解鎖代數推理題型，簡化長度面積算法

【摘要】在中考數學中，代數推理題的題目形式多樣，既包含有傳統類型的數學問題，又常常結合幾何圖形進行考查.這類題目不僅對學生的數學素養有一定要求，更是對他們邏輯思維和問題解決能力的全面檢驗，因此，在解答幾何圖形題時，合理運用代數推理解決問題就顯得十分重要.本文對一道中考數學幾何壓軸題的解題過程進行綜合分析，揭秘代數推理題的巧妙解題方式，體會幾何求數值相關問題的解題思路以及其中蘊含的數學思想.

【關鍵詞】初中數學；動點問題；解題技巧

1"引言

求邊長、面積的幾何題是中考數學常見的考查內容.面對復雜多樣的幾何圖形，發現其中隱藏的特殊圖形，并利用圖形性質以及代數推理方法來尋求最優的解題思路十分考驗學生的數學素養.在運用代數推理方法進行計算時，準確運用相關知識點和數學思想可以幫助學生在不同類型題目中實現知識的遷移應用.下面以一道中考數學幾何求數值相關問題為例進行探究.

2"中考數學幾何綜合題解析

例"如圖1，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，D為線段BC上一動點，將△ACD繞點D順時針旋轉90°，點A，C的對應點分別為F，E，DF與AB交于點O.

（1）如圖1，設EF與AB交于點P，點D到AC與AB兩邊的距離相等.

①DE的長為_______，點O到BC邊的距離為_______；

②求四邊形DOPE的面積；

（2）如圖2，點D運動過程中，DE與AB交于點G，過點G作GR∥EF交DF于點R，記點O到GR的距離為h1，點O到DB的距離為h2，當h1－h2=1/4時，求CD的長.

解題指導

（1）①求線段DE的長，由旋轉性質可知DE=DC，因此我們只需在△ABC中找到或者構造直角三角形，根據勾股定理進行求解即可.此題較簡單，可以對△ABC進行單獨分析（如圖3）.而求點O到邊BC的距離則需要利用三角函數知識，通過代數推理解得.

如圖3，過點D作DH垂直于AB于點H，設CD=x，則CD=DH=x，BD=8－x，所以Rt△ACD≌Rt△AHD，所以AC=AH=6，因為AB=√AC2+BC2=10，所以BH=AB－AH=4，在Rt△BDH中，由勾股定理得BD2=DH2+BH2，所以（8－x）2=42+x2，解得x=3，所以DE=CD=3；

求解點O到BC邊的距離，需要我們過點O作OM⊥CB于點M（如圖4），故點O到BC的距離即為OM.設OM=y，因為∠CDE=∠DEF=90°，所以BC∥EF，所以得到∠DFE=∠ODM，那么tan∠ODM=tan∠DFE=DE/EF=1/2，所以在Rt△ODM中，DM=OM/tan∠ODM=2y，在Rt△OBM中，BM=OM/tan∠OBM=4/3y，因為BD=5，所以2y+4/3y=5，解得y=3/2，即點O到BC邊的距離為3/2.

分析"解題的關鍵在于巧妙運用直角三角形的性質.求DE的長度主要運用直角三角形的三邊關系，即勾股定理；求點O到邊BC的距離則是利用求三角函數知識，這里主要涉及正切函數，利用相同角的正切值相等，通過代數及等量關系進行計算.

② 求不規則四邊形DOPE的面積，一般情況下我們會采用拼湊、割補的方法把不規則圖形轉化為基本圖形的和差關系來解決.顯然此題的目標四邊形既在△EDF中，又在梯形EPBD中，我們對相關圖形進行單獨分析（如圖5）可以發現兩者都只需要減去多余的三角形面積就可以得到目標圖形的面積，雖然△OBD的面積能夠很容易算出，但梯形的上底并不好算，所以只能用S△DEF－S△POF.通過證明△BOD與△POF全等，再利用題①的計算結果和部分結論就可以得出答案.

由①得，BC∥EF，∠DFE=∠ODM，因為點O到BC邊的距離為3/2，而DE=3，所以點O到PF的距離為3/2，所以點O是BP與DF的中點（平行線分線段成比例），所以OB=OP，OD=OF，又因為∠POF=∠BOD，所以△BOD≌△POF（SAS），所以BD=PF=5，所以S△POF=1/2×5×3/2=15/4，S四邊形DOPE=S△DEF－S△POF=1/2×3×6－15/4=21/4（和差法求不規則圖形面積）.

分析"解題的關鍵在于發現O是BP與DF的中點，并能證明△BOD≌△POF，算出△POF的面積，再通過和差法就能得到目標圖形的面積.

（2）在這一問中，D點的位置是不固定的，這無疑需要我們利用代數推算，而題目給出的新條件有GR∥EF，點O到GR的距離h1減去點O到DB的距離h2為1/4，h1和h2其實類似于上題提到的點O到PF的距離和點O到DB的距離（OM），由平行能得到h1和h2的比例與三角形邊長之比相等，再利用正切函數與其對應的代數式建立等式關系，求CD的值.

設CD=t，則BD=8－t，GD=3/4（8－t），

所以GR=GD·tan∠GDR=GD·tan∠ADC=3/4（8－t）×6/t=9（8－t）/2t，

所以h1/h2=GR/BD=9/2t，所以h1/h1+h2=9/2t+9，

h2/h1+h2=2t/2t+9，

所以h1/h1+h2－h2/h1+h2=h1－h2/h1+h2=9－2t/2t+9，

所以h1－h2=9－2t/2t+9（h1+h2）=1/4，

因為h1+h2=GD=3/4（8－t），

所以9－2t/2t+9×3/4（8－t）=1/4，

解得t1=23/6，t2=9（舍去），

所以當h1－h2=1/4時，CD的長為23/6.

分析"解決此題的關鍵在于利用直角三角函數得到GR的代數式，后通過相似三角形的高之比等于邊長之比得到h1和h2的比例關系，最后通過代數推理將h1/h2轉化為h1－h2，這一點不容易想到，是此題的難點所在.

3"結語

幾何求數值相關問題常常會涉及特殊圖形的性質、三角函數、全等相似等知識，是一類綜合性較強的題型，此時如果合理運用代數推理，能夠幫助我們拓寬思路.在解決這一類題型時，需要仔細審題，明確已知條件和要求證明的結論之間的聯系，結合實際情況進行分析，確保每一步推理都嚴謹無誤.