人教社高中數(shù)學教材“一元線性回歸模型”相關內(nèi)容的比較研究

［摘" 要］ 文章對人教社高中數(shù)學A版與B版教材中的“一元線性回歸模型”的章節(jié)結(jié)構(gòu)、知識發(fā)展過程、例題和習題設計、信息技術應用、數(shù)學探究活動等五個方面進行了比較分析，揭示了兩個版本教材的各自特色，并基于這些比較分析，提出了針對性的教學建議．

［關鍵詞］ 線性回歸；相關系數(shù)；數(shù)據(jù)分析；教學建議

自《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（下文簡稱新課標）頒布以來，基于其編寫的高中數(shù)學教材共有7套版本. 其中，由人民教育出版社組織編寫的A版和B版教材［1］［2］（下文分別簡稱A版教材和B版教材）的使用范圍最為廣泛，覆蓋了包括北京、山東在內(nèi)的20多個省份和直轄市. 本文通過比較分析A版和B版教材中的“一元線性回歸模型”相關內(nèi)容，以期為教學實踐提供有意義的參考．

教材內(nèi)容的比較分析

1. 章節(jié)結(jié)構(gòu)的比較分析

A版教材將“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析”作為獨立的一章，而B版教材則將“概率與統(tǒng)計”的全部內(nèi)容整合為一章，其中“統(tǒng)計模型”僅作為一節(jié)內(nèi)容．具體的章節(jié)安排如表1所示

可以看出，對這一部分內(nèi)容的章節(jié)順序安排，兩個版本教材的差異較大． A版教材先學習樣本相關系數(shù)，再研究一元線性回歸模型；而B版教材則先學習回歸直線方程，再研究相關系數(shù)． 相較之下，A版教材的編排順序更貼合新課標對有關知識內(nèi)容的闡述；而B版教材則著重強調(diào)了當變量間的線性相關關系較弱時，所得的回歸直線方程的實用價值是有限的，進而引出了相關系數(shù)的概念，其邏輯性顯得更為嚴謹．

2. 知識發(fā)展過程的比較分析

（1）初步確定的數(shù)字特征不同

（2）“標準化”處理的詳略不同

（3）對相關系數(shù)取值范圍的處理方式不同

綜合上述，在本節(jié)內(nèi)容中，A版教材更注重知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，更強調(diào)知識在推導過程中的嚴謹性，對學生的學科核心素養(yǎng)提出了更高的要求．相對而言，B版教材對一些難度較大、要求較高的推導過程，采用了適當省略或變通的方法，更注重大多數(shù)學生的可接受性，有助于普通學校的日常教學實踐．類似的情況在其他小節(jié)中也有所體現(xiàn)，例如，在利用最小二乘法得到經(jīng)驗回歸方程后，A版教材使用了大量篇幅介紹了如何通過殘差分析來檢驗和改進回歸模型的擬合效果，并引出了決定系數(shù)R2的計算公式；而B版教材則未對殘差分析等其他內(nèi)容進行拓展．

3. 例題和習題設計的比較分析

（1）例題的比較分析

從數(shù)量來看，A版教材的例題數(shù)量較多，每一小節(jié)配有3道例題（包括問題），內(nèi)容比較豐富．而B版教材則按照知識點內(nèi)容，每一個知識點配有1道例題，針對性較強．A版教材中的例題的數(shù)據(jù)都較為原始（多數(shù)習題也有這個特點），需要使用統(tǒng)計軟件進行計算，這有助于培養(yǎng)學生的信息技術素養(yǎng)．而B版教材中的例題和習題的數(shù)據(jù)大多經(jīng)過“修正”，便于學生進行紙筆運算，這有利于學生迅速掌握相關知識．

（2）習題的比較分析

從習題（包括練習，下同）數(shù)量來看，A版教材的習題共27題，B版教材的習題共12題. A版教材的習題數(shù)量明顯比B版教材多．根據(jù)新課標對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的三個水平的要求［3］，可以大致將兩個版本的習題水平進行如表2所示的劃分.

從表2可以看出，兩個版本的習題在水平一上的占比大致相同，而在水平二上，A版教材的習題比例略低于B版教材；至于水平三上，B版教材的習題比例明顯低于A版教材．在習題內(nèi)容方面，A版教材中與實際問題有關的論述題或決策題較多，注重知識的拓展和創(chuàng)造性應用；而B版教材中運算求解的題目較多，側(cè)重于基礎知識的掌握和基本技能的培養(yǎng)．

從表3可以看出，A版教材中的習題對樣本相關系數(shù)的訓練較多，而B版教材中的習題則對回歸系數(shù)的訓練較多．兩個版本都重視一元線性回歸模型的建立，都注重統(tǒng)計知識的實際應用．

4. 信息技術應用的比較分析

新課標指出，信息技術的廣泛應用正在對數(shù)學教育產(chǎn)生深刻影響，應重視信息技術與數(shù)學課程的深度融合，鼓勵學生使用相應的統(tǒng)計軟件．A版和B版教材都非常重視信息技術在統(tǒng)計內(nèi)容中的應用，但具體的做法也明顯不同．

