巧借倍角三角形，妙解圓錐曲線題

摘"要：不同數學知識之間的交匯與融合是高考命題“在知識點交匯處命題”的指導思想.本文巧妙利用解三角形中一個有關三角形的兩內角成倍數關系得到對應邊長的關系式，并應用于一些相關的圓錐曲線問題中，合理快速構建關系式，更加有效、快速地處理問題，從而指導對應的解題研究．

關鍵詞：倍角三角形；圓錐曲線；橢圓；雙曲線；拋物線

在三角形中，有一個非常重要的特殊等價結論：在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=2B，則a²=b（b+c）成立.這就是重要的倍角三角形性質.該倍角三角形性質，除了在解三角形問題中有很大的用處外，在處理與解決一些圓錐曲線的相關問題中也有妙用，往往可以更加簡捷快速地構建相應的關系式，為問題的切入、處理與求解提供條件.

1"橢圓中的倍角三角形問題

例1"已知橢圓C：x²4+y²3=1的焦點為F₁，F₂，C上一點P滿足∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂（如圖1），則PF₁·PF₂的值為"""".

分析：先設出兩焦點弦的長度，并結合橢圓的定義建立兩者之間的關系，然后通過倍角三角形性質構建相應邊長之間的關系式，再利用方程組的建立與求解來確定兩焦點弦的長度，最后利用平面向量的線性運算與平方關系的轉化來確定相應平面向量數量積的值.

解析：由題知a=2，b=3，c=1.

設|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=m+n=2a=4.

在△PF₁F₂中，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂.

結合倍角三角形性質，可得m²=n（n+2c），即m²=n（n+2）.

將n=4－m代入上式，可得m²=（4－m）·（4－m+2），解得m=125，

所以|PF₁|=m=125，|PF₂|=4－m=85.

由于（PF₁－PF₂）²=（－F₁F₂）²，則有（125）²－2PF₁·PF₂+（85）²=4，

解得PF₁·PF₂=5425，故填答案5425.

點評：此題以橢圓為問題背景，結合焦點三角形中兩內角之間的倍數關系，精準確定相應點的位置，進而確定兩平面向量數量積的值.解決此題可以通過解析幾何思維、解三角形思維以及平面幾何思維等，通過坐標法、解三角形法、三角恒等變換法以及平面幾何法等來分析與處理，方法眾多，技巧各異，而借助倍角三角形性質，可以快速建立對應邊之間的關系式，有效、快捷地分析與處理問題.

例2"已知點F₁，F₂分別是橢圓C：x²a²+y²b²=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，該橢圓的右頂點為A，設M為橢圓上一點，且滿足∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，則橢圓C的離心率為（""）.

A. 12

B. 3-12

C. 33-52

D. 13

分析：通過對應邊之間的關系以及橢圓的幾何性質來確定對應的線段長度問題，結合橢圓的定義，并借助倍角三角形性質來建立相應的參數關系式，結合含參方程的構建、參數的變形與轉化、對應方程的求解，以及橢圓的離心率的取值情況來確定其值.

解析：如圖2所示，由∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，可得|AM|=|MF₂|=|F₁F₂|=2c，又結合橢圓的定義有|MF₁|=2a－|MF₂|=2a－2c.

在△MF₁A中，由于∠MAF₂=2∠MF₁A，結合倍角三角形性質，有（2a－2c）²=2c（2c+a+c），變形整理可得c²+5ac－2a²=0，即e²+5e－2=0.

解方程可得e=-5±332，而結合0lt;elt;1，取e=33-52，故選擇答案C.

點評：此題以橢圓為問題背景，利用橢圓的定義確定相應的線段長度，結合三個角之間的關系構建來確定橢圓的離心率.合理借助倍角三角形性質，直接構建參數之間的關系式，為進一步求解離心率的值合理構建對應的方程.

2"雙曲線中的倍角三角形問題

例題"（2024年廣西南寧市高三摸底測試數學試卷第11題）設點F₁，F₂分別是雙曲線C：x²a²－y²b²=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點，該雙曲線的右頂點為A，點M為雙曲線上一點，且滿足∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，則雙曲線的離心率為（""）.

A. 2

B. 1+172

C. 17-12

D. 3

分析：通過對應邊之間的關系以及雙曲線的幾何性質來確定對應的線段長度問題，結合雙曲線的定義，并借助倍角三角形性質來建立相應的參數關系式，結合方程的構建與求解，進而確定對應的離心率的值.

解析：如圖3所示，因為∠MF₂A=∠MAF₂=2∠MF₁A，則有|AM|=|MF₂|=|AF₁|=c+a.

又結合雙曲線的定義，有|MF₁|=2a+|MF₂|=3a+c.

在△MF₁F₂中，由于∠MF₂A=2∠MF₁A，結合倍角三角形性質，有（3a+c）²=（c+a）（c+a+2c），變形整理可得c²－ac－4a²=0，則有e²－e－4=0，解得e=1±172.由于egt;1，則有e=1+172，故選擇答案B.

點評：解決此題的思維方式比較多，而抓住解析幾何中的應用場景，回歸平面幾何的基本性質，通過倍角三角形性質來轉化，給問題的解決開拓更加寬廣的空間.在具體回歸平面幾何本質的過程中，借助倍角三角形性質，直接構建參數之間的關系式，為進一步求解離心率打下基礎.

3"拋物線中的倍角三角形問題

例題"已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，C上一點P滿足∠PFO=2∠POF，其中點O為坐標原點，則點P的坐標為"""".

分析：從特殊位置入手設置點的坐標，利用拋物線的定義以及距離公式，借助倍角三角形性質構建對應的關系式，代入相應的參數并加以化歸與轉化，進而求解并確定對應的參數值，從而確定相應的點的坐標，并利用拋物線的對稱性完善與補充答案.

解析：如圖4所示，由拋物線方程可得p=2，焦點F（1，0）.

根據拋物線的對稱性，不失一般性，不妨設點P在第一象限內.

設P（m，n）（mgt;0，ngt;0），則有n²=4m.

根據拋物線的定義知|PF|=m+p2=m+1，|OF|=p2=1，而|PO|²=m²+n².

在△PFO中，∠PFO=2∠POF.結合倍角三角形性質，可得|PO|²=|PF|·（|PF|+|OF|），即m²+n²=（m+1）（m+2）.

結合n²=4m，解得m=2，則可得n=22，此時P（2，22）.

結合拋物線的對稱性，P（2，－22）也滿足條件，

故填答案（2，22）或（2，－22）.

點評：此題以拋物線為問題背景，利用拋物線上的點到坐標原點與焦點所成的角的倍數關系來確定點的位置，進而得以確定相應點的坐標.解決此題時，借助倍角三角形性質，通過坐標參數的引入，直接構建參數之間的關系式，從而結合方程的求解來確定參數值，得以確定對應點的坐標.

4"結語

倍角三角形性質是在解三角形的基礎上加以總結與提煉，作為一個基本結論加以理解與應用的.涉及圓錐曲線問題對應三角形內角之間的二倍角關系，可以通過倍角三角形性質，構建相應的邊長關系式，或從邊的角度直接應用，或轉化為角的關系式進行處理，都是解決問題的一大技巧策略.在具體解決相應的圓錐曲線問題時，要靈活應用倍角三角形性質，將解題方法與解題技巧內化為自己的解題思維，形成內驅力，才是提升解題能力的根本途徑.