理解概念本質創設創新問題避免知識誤區

基本概念是基本技能的生成之本，數學思想方法的形成更離不開對數學概念的深入理解.所以，在教學過程中應重視學生數學基本概念的學習.多角度理解數學概念，創新設問規避模式化問題，讓學生少點“想當然”，多些思維理解.學生常常感覺概念題\"難\"，往往是因為在學習過程中還沒有弄清楚概念而匆匆去落實技能.沒有落實好數學概念，往往就難以應付靈活多變的創新設問.所以，教學中可以通過題目的不同設問，促進學生對概念的理解[1].

1 原題呈現

（2023年順德區八年級期末考）關于x的分式方程x+1x-1-4x2-1=1的增根為（）.

A.1B.-1C.±1D.不存在

2 錯因溯源

2.1 答題情況

這是一道常見的關于分式方程增根的檢驗問題，是八年級常考的一類題型.從以往分式方程的考查來看，這種題型問題不大，但和以往考查方式不同，以往常以解答題的形式出現，也就是先解分式方程然后對所解得的根進行檢驗.因此，解分式方程以及檢驗的步驟學生早已爛熟于心，但本次命題者把分式方程的考查方式轉變為選擇題，由主觀題變為客觀題，對很多學生而言難度會隨之下降，可考查的結果卻令人大吃一驚.全區參加考試的學生選擇選項A的占38.77%，選擇選項C的占46.24%，選擇選項B和D的也各占7%左右，正確答案是選項A，也就是說能做對的學生只有三分之一多一點，這和做解答題時的得分率天壤之別.是什么原因讓學生在解分式方程時沒有困難，檢驗也沒有困難，但到了選擇題卻反差如此之大呢？

2.2 答題分析

為了解答心中的疑惑，考完后筆者專門找了部分做對和做錯的學生了解情況.選擇選項C的學生，大部分的解法是這樣的；因為分式方程有增根，所以方程無意義，即x2-1=0，所以x=±1，因此答案選擇了選項C.學生的回答是“能令分母為零的解就是方程的增根”，因此，用x2-1=0去求解.而選擇正確選項A的解法是這樣的：

解：方程兩邊同乘x2-1，得（x+1）2-4=x2-1，解得x=1.

檢驗：當x=1時，x2-1=0，所以x=1是原方程的增根.

從學生的回答中知道解題時應該按照老師平時的要求先解方程，得出解后再進行檢驗就得到選項A.

2.3 錯因分析

為何會選擇選項C呢？從這類學生的答題可以看出，學生認為只要分母為零，就是方程的增根，本質上是對增根的概念認識不清晰.其實，單從概念的字面上去理解，增根首先應是根，只不過在分式方程轉化為整式方程的過程中，通過等式的性質轉化為整式方程的根，而此根不滿足分式方程，從而有了增根.在此題中，x=-1并不是整式方程的解，因此也就不能稱之為增根.

有如此之多的學生沒理解好概念，這種因素的形成是學生對概念的理解不到位呢？還是教師上課出現了偏差呢？這令筆者想起了有一段時間在學校參與的幾次視導課活動，其中有兩節視導課的課題都是北師版八年級下冊第五章“分式與分式方程”的新授課“分式方程”，這兩節課在課堂知識完成后授課教師都在總結增根時出現了這樣的結論：令分母等于0的數是分式方程的增根.當時評課教師指出了這樣的總結欠妥，會很容易讓學生只關注是否令分母為零，而忽略根的本身，但老師們不以為然，覺得這樣的總結適合學生理解，便于學生在解題中的應用.很明顯，教師的總結是有問題的，既可能是教師的理解出現了偏差，也可能是教師只注重知識的得出而忽略了知識的來源.但無論基于上述哪一種情況，這樣的教學，對于學生的后續學習而言很難不出現問題.

3 概念理解

3.1 概念重現

筆者翻閱了北師版和人教版教材的概念表述，北師版教材是這樣表述關于增根的檢驗的：“產生增根的原因是我們在方程的兩邊同乘了一個使分母為零的整式，檢驗通常只需檢驗所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了.”人教版則是這樣去表述關于增根的檢驗的：“將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是分式方程的解，否則這個解不是原分式方程的解.”兩個版本的概念描述雖然在文字的呈現上有所不同，但都可以清晰看到，要將“所得的根”或“所得的解”代入到分式的分母中，不同的是，人教版強調了代入到最簡公分母中，而北師版沒有強調.很多教師在講授或學生在理解時，往往注重了是否令分母為零而忽略了“所得的根”這一重要前提.如果是在解分式方程的考查中，學生很自然會考慮把所得的解代入到分母中去檢驗，因此錯的機會會小很多，而在選擇題中，由于給出了答案選項，就如本題中C選項就恰好都滿足了令分母為零，對概念理解的“淺層化”，錯誤就難以避免了.