在本文所討論的“一元線性回歸模型”相關內(nèi)容中，A版教材主要推薦的軟件是Excel軟件和R軟件．具體方式是以旁注的形式，簡單介紹了Excel軟件和R軟件在畫散點圖、計算樣本相關系數(shù)、求經(jīng)驗回歸模型時需要用到的函數(shù)，沒有呈現(xiàn)具體的操作過程（在必修二的概率與統(tǒng)計等內(nèi)容中，已經(jīng)使用過這兩個軟件）. 然而，A版教材在本章末的數(shù)學建?；顒印敖⒔y(tǒng)計模型進行預測”中，較詳細地介紹了利用R軟件建立統(tǒng)計模型的具體過程． B版教材主要推薦的軟件是GeoGebra軟件（簡稱GGB），并把“用信息技術求回歸方程”作為一個獨立的小節(jié)進行呈現(xiàn). 通過圖文結(jié)合的方式，詳細展示了用GGB軟件求回歸方程的步驟，內(nèi)容通俗易懂，便于學生理解和掌握．

如果將討論范圍從本文的“一元線性回歸模型”擴展至整套教材（僅限必修和選擇性必修內(nèi)容），我們不難發(fā)現(xiàn)，B版教材更重視信息技術與教學內(nèi)容的融合，其應用信息技術的場景（大約30余次）明顯多于A版教材（僅12次）（均不包括“一元線性回歸模型”相關內(nèi)容中的次數(shù)）. 從推薦使用的軟件來看，A版教材根據(jù)不同的知識內(nèi)容，介紹使用不同的軟件工具，如GGB軟件、Excel軟件、R軟件以及圖形計算器等． B版教材除了在少數(shù)場景介紹Excel軟件的應用外，主要推廣GGB軟件，鼓勵學生在幾何、代數(shù)、微積分、概率統(tǒng)計等多個領域深入學習和應用GGB，這有助于培養(yǎng)學生在信息技術方面的高階素養(yǎng)，并實現(xiàn)知識的遷移應用.

5. 數(shù)學探究活動的比較分析

教學建議

1． 整合教材，優(yōu)化教學設計

不同版本的教材，具有不同的特點和優(yōu)勢．除了學生使用的版本教材外，學校還應為教師盡可能地配備其他版本的教材，以供教師能夠根據(jù)教學需求整合不同版本教材的內(nèi)容，從而優(yōu)化教學方案，提升教學成效. 以本文所探討的統(tǒng)計學內(nèi)容為例，教師首先可以根據(jù)自己的教學實踐，結(jié)合大單元教學理念，研究確定相關系數(shù)和回歸方程的教學順序． 隨后，針對每個課時的教學內(nèi)容，包括情境、問題、概念、公式、例題、習題等，借鑒不同教材的處理方法，擇其優(yōu)者為我所用，以優(yōu)化教學流程和訓練內(nèi)容．在必要時，教師還可以對其他版本的教材內(nèi)容進行篩選和整合，作為學習資源提供給有需要的學生，以滿足其個性化學習的需求．

2． 重視信息技術在統(tǒng)計教學中的應用

數(shù)據(jù)分析是課程標準所規(guī)定的六大核心素養(yǎng)之一，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應用的主要方法．概率與統(tǒng)計內(nèi)容的教學，是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的主要載體． 在高中階段，概率內(nèi)容所涉及的數(shù)據(jù)整理、運算等過程相對簡單，而統(tǒng)計內(nèi)容則涉及更多、更大量數(shù)據(jù)的收集、整理、運算、處理等. 雖然僅靠傳統(tǒng)的紙筆演算也可以應對考試，但這種方法難以真正培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 因此，在統(tǒng)計教學中，我們應高度重視信息技術的融合應用，在充分利用教材中相關案例的基礎上，進一步挖掘并創(chuàng)設更多、更優(yōu)質(zhì)的應用場景，鼓勵并引導學生使用信息技術學習統(tǒng)計、實踐統(tǒng)計. 我們的目標是讓學生不僅能夠使用、愿意使用，而且樂于使用、有效使用這些信息技術.

3． 認真組織數(shù)學建模和數(shù)學探究活動

史寧中教授說過，統(tǒng)計和學生的生活很接近，學生通過經(jīng)歷活動過程，獲得活動經(jīng)驗，能較容易理解統(tǒng)計知識．在現(xiàn)實生活的實際問題中，收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息不僅是數(shù)據(jù)分析的關鍵步驟，也是數(shù)學建模的核心過程. 這不僅有助于培養(yǎng)學生有意識地運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，用數(shù)學方法解決實際問題的能力，而且能夠加深學生對統(tǒng)計思想和統(tǒng)計應用的理解. 然而，在日常的課堂教學中，由于時間、場地等的限制，師生往往只能利用已經(jīng)整理好的數(shù)據(jù)信息構(gòu)建模型進行推斷，使得學生難以體驗統(tǒng)計應用的全過程．因此，在統(tǒng)計教學中，我們應當設計更多的研究性學習任務，認真組織數(shù)學建模和數(shù)學探究活動，以彌補課堂教學實踐的不足． 在必要時，還可以在教師的指導下，讓學生自主設計和選擇課題進行研究，從而拓展學生的實踐學習途徑，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗.

參考文獻：

［1］ 章建躍，李增滬． 普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊（A版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［2］ 高存明． 普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第二冊（B版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［3］ 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．