic L-function; uniform mean estimate

0 引言

設H*k表示全模群Γ=SL（2，Z）上權為偶數k的所有標準化的Hecke特征型的集合.若f∈H*k，它在尖點SymboleB@處的傅里葉展開式為

f（z）=∑SymboleB@n=1λf（n）n^k－12e^2πinz，

其中λfn是第n個標準化傅里葉系數.根據Hecke算子理論，λfn是實的且滿足可乘性

λf（m）λf（n）=∑d∣（m，n）λfmnd2.（1）

根據Deligne^[1]的工作，對于任何素數p，都存在兩個復數α（p）和β（p），使得

λf（p）=α（p）+β（p），

|α（p）|=|β（p）|=α（p）β（p）=1，（2）

也證明了拉馬努金-彼得森猜想，即

λfn≤d（n）≤nε，（3）

其中，d（n）是除數函數，ε是任意小的正數.

在解析數論領域，傅里葉系數的均值估計一直是學者們關注的焦點，近些年，許多學者在這一領域取得了顯著成果.針對單個整數序列上傅里葉系數均值估計的研究，IVI" A^[2]證明了單個平方序列上的傅里葉系數均值估計，其表達形式為∑n≤xλf（n2）.隨后，SANKARANARAYANAN A^[3]在文獻[2]的基礎上改進了這一結果，不僅考慮了權重k的影響，還得到了單個平方序列上傅里葉系數的一致均值估計.LU G S^[4]利用L-函數的凸界和積分均值證明了

∑n≤xλf（n3）f，εx^34+ε，

∑n≤xλf（n4）f，εx^79+ε，

還證明了m次對稱冪L-函數傅里葉系數的均值估計.LAU Y K等^[5]，TANG H C等^[6]利用復變函數積分的方法對之前的結果進行了改進.2022年，CHEN G H等^[7]通過中值定理和積分均值得到了m次對稱冪L-函數傅里葉系數的一致均值估計：

∑n≤xλsymmf（n）

k^{m（m+1）/（2（m+2））}x^{1/（m+2）+ε}+x^{m/（m+2）+ε}.

對于兩個相同序列上傅里葉系數均值估計的研究，其歷史可以追溯到RANKIN R^[8]和SELBERG A^[9]的獨立工作，他們引入了著名的Rankin-Selberg方法，并用此證明了傅里葉系數平方的均值估計，其表達形式為∑n≤xλf（n）λf（n）.JIANG Y J等^[10]利用積分均值估計以及L-函數的凸界等方法，得到了傅里葉系數平方的一致均值估計.LAO H X等^[11]利用對稱冪L-函數的性質和Rankin-Selberg方法，研究了更高次傅里葉系數平方的均值估計.在2022年，HUA G D^[12]進一步完善了文獻[11]的結果，并把它的均值估計推廣到了更為一般的形式：

∑n≤xλf（ni）λf（ni）=

cx+O（x^{［（i+2）i］/［i（i+2）+2］+ε}）.

此外，在2024年，HAN X等^[13]利用中值定理和積分均值得到了m次對稱冪L-函數傅里葉系數平方的一致均值估計：

∑n≤xλsymmf（n）λsymmf（n）=

cx+O（k^（m+1）2/4x^1/2+ε+x^［（m+1）2－1］/［（m+1）2+1］+ε）.

對于兩個不同序列上傅里葉系數均值估計的研究，LAO H X^[14]利用復變函數積分的方法，證明了不同稀疏序列中傅里葉系數的均值估計

∑n≤xλf（n）λf（nj）x^{1－1/（j+1）+ε}，j=2，3，

定義L1，j（x）=∑n≤xλf（n）λf（nj）.

基于上述研究，本文將利用復變函數積分的方法，結合自守L-函數的凸界以及積分均值估計結果等，考慮了權重k對L1，j（s）的影響，得到了L1，2（s）和L1，3（s）的一致均值估計.

定理1 設f∈H*k，λfn是其在尖點SymboleB@處傅里葉展開的第n個標準化系數，對于充分大的x和任意的εgt;0，有

∑n≤xλf（n）λf（n2）x^23+ε+k³²x^12+ε.

定理2 設f∈H*k，λfn是其在尖點SymboleB@處傅里葉展開的第n個標準化系數，對于充分大的x和任意的εgt;0，有

∑n≤xλf（n）λf（n3）x^34+ε+k⁴³x^23+ε.

