高中數學建模在探究活動中的應用與實踐研究

摘要：高中數學建模作為培養學生綜合素養的重要教學工具，近年來在探究式活動中的應用與實踐研究得到了廣泛關注.數學建模通過將實際問題轉化為數學問題，可以幫助學生理解數學的現實意義，提升其分析、推理和解決問題的能力.

關鍵詞：高中；數學建模；探究活動；應用與實踐

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）09-0043-03

隨著教育理念的不斷改革，傳統的數學教學模式面臨轉型挑戰，高中數學建模逐漸成為培養學生綜合能力的重要手段.這是由于數學建模不僅有助于學生將課堂中學到的數學知識應用于解決實際問題，還能夠激發其探究和創新精神，培養其批判性思維和自主學習能力.基于此，本文以探究活動“茶水水溫問題”為例，詳細闡述高中數學建模在探究活動中的應用與實踐措施.

1高中數學建模在探究活動中的應用意義

1.1提升學生的問題解決能力

數學建模本質上是將復雜的現實問題轉化為數學問題，通過建立模型進行求解.在這一過程中，學生不僅要掌握數學知識，還需要學會如何從紛繁復雜的現實問題中提煉出關鍵的數學因素，并進行合理的簡化和假設[1].例如，在經濟學或物理學相關的建模中，學生需要將問題抽象為函數、方程或幾何圖形，利用高中所學的知識進行推理與分析.數學建模探究活動通過引入實際問題，幫助學生在多變的情境中應用數學知識，鍛煉其適應變化、分析復雜問題的能力.

1.2培養學生的創新思維

創新能力是新課標強調的核心素養之一，與傳統的題海戰術不同，數學建模要求學生從無到有地創建模型，并基于不確定的現實情況進行假設和驗證.這個過程需要學生具備靈活的思維能力，在嘗試不同路徑時體現出創造力.同時，學生在建模過程中，需要不斷對模型進行調整、修正，甚至需要舍棄原有的錯誤假設，重新構建新的解決路徑.

1.3促進學科知識的綜合運用

高中數學建模不僅局限于數學學科本身，它還具有顯著的跨學科性.通過建模活動，學生可以把數學知識與其他學科知識結合起來，形成更廣闊的知識體系.比如，在自然科學、工程、經濟學等多個領域中，數學建模都起到橋梁作用，幫助學生將物理現象、經濟波動、生物進程等現象轉化為數學形式，從而加深對各學科間知識關聯的理解[2]，深化對數學本身的理解，增強綜合素養.

1.4增強學生的團隊合作與交流能力

數學建模探究活動通常是團隊合作完成的，強調學生之間的分工與合作.在此過程中，學生需要相互討論、交流想法，共同分析問題并提出解決方案，這不僅能夠培養學生的合作意識，還提高了學生的溝通和表達能力.在團隊建模活動中，學生會遇到不同的意見和見解，如何有效交流、彼此說服并達成共識，是團隊合作中的重要內容.同時，在結果匯報階段，學生需要將復雜的建模思路通過清晰的語言和圖表呈現出來，以便讓他人理解其解決方案，這對于學生的語言表達、邏輯推理和數學素養都是一種全面的鍛煉.

