巧設鋪墊題，促進學生思維拾級而上

［摘 要］人教版教材中的某些單元練習題后標著“？”的問題為該單元的拓展練習題，旨在拓展知識，提升學生的數學思維和解決問題能力，教師應挖掘這些題目的教學潛力。文章以“百僧百饃”問題為例，分析學生解題過程，了解學生思維水平，并在此基礎上設計鋪墊題讓學生獨立解決，以提高解題能力，掌握解題模型。

［關鍵詞］“百僧百饃”問題；鋪墊題；百僧百饃

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0056-03

一、研究背景

人教版教材四年級下冊“雞兔同籠”的課后練習中編排了一道標記有“？”的“百僧百饃”問題：“100個和尚吃100個饅頭。大和尚一人吃3個，小和尚3人吃一個。大、小和尚各多少人？”

筆者在學生解決“百僧百饃”問題之前設計鋪墊題，希望能夠提高學生的數學問題解決能力，培養學生核心素養。

二、研究路徑

本研究選取了一所鄉鎮學校中四年級兩個班級，共計82名學業水平相當的學生作為測試對象。

研究過程分為七個步驟。

①對學生進行初次“百僧百饃”問題測試。

②分析測試結果，探究學生的解題思路和遇到的難點。

③依據分析，并結合題目的特性，設計一組相應的鋪墊題。

④學生獨立完成鋪墊題。

⑤對學生進行第二次測試，包括“百僧百饃”問題以及相應的變式題。

⑥三個月后（即五年級開學初），對學生進行第三次測試。

⑦進行分析研究，并得出研究結論。

三、教學實踐

（一）第一次測試結果及分析

“百僧百饃”問題出自明代程大位所著的《算法統宗》，它要求學生在未學習列方程等方法前，辨識此類型問題與“雞兔同籠”問題的不同，運用“整體分組”等策略來解決。

在參與測試的82名四年級學生中，有17人能正確求解，約占總人數的20.73%，而約79.27%的學生未能正確解答。在初次測試中，能夠正確解答的學生采用了列表法和分組法，而在未能正確求解的學生中，雖有部分學生也使用了分組法，但在應用過程中遇到了問題。盡管有學生嘗試使用假設法，但結果并不正確。具體情況如下。

學生在掌握“雞兔同籠”問題的求解方法后，會嘗試用列表法求解“百僧百饃”問題，并得出正確答案。

使用假設法時，需要利用大和尚比小和尚多吃的饅頭數進行計算。因為3-1/3=22/3（個），每個大和尚比每個小和尚多吃的饅頭數是2/23個，不是整數個，而學生在分數的計算方面存在困難，常常不知道如何繼續。

大約一半的學生想到了將大和尚和小和尚捆綁分組的策略。部分學生將1個大和尚和3個小和尚分為一組，從而求出正確答案。但學生遇到了以下問題：一是混淆捆綁對象，比如將1個大和尚、3個小和尚和4個饅頭捆綁為一組，導致計算錯誤；二是即使分為了25組，也不清楚每組中大和尚和小和尚的數量，無法區分兩者。這表明他們還不能熟練使用分組整體法來解決問題。

（二）設計鋪墊題

為幫助學生解決難題、理解題意并突破難點，筆者根據學生的解題過程和“百僧百饃”問題的特點，設計了輔助教學的鋪墊題。

1.破解假設法難點的鋪墊題

學生在利用假設法求解“百僧百饃”問題時，會遷移“雞兔同籠”問題的解題思路，把小和尚看成大和尚，但每個大和尚比每個小和尚多吃[223]個饅頭，學生還未掌握分數加減法，更別提分數除法了。因此，筆者設計了假設法的鋪墊題幫助學生破解難點。

【教學片段一】假設法的鋪墊題

問題：觀察圖形，填一填（如圖1）。

分析：把一個饅頭平均分成3份，3個饅頭就是9份，100個饅頭就是300份，每把一個小和尚看成大和尚就多吃8份饅頭，這樣就可以把分數的問題轉化成整數問題，再用假設法解題就簡單多了。

2.破解整體法難點的鋪墊題

四年級學生已經通過一些例子接觸過整體法，例如已知三個數的總和與其中兩個數的和，求第三個數，以及捆綁銷售問題、行程問題中的相遇問題等。盡管如此，學生對用整體法解決問題的理解仍不夠。例如在“百僧百饃”問題中，學生往往只考慮假設法，而忽略整體分組法。為此，筆者設計了鋪墊題，以幫助學生更好地理解和運用整體思想來解決問題。

【教學片段二】整體法的鋪墊題1

問題：籠子里有雞和兔，共有96只腳，已知雞和兔的數量相等，那么雞和兔各有多少只？

分析：鋪墊題中有雞和兔腳的總數、雞的數量等于兔的數量等條件，沒有給出雞和兔的總數。看到這樣的條件，學生很可能會放棄假設法，而將1只雞和1只兔捆綁成一組，每組中雞的腳有2只、兔的腳有4只，共計6只腳。接著，用腳的總數除以每組的腳數，96÷6=16（組），得出共有16組。由于每組中只有1只雞和1只兔，因此可以得出籠子里有16只雞和16只兔。通過這個鋪墊題，學生能夠回憶起運用整體思想去思考和解決問題的方法，從而擺脫假設法的固有思維模式。