1 基礎知識

設f∈H*k，文獻[15]定義了一個L-函數，它由歐拉乘積d≥1的狄利克雷級數給出，形式為

Ld（f，s）=∑SymboleB@n=1λf（n）ns=

∏plt;SymboleB@∏dj=11－αf（p，j）p^－s－1，d≥1，

αf（p，j）表示Ld（f，s）在p處的局部參數.

由于級數和歐拉乘積在右半平面R（s）gt;1上是絕對收斂的，則有完全L-函數為

Λ（f，s）=q（f）^s2γ（f，s）Ld（f，s），（4）

滿足

Λ（f，s）=ε（f）Λ（f，1－s），

其中，ε（f）=1，且

γ（f，s）=π^－ds2∏dj=1Γs+κj2.（5）

這里κj表示合適的局部參數.

定義解析導子^[15]為

q（f，t）=q（f）qSymboleB@（t）=

q（f）∏dj=1|it+κj|+3.（6）

設f∈H*k，COGDELL J等^[16]定義了m次對稱冪L-函數，

L（s，symmf）=

∏p∏mj=01－αf（p）^m－jβf（p）jp^－s－1.（7）

當R（s）gt;1時，它可以表示為狄利克雷級數，

L（symmf，s）=∑SymboleB@n=1λsymmf（n）ns=

∏p1+λsymmf（p）ps+…+λsymmf（pk）p^ks+…，（8）

其中λsymmf（n）是可乘的，特別的，L（s，sym1f）=L（s，f）.由式（1），（2），（7）和（8）可以得到

λf（pm）=∑mj=0αf（p）^j－mβf（p）m=λsymmf（p）.（9）

引理1^[16-17] 設f∈H*k，m次對稱冪L-函數L（s，symmf）的阿基米德局部因子為

LSymboleB@（s，symmf）=

∏nv=0ΓC［s+（v+1/2）（k－1）］，

m=2n+1；

ΓR（s+δ2|／n）∏nv=1ΓC［s+v（k－1）］，

m=2n，

其中，ΓR（s）=π^－s/2Γs/2，ΓC（s）=2（2π）^－sΓ（s），且δ2|／n=1，2|／n;0，其他.

完全L-函數為

Λ（s，symmf）=LSymboleB@（s，symmf）L（s，symmf），

滿足函數方程

Λ（s，symmf）=εsymmfΛ（1－s，symmf），

其中εsymmf=±1.

引理2 設f∈H*k，λf（n）表示第n個標準化的傅里葉系數，當R（s）gt;1時，

L1，2s：=∑SymboleB@n=1λf（n）λf（n2）ns，

則有

L1，2s=L（f，s）L（sym3f，s）U1，2（s），

其中

U1，2（s）=

∏p1+λf（p2）λf（p4）-b（p2）p^2s+…，

是R（s）gt;12上絕對收斂級數.

證明 由于λf（n）的可乘性，利用式（2）和（9）可得

λf（p）λf（p2）=

α（p）+β（p）α2（p）+1+β2（p）=

α3（p）+β3（p）+2α（p）+2β（p）=

λf（p3）+λf（p）.

當R（s）gt;1時，定義L*1，2（s）=L（f，s）L（sym3f，s），結合式（8），將L*1，2（s）寫成歐拉乘積的形式，可以得到

∏p1+b（p）ps+…+b（pk）p^ks+…，

其中b（p）=λf（p）+λf（p3）.因此，可得

L1，2s=∑SymboleB@n=1λf（n）λf（n2）ns=

∏p1+λf（p）λf（p2）ps+…+

λf（pk）λf（p^2k）p^ks+…=

L*1，2（s）×

∏p1+λf（p2）λf（p4）－b（p2）p^2s+…=

L（f，s）L（sym3f，s）U1，2（s）.

利用式（3）不難證明U1，2（s）在右半平面R（s）gt;12上是絕對收斂的級數.

引理3 設f∈H*k，λf（n）表示第n個標準化的傅里葉系數，當R（s）gt;1時，

L1，3s：=∑SymboleB@n=1λf（n）λf（n3）ns，

則有

L1，3s=L（sym2f，s）L（sym4f，s）U1，3（s），

其中U1，3（s）是R（s）gt;12上絕對收斂級數.

證明 由于λf（n）的可乘性，利用式（2）和（9），可得

λf（p）λf（p3）=α（p）+β（p）

α3（p）+α（p）+β（p）+β3（p）=

α4（p）+β4（p）+2α2（p）+2β2（p）+2=

λf（p4）+λf（p2）.