2高中數學建模在探究活動中的應用措施——以探究活動“茶水水溫問題”為例

2.1構建實際生活情境，引導學生發現問題

構建實際生活情境并引導學生發現問題，是數學建模教學中的關鍵步驟.這一措施的核心在于通過將數學與現實生活中的問題相結合，讓學生體會到數學的實際應用價值，并激發學生的探究興趣.在傳統的數學教學中，學生往往局限于課堂內的理論和習題，而缺少與現實生活的聯系.通過建模活動，教師可以設置實際生活中的現象或問題，如交通流量預測、人口增長、環境保護等，引導學生主動思考問題、分析情境，進而建立數學模型進行解決.教師所設計的生活情境應基于現實問題，確保其具有真實性，只有當學生感受到問題與實際生活的緊密關聯時，才會真正投入到問題的探究中.以“茶水水溫問題”探究活動為例，教師可以這樣描述情境：我們日常泡茶時，通常會用熱水沖泡，但你有沒有注意到茶水的水溫會逐漸降低？當我們放置一段時間后，茶水變得涼了，這讓你感到很不方便.那么，你是否想過，水溫是如何變化的？在什么情況下水溫下降得更慢或更快？學生能夠立刻產生共鳴，并感受到這一問題對生活的實際影響，進而激發探究水溫變化規律的欲望.然后教師可以通過提問的方式引導學生進一步思考：在不同的環境下，茶水的水溫下降速度是否相同？當我們使用不同材料的杯子，比如玻璃杯、陶瓷杯，水溫的變化是否有所不同？能否預測茶水的溫度在某一時間點的數值？這些都是開放性問題，可以促使學生深入思考并提出假設.教師通過一系列引導性問題，不僅能幫助學生明確要探究的對象，還能引導學生發現更多值得思考的方向，從而激發學生對問題進行多角度思考.

2.2借助信息技術，收集數據，建立模型

信息技術工具（如傳感器、數據采集軟件、在線數據平臺等）能夠快速、準確地收集大量的實時數據，使學生從多個角度和維度觀察問題，提升數據的可靠性.借助技術手段，學生可以進行精細化的數據采集，避免人工誤差.例如，在“茶水水溫問題”的探究中，學生可以使用數字溫度計或溫度傳感器實時記錄水溫變化數據，并利用軟件進行自動記錄和分析.通過溫度傳感器進行實時數據采集，學生能夠自動、連續地獲取茶水溫度隨時間變化的數據，避免傳統手工測量的誤差，這不僅提升了數據的精確性，還顯著提高了數據收集的效率[3].溫度傳感器與數據采集軟件的結合，還使得學生能夠清晰地觀察橫軸為時間、縱軸為溫度的圖象變化，直觀感受到茶水降溫的動態過程.教師則有效引導學生思考數據走勢，通過提問“呈現的是直線還是曲線？”幫助學生形成初步的數學觀察意識.接著教師引導學生用數據采集軟件繪制出溫度隨時間變化的散點圖，這一可視化工具極大地促進了學生對數據的理解.在繪制散點圖的過程中，學生通過描點、連線等操作，將數據從離散點轉化為連續的曲線，直觀展示了茶水溫度隨時間變化的趨勢.散點圖作為數據分析的基本工具，能夠幫助學生將實驗數據形象化、系統化，從而為后續建立模型打下基礎.學生可初步構建函數模型為y=kax+25（k∈R，0＜a＜1，x≥0），學生通過觀察散點圖曲線，意識到溫度下降的趨勢呈現非線性關系，這為后續的數學建模提供了啟示.然后學生選取間隔1分鐘的數據進行建模，通過簡化數據量，在有限的時間內專注于數據的分析與模型構建，能夠在保證精度的前提下，快速發現數據的變化趨勢，進而構建出合理的數學模型.