3.2 增根與無解

談到分式方程，增根和無解這兩個概念是無法避開的.在很多學生看來，增根就意味著方程是無解的，那增根就是無解嗎？答案是否定的.分式方程無解是指不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情形：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，此解是原方程的增根，從而原方程無解.教學中，教師可以提出如下創新問題幫助學生理解概念：

例1若關于x的方程xx-1-1=m（x-1）（x+2）有增根，求m的值.

分析：若分式方程有增根，則只有x=1和x=-2兩種可能，是否只要分母為零就是增根呢？顯然不是的，我們還要判斷轉化后的整式方程是否有解.所以依舊按照解分式方程的步驟，先去分母，得到整式方程之后再判斷.

解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m.

化簡，得x=m-2.

情況一：當x=1時，m=3.

將m=3代入原方程，得xx-1-1=3（x-1）（x+2），解方程得x=1.

經檢驗知，x=1是原方程的增根.

情況二：當x=-2時，m=0.

將m=0代入原方程，得xx-1-1=0.

去分母得，x-（x-1）=0，化簡得1=0，所以該方程無解.

故原分式方程無增根.

綜上所述，當m=3時，方程有增根.

通過例1可以發現，如果分式方程在去分母后變形而成的整式方程是一元一次方程，它的解恰能使分式方程最簡公分母為零，那么這個根就是增根，又由于一元一次方程的根往往只有一個，所以這時的原分式方程就無解；若所變形而成的整式方程是一元二次方程時，情形就不一樣了.

例2解方程：2xx+1-2x2+x=x+1x.

解：方程兩邊同乘x2+x，得2x2-2=（x+1）2.

解得x1=3，x2=-1.

經檢驗，知x1=3是原方程的根；x2=-1是原方程的增根.

由此例可以看出，若將一個分式方程去分母后得到的整式方程是一元二次方程，則這個一元二次方程的“解”可能是原方程的增根，也可能就是原方程的根.這意味著有增根的分式方程不一定無解.

可以想象得到，如果教師對概念的理解再深一層，在教學時多設計一些像例1例2這樣的創新問題，對學生理解概念一定會有更大的幫助.

4 教學啟發

4.1 深入理解概念

教師需要不斷加深對教材知識的深刻理解，研究概念的本質屬性，教學上不要局限于概念的應用，如本文中提及的分式方程的增根問題，不但要讓學生知道需要驗根，還要讓學生理解為什么需要驗根，這種驗根并不是簡單地檢驗計算有無粗心、錯漏，而是對解法依據的完善與檢查，它是必不可少的步驟，也是數學科學、嚴謹的體現.上升到這樣的高度來幫助學生理解增根的概念，不只是訓練了分式方程增根問題的求解，更是對概念的深刻理解以及學科素養的熏陶.

4.2 加強問題創新

很多教師對教材的研讀還停留在學生視角，問題設計停留在以知識的獲得為目的、以知識運用為方向上.這樣的設計看似尊重了教材，實質上這樣的問題設計和解決還停留在“淺表”層，沒有從根本上發展學生的數學思維，沒有達到核心素養的培養目的.提出問題是學習數學的一個重要方式，發現問題然后主動地解決問題，這也是數學學科培養學生理性思維、價值歸屬等的重要體現.因此，教師在教授完概念和解題后，還應繼續深入研究，不但要探究解法，更要探究其隱藏的教學價值.如例1和例2的教學中，既鞏固了分式方程解法的基本知識，還訓練了學生對增根、無解等概念的理解和應用，提高了學生的學習興趣，同時也鍛煉了他們整體分析問題的能力，使學生感受到知識之間的聯系，從而提升數學課堂的內涵.

4.3 善用錯誤資源

很多教師在教學上喜歡用示范性教學，希望通過示范來引領學生的學習.實際上，在教學過程中學生也會出現很多錯解和錯題，錯題作為一種寶貴的教學資源，教師要積極開發和利用.學生的每一個錯誤表象背后都是學生對概念理解的誤區，教師不要急著否認和糾正學生的錯，要鼓勵他們深入思考、開展探究，從“糾錯”到“究錯”挖掘出導致解答出現謬誤背后的原因或原理.這樣不但能使他們的探究能力和思維水平得到發展，而且可以培養他們求真求實的科學精神，從而實現錯題資源教育價值的最大化[2].

參考文獻：

[1]馬芬.理解概念抓本質 規避刷題模式化[J].中學生數學，2021（23）：23.

[2]蒲榮飛.一道錯題引發的深入思考和拓廣探究[J].中學數學教學，2022（1）：3436.