當R（s）gt;1時，定義L*1，3（s）=L（sym2f，s）L（sym4f，s），結合式（8），將L*1，3（s）寫成歐拉乘積的形式，可以得到

∏p1+c（p）ps+…+c（pk）p^ks+…，

其中c（p）=λf（p2）+λf（p4）.因此，可得

L1，3s=∑SymboleB@n=1λf（n）λf（n3）ns=

∏p1+λf（p）λf（p3）ps+…+

λf（pk）λf（p^3k）p^ks+…=

L*1，3（s）×

∏p1+λf（p2）λf（p6）－c（p2）p^2s+…=

L（sym2f，s）L（sym4f，s）U1，3（s）.

引理4^[15] 對于任意的εgt;0，有

Ldf，σ+it

qf，t^{max{（1－σ）/2，0}+ε}，

其中-εlt;σ≤1+ε，|t|≥1.

引理5^[10] 對于任意的εgt;0，當0lt;σlt;1，T≥1時，有

∫T1Ldf，s2dt

Tqf，T^1－2σ+ε+qf，T^1－σ+ε，

0lt;σ≤1/2；

T+qf，T^1－σ+ε，1/2lt;σ≤1.

引理6 當m=2n+1時，對于任意的εgt;0，有

∫T1Lsymmf，s2dt

TT^m+1+k^{m+11－2σ+ε}+T^m+1+k^m+11－σ+ε，

0lt;σ≤12；

T+T^m+1+k^m+11－σ+ε，12lt;σ≤1

對于0lt;σlt;1，T≥1一致成立;

Lsymmf，s

t^m+1+k^{m+1max{（1－σ）/2，0}+ε}

對于0lt;σ≤1+ε，t≥1一致成立.

證明 將引理1中m=2n+1的完全函數與式（4）-（6）結合，可以得到

qsymmf，t=

∏nv=0it+（v+1/2）（k－1）+3

it+（v+1/2）（k－1）+1+3

t²ⁿ⁺²+k²ⁿ⁺².

利用引理4、引理5可以得到對稱冪L-函數的凸界和積分均值.

引理7 當m=2n時，對于任意的εgt;0，有

∫T1Lsymmf，s2dt

TT^m+1+kmT^1－2σ+ε+T^m+1+kmT^1－σ+ε，

0lt;σ≤12；

T+T^m+1+kmT^1－σ+ε，12lt;σ≤1

對于0lt;σlt;1，T≥1一致成立;

Lsymmf，s

t^m+1+kmt^{max{（1－σ）/2，0}+ε}

對于－εlt;σ≤1+ε，t≥1一致成立.

證明 將引理1中m=2n的完全函數與式（4）-（6）結合，可以得到

qsymmf，t=

it+δ2|／n+3∏nv=1it+v（k－1）+3

it+v（k－1）+1+3

t²ⁿ⁺¹+k²ⁿt.

利用引理4，引理5，可以得到對稱冪L-函數的凸界和積分均值.

2 定理1的證明

證明 根據Perron公式^[15]，可以得到

∑n≤xλf（n）λf（n2）=

12πi∫^b+iTb－iTL1，2（s）xssds+Οx^1+εT，（10）

其中b=1+ε，0lt;T≤x是待定參數.

將積分線移動到Re（s）=12+ε處.根據柯西留數定理，式（10）可以寫為

∑n≤xλf（n）λf（n2）=

12πi∫^1/2+ε+iT1/2+ε－iT+∫^b+iT1/2+ε+iT+∫^1/2+ε－iTb－iT

L1，2（s）xssds+Ox^1+εT=

I1+I2+I3+Ox^1+εT，（11）

由引理2可知，

I1∫^1/2+ε+iT1/2+ε－iTLf，sLsym3f，sxssds，

I2+I3

∫^b+iT1/2+ε+iTLf，sLsym3f，sxssds.