2.3利用問題驅動思考，助推學生分析模型

問題驅動思考的關鍵在于通過精心設計的問題，引導學生逐步分解和理解復雜的數學問題.問題的設置能夠幫助學生從不同角度審視問題背景和模型假設，促使他們獨立思考模型中變量之間的關系，并推導出合理的結論.通過這種方式，學生的思維被激活，從被動接受知識轉向主動分析問題，提升其邏輯推理和問題解決能力.比如，教師可以提問：為什么選擇線性模型，而不是非線性模型？如何解釋模型中某一參數的物理意義？這些問題能夠引導學生深入思考模型的結構和假設條件，促使學生在模型分析過程中發現問題并做出優化.針對上述模型，教師可以繼續設計問題，如問題1：模型中的k，a和常數25分別表示什么？這些參數在實際生活中有何意義？學生通過討論意識到，常數25可能代表環境溫度，參數a表示溫度下降的速率，而k是一個調整系數，反映了初始條件的不同.問題2：如何根據實驗數據確定k和a的具體值？我們可以用什么方法來估計這些參數？教師可以引導學生利用線性回歸、最小二乘法等方法來確定參數的值.問題3：在什么條件下該模型成立？模型的適用范圍是無限的還是有限的？如果水溫低于環境溫度，模型是否仍然成立？學生可能意識到該模型在水溫接近環境溫度時逐漸失效，或者模型只適用于溫度高于環境溫度的情況.問題4：如果實驗條件或外界因素發生變化（如換成不同材質的杯子或改變環境溫度），模型的形式是否需要改變？你認為可以如何優化模型以適應更多的實際情況？學生會考慮如何在不同的實驗條件下調整模型結構，例如引入新的參數或構建更復雜的函數關系.通過對參數的估計、模型的調整，學生能夠體驗到數據反饋對模型修正的重要性，在這一過程中，學生學會了通過不斷地試錯和調整，使模型更符合實際數據，這種模型優化能力也是數學建模素養的核心內容.

2.4檢驗模型，求解問題

在實際問題中，所建的數學模型并非總是與現實完全吻合，可能存在偏差或不合理之處.通過檢驗模型，學生可以對照實驗數據或實際情況，評估模型的有效性，并根據反饋調整模型參數或假設，這一過程有助于確保模型具有更高的準確性和合理性，使其能夠反映問題的本質.在檢驗模型時，教師應引導學生關注模型對已有數據的擬合情況，并通過模型對未來或未知情境進行預測.同時，讓學生收集盡可能多的真實數據，并通過對比實際數據與模型輸出，檢驗模型的適用性.本次探究活動中，不同的小組可能分別選擇了指數函數和反比例函數作為模型形式.指數函數模型為：假設茶水溫度T隨時間t的變化為T（t）=kat+c，其中k，a，c為待定系數；反比例函數模型為：假設茶水溫度T隨時間t的變化為T（t）=k/（t+b）+c，其中k，b，c為待定系數.教師通過待定系數法帶領學生從實驗數據中求解模型中的待定參數，學生可以得出模型的具體解析式，然后引導學生將求出的函數解析式代入新的時間數據點，計算模型預測的溫度值，并與實際實驗數據進行對比.例如，可以選擇尚未使用的數據點t4，T4進行驗證，計算預測值與實際值之間的誤差.對于指數模型，若發現溫度下降速率隨時間變化過快，可以考慮引入新的參數a進行調整；對于反比例模型，若預測值過低或過高，可以重新調整b的時間平移參數.學生通過構建實驗數據和驗證模型，深刻理解了數據在建模過程中的重要性，從而學會了如何在實際問題中使用數據驅動決策.

3結束語

高中數學建模的應用與實踐為培養學生的核心素養、提升其數學應用能力提供了重要途徑.通過在實際問題中構建數學模型，學生能夠提高邏輯推理、數據分析和創新思維能力.未來的數學建模教學應進一步結合信息技術手段，加強教師培訓，提升學生的主動參與意識，并設計更具層次性和實踐性的探究任務，以實現數學建模在高中教學中的全面推廣和優化.

參考文獻：

［1］徐茵華.基于項目式學習開展高中數學建模活動和數學探究活動[J].青海教育，2024（04）：40.

[2]李志鵬.核心素養導向的高中數學建模活動：以“雨中行”教學為例[J].上海課程教學研究，2024（02）：42-46.

[3]湯池武.高中數學探究、數學建模等活動課程的實踐研究[J].中學數學，2021（23）：80-81.

［責任編輯：李慧嬌］

收稿日期：2024-12-25

作者簡介：肖俊利，本科，一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：甘肅省教育科學“十四五”規劃2023年度一般課題“基于數學建模的高中數學探究活動主題例習題研究”（項目編號：GS[2023]GHB0916）.