處理追及和相遇問題的幾種方法

【摘要】追及和相遇問題是高中物理運動學問題中同一直線上兩個物體運動時常常涉及的問題，也是勻變速直線運動公式在具體問題中的實際應用.許多學生在解答此類問題時沒有章法，不能夠結合題目情境列出物體的運動方程.本文結合實例探究解答追及和相遇問題的幾種方法，以供讀者參考.

【關鍵詞】高中物理；追及相遇；解題方法

1 情境分析法

情境分析法需要建立一幅物體運動關系的情境圖，挖掘題目中的隱藏條件，抓住“物體是否在相同的時刻內到達同一位置”這一解題的關鍵所在.在使用此方法時要求學生具有較強的邏輯推理能力，通過作簡圖的方式進行思考.

例1 平直道路上有A、B兩車沿同一方向行駛，已知A車的速度vA=4m/s，B車的速度vB=10m/s.當B車行駛至A車前方L=7m處時，B車開始以a=－2m/s2的加速度做勻減速直線運動.求：

（1）以該時刻為計時零點，A車追上B車需要的時間；

（2）在A車追上B車之前，兩者之間的最大距離.

解 （1）假設A車追上B車時，B車還沒有停止運動，設t′時間內A車追上B車，如圖1所示.由題意得，A車追上B車需要通過位移sA=sB+L，A車的位移是sA=vAt′.B車的位移是sB=vBt′+12at′2，聯立解得t′=7s.

但是B車停下來所用時間tB=0－vBa=0－10－2s=5s，比較t′和tB可知，A車是在B車停止運動后才追上B車的，因此7s不是A車追上B車的時間，設A車追上B車的時間為t，即sA=vAt，B車實際運動時間應為tB，即sB=vBtB+12at2B，聯立解得t=8s.

（2）在A車追上B車之前，當兩者速度相等時，兩者之間有最大距離Δsmax.

設此時兩車運動時間為t0，且有vA=vB+at0，代入數據解得t0=3s，則此時A車的位移s′A=vAt0，B車的位移s′B=vBt0+12at20，所以兩者之間的最大距離Δsmax=s′B+L－s′A，聯立解得Δsmax=16m.

評析 在運用情境分析法時，一般來說被追趕的物體做勻減速直線運動，所以代入公式計算時一定要注意判斷物體在被追上前是否已經停止運動，若未停止運動，則可以直接代入勻變速運動位移公式，若停止運動，則需要單獨對停止運動的物體位移進行計算.

2 圖像分析法

圖像分析法是畫出兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系圖像，然后利用圖像的幾何意義分析求解相關問題.例如在速度—時間圖像中，斜率代表加速度的大小和方向，在位移—時間圖像中斜率則代表速度的大小和方向.

例2 平直公路上甲、乙兩車從同一地點出發沿同一方向做直線運動，甲、乙兩車的v－t圖像如圖2所示.下列判斷中正確的是（" ）

（A）乙車啟動時，甲車在前方25m處.

（B）乙車超過甲車后，兩車有可能二次相遇.

（C）乙車啟動15s后正好追上甲車.

（D）運動過程中，乙車落后甲車的最大距離為75m.

解 如圖2所示，v－t圖像中圖線與時間軸包圍的面積表示位移的大小，所以乙在t=10s時啟動，此時甲的位移為s=12×10×10m=50m，即甲車在乙車前方50m處，選項（A）錯誤；

乙超過甲之后，由于乙的速度大，故不可能再次相遇，選項（B）錯誤；

因為兩車從同一地點出發沿著同一方向做直線運動，據此可設甲車啟動t′兩車位移相等才相遇，列式（t′－20）+（t′－10）2×20=t′+（t′－10）2×10，解得t′=25s，即乙車啟動15s后正好追上甲車，選項（C）正確；

當兩車的速度相等時相距最遠，最大距離為Δs=12×（5+15）×10m－12×10×5m=75m，所以選項（D）正確.

評析 在運用圖像分析法時主要有兩個步驟：一是轉換，即根據物體在不同階段的運動情況，通過定量計算分階段、分區間作出s－t圖像或v－t圖像等；或根據已知的運動圖像分析物體的運動情況；二是識圖，利用圖像中斜率、面積、截距、交點等的幾何意義解決相關問題.

3 函數分析法

設相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于位移s與時間t的函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況.

例3 一司機駕駛貨車在平直公路上以54km/h的速度勻速行駛，行駛過程中在某一時刻突然發現在其正前方14m處有一輛自行車以5m/s的速度向前勻速行駛.司機在經過0.4s的反應時間后，開始剎車并鳴笛提示前車，則：

（1）為避免相撞，假設自行車保持勻速行駛，則司機剎車的加速度大小至少為多少？

（2）若汽車剎車時加速度大小只有4m/s2，自行車在聽到鳴笛聲后立即以一定的加速度開始加速，為保證兩車不相撞，則自行車加速的加速度至少為多大？

解 （1）設汽車的加速度大小為a，初速度v汽=54km/h=15m/s，初始距離d=14m，在經過反應時間0.4s后，汽車與自行車相距d′=d－（v汽－v自）t′=10m，從汽車剎車開始計時，自行車的位移為s自=v自t，汽車的位移為s汽=v汽t－12at2.

假設汽車能夠追上自行車，此時有s汽=s自+d′，代入數據整理得12at2－10t+10=0，要保證不相撞，即此方程最多只有一個解，即得Δ=102－20a≤0，解得a≥5m/s2，則汽車的加速度至少為5m/s2.

（2）設汽車的加速度為a′，同理得s′汽=s′自+d′，其中s′汽=v汽t－12at2，s′自=v自t+12a′t2，即（12a′+2）t2－10t+10=0，要保證兩車不相撞，方程最多只有一個解，則Δ=102－20a′－80≤0.

解得a′≥1m/s2，則自行車的加速度至少為1m/s2.

評析 設運動時間為t，根據條件列方程，得到關于二者之間的距離Δs與時間t的二次函數關系，Δs=0時，表示兩者相遇.若Δgt;0，即運動方程有兩個解，說明兩者可以相遇兩次；若Δ=0，即運動方程只有一個解，說明剛好追上；若Δlt;0，方程無解，說明追不上.當t=－b2a時，函數有極值，代表兩者距離的最大值或最小值.

4 結語

通過對上述三道例題的分析可以看出，解答追及和相遇問題的關鍵在于明確速度和位移之間的關系，在此過程中需要合理運用圖像的幾何意義并列出相應的運動方程綜合分析，根據解出的物理量大小或者是對方程根的個數的判斷即可得到答案.