首先，估計水平積分I2+I3的上界范圍，令s=σ+iT，利用引理4，引理6的凸界，可以得到

I2+I31T∫b1/2+ε|Lf，σ+iT

Lsym3f，σ+iT|xσdσ

1T∫b1/2+ε|qf，Tqsym3f，T|^1－σ2xσdσ

1T∫b1/2+ε（T2+k2）（T4+k4）1－σ2xσdσ

x^1+εT+T¹²+k³²Tx^12+ε.（12）

其次，估計豎直積分I1的上界范圍，令s=12+ε+it，利用引理5，引理6以及柯西施瓦茲不等式，可以得到

I1x^12+ε∫10Lf，12+ε+it

Lsym3f，12+ε+itdtt+

x^12+ε∫T1Lf，12+ε+it

Lsym3f，12+ε+itdtt

x^12+εqf，0qsym3f，014+

x^12+εsup1≤T1≤T1T1∫^2T1T1Lf，12+ε+it

Lsym3f，12+ε+itdt

k³²x^12+ε+

x^12+εsup1≤T1≤T1T1∫^2T1T1Lf，12+ε+it2dt12

∫^2T1T1Lsym3f，12+ε+it2dt12

k³²x^12+ε+

x^12+εsup1≤T1≤T1T1T1+qf，T11212

T1+qsym3f，T11212

k³²x^12+ε+x^12+ε（T³²+k³²）T

k³²x^12+ε+x^12+εT¹²+k³²T.（13）

因此，結合式（10）—（13）可得

∑n≤xλf（n）λf（n2）

x^1+εT+k³²x^12+ε+T¹²x^12+ε.（14）

最后，通過計算可知，當T=x¹³時，式（14）的結果為

∑n≤xλf（n）λf（n2）x^23+ε+k³²x^12+ε.

3 定理2的證明

證明 根據Perron公式^[15]，可以得到

∑n≤xλf（n）λf（n3）=

12πi∫^b+iTb－iTL1，3（s）xssds+Οx^1+εT，（15）

其中b=1+ε，0lt;T≤x是待定參數.將式（15）的積分線移動到Re（s）=23+ε處，根據柯西留數定理有

∑n≤xλf（n）λf（n3）=

12πi∫^2/3+ε+iT2/3+ε－iT+∫^b+iT2/3+ε+iT+∫^2/3+ε－iTb－iT

L1，3（s）xssds+Ox^1+εT=

J1+J2+J3+Ox^1+εT.（16）

由引理3可知，U1，3（s）是在R（s）gt;12上的絕對收斂級數，放大得到

J1∫^2/3+ε+iT2/3+ε－iT|Lsym2f，s

Lsym4f，sxss|ds，

J2+J3∫^b+iT2/3+ε+iT|Lsym2f，s

Lsym4f，sxss|ds.

首先，估計水平積分J2+J3，令s=σ+iT，利用引理4，引理7可以得到

J2+J31T∫b2/3+ε|Lsym2f，σ+iT

Lsym4f，σ+iT|xσdσ

1T∫b2/3+ε|qsym2f，Tqsym4f，T|^1－σ2xσdσ

1T∫b2/3+ε（T3+k2T）（T5+k4T）1－σ2xσdσ

x^1+εT+T¹³+kT^2/3x^23+ε.（17）

其次，估計豎直積分J1，令s=23+ε+it，利用引理5，引理7以及柯西-施瓦茲不等式，可以得到

J1x^23+ε∫10Lsym2f，23+ε+it

Lsym4f，23+ε+itdtt+

x^23+ε∫T1Lsym2f，23+ε+it

Lsym4f，23+ε+itdtt

x^23+εqsym2f，0qsym4f，016+

x^23+εsup1≤T1≤T1T1∫^2T1T1Lsym2f，23+ε+it

Lsym4f，23+ε+itdt

k⁴³x^23+ε+x^23+ε

sup1≤T1≤T1T1∫^2T1T1Lsym2f，23+ε+it2dt12

∫^2T1T1Lsym4f，23+ε+it2dt12

k⁴³x^23+ε+

x^23+εsup1≤T1≤T1T1T1+qsym2f，T11312

T1+qsym4f，T11312

k⁴³x^23+ε+x^23+ε（T⁴³+kT¹³）T

k⁴³x^23+ε+x^23+εT¹³+kT^2/3.（18）

因此，結合式（15）—（18）可知

∑n≤xλf（n）λf（n3）

x^1+εT+k⁴³x^23+ε+T¹³x^23+ε.（19）

最后，通過計算可知，當T=x¹⁴時，式（19）的結果為

∑n≤xλf（n）λf（n3）x^34+ε+k⁴³x^23+ε.

4 結語

本文主要利用復變函數積分的方法，結合自守L-函數的凸界以及積分均值估計結果等，研究了不同序列上傅里葉系數的一致均值估計，得到了更加精確的均值估計結果.

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［責任編輯：趙慧霞］