用整體法求解“百僧百饃”問題時，由于數據量大且復雜，學生又沒有生活經驗，所以易混淆。為此，筆者又設計了另一道鋪墊題，立足現實生活經驗幫助學生理解如何將事物視為整體進行分組，以便清晰解題。

【教學片段三】整體法的鋪墊題2

問題：一家早餐店里每個菜包1元，每個肉包3元。一天，店里接到一筆訂單，按每3個菜包和1個肉包裝成一份進行配制，一共預訂100個包子，這100個包子一共要多少錢？

分析：根據題意，將3個菜包和1個肉包裝成一份，即3個菜包加上1個肉包共4個包子構成一組，100÷4=25（組）。每組包含3個菜包和1個肉包，共需支付6元，計算25組的總費用，即6×25=150（元），一共要150元。通過將菜包和肉包捆綁銷售，連通“百僧百饃”問題，幫助學生理解用整體法解決問題的思路。

（三）第二次測試結果及分析

在學生獨立完成上述的鋪墊題后，筆者未進行任何形式的講解，直接進行了難度較高的第二次測試，測試內容包括“百僧百饃”問題及其變式題。

【教學片段四】“百僧百饃”問題的變式題

問題：師傅做大小不同零件，做1個大零件需要3分鐘，做3個小零件需要1分鐘，王師傅花了80分鐘，一共做了80個零件，王師傅做了幾個大零件、幾個小零件？

分析：變式題改變了問題的情境，但題目類型仍然相同，只要學生建立起“百僧百饃”問題的解題模型，遇到類似問題就能靈活解決。

1.計算正確率顯著提高

正確解答“百僧百饃”問題的學生人數從首次測試的17人增加到57人，解題正確率從20.73%顯著提高至69.51%。正確解決變式題的學生有45人，正確率為54.88%，其中有32人采用了分組法，占正確人數的71.11%。

2.解題方法趨向多樣

在完成基礎題目之后，使用列表法、整體分組法和假設法的學生均能正確解答。此外，還有部分學生采用畫圖法。

3.解題思路逐步明晰

有了鋪墊題的過渡，學生在第二次測試時比第一次有了更清晰的理解。他們在面對問題時，不再盲目地嘗試各種方法，而是能夠根據鋪墊題的提示，有針對性地選擇解題方法。此外，學生在解題過程中也更加注重對題目信息的理解和分析，能夠準確地把握問題的關鍵點，避免了因理解偏差而導致的錯誤。

部分學生第一次測試時答錯了，而在第二次測試時計算正確，筆者選取兩名學生的兩次解答過程進行對比分析。

生1的兩次解答過程見表1。在第一次測試中，生1也使用了分組的方法進行解答，卻不明白把什么分成一組，把題目中所有出現過的和隱含的數據都加在一起作為一組，眉毛胡子一把抓。經過鋪墊題的提示，在第二次測試中，生1厘清了應該把每個大和尚吃的3個饅頭和每3個小和尚吃的1個饅頭捆綁為一組。

生2的兩次解答過程見表2。在第一次測試中，用分組法將1個大和尚和3個小和尚分為1組，算出一共有25組，但是以為25是小和尚的人數，而小和尚人數應該是3的倍數，所以想當然地直接在算式后面加上數字“2”得到“27”。在第二次測試中，生2能很清楚地表達計算過程，理解一共有25組，每組里面有1個大和尚和3個小和尚。

（四）第三次測試結果及分析

第二次的測試中，學生是不是因為對鋪墊題的短時記憶才正確解答的呢？對此，筆者選擇了在三個月后對學生進行第三次測試，結果顯示正確率為60.98%，明顯高于第一次測試正確率，說明學生腦中已經建立起了“百僧百饃”問題的解題模型。

四、研究啟示

從教學實踐中可以發現，學生可以從鋪墊題中逐步發現解決問題的方法，同時也發現一些問題。

首先，部分學生的思維模式較為封閉，靈活性有待提高。

通過上述三次測試可知，仍有30%-40%的學生不能正確解決這個問題，究其原因是部分學生不會針對題目的特點靈活選擇合適的方法，思考問題時拘泥于一個方向，即便看到前方是個“死胡同”也不回頭，而是想通過“鑿墻”找到“出路”，未能從多角度探索其他可能的解題途徑。因此，教師應加強對學生思維靈活性的訓練，以培養其發散思維的能力。

其次，教師應深入理解學生解題思維，設計有效的教學鋪墊。

測試顯示，學生獨立完成鋪墊題有助于他們解決“百僧百饃”問題，提高他們的解題效率。鋪墊題的設計應基于學生認知水平，教師需要分析學生的理解程度，識別解題難點，挑選易于理解的解題策略來設計題目。這樣，學生能利用已有認知逐步掌握新的解題方法。學生通過自我解題、思考和反思，能發現最佳解題路徑，提升解題能力和培養核心素養。

［ 參 考 文 獻 ］

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（責編" " 楊偲培）