創(chuàng)設物理情境·推動思想生成·發(fā)展核心素養(yǎng)

關鍵詞：跨學科情境；畫等角；角的平分線；創(chuàng)新意識中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）05-0034-05引用格式：，．創(chuàng)設物理情境·推動思想生成·發(fā)展核心素養(yǎng)：[J]．中國數學教育（初中版），2025（5）：34-38.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）在“會用數學的眼光觀察現實世界”中明確指出：“通過對現實世界中基本數量關系與空間形式的觀察，學生能夠直觀理解所學的數學知識及其現實背景；能夠在生活實踐和其他學科中發(fā)現基本的數學研究對象及其所表達的事物之間簡單的聯系與規(guī)律；能夠在實際情境中發(fā)現和提出有意義的數學問題，進行數學探究；逐步養(yǎng)成從數學角度觀察現實世界的意識與習慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識”《標準》強調了數學與生活及其他學科的聯系，數學教學可以基于學生原有的知識基礎和生活經驗，通過創(chuàng)設跨學科教學情境開展教學活動：

時）的教學中，通過創(chuàng)設光的反射的物理情境，引導學生發(fā)現數學的研究對象，即畫一個角等于已知角.學生提出與畫一個角等于已知角相關的系列問題，在解決問題的過程中形成自己的數學理解．通過探究揭示出“畫一個角等于已知角”的數學本質，總結作圖規(guī)律，形成數學表達，自然生成角的平分線的數學概念，挖掘角的應用，發(fā)展學生的幾何直觀、抽象能力和應用意識等數學核心素養(yǎng).

一、創(chuàng)設物理情境，形成畫角的方法

在2012年蘇科版《義務教育教科書·數學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“蘇科版教材”）“6.2角”（第2課

1.創(chuàng)設情境，提出問題圖1中，當入射光線的方向變化時，反射光線的方向也隨之變化.

問題1：如果圖1中沒有出現反射光線，那么怎樣由入射光線確定反射光線？具體如何確定呢？

問題2：類比研究線段的方法，大家覺得今天將繼續(xù)研究角的哪些內容？

【教學說明】光的反射是一種自然的物理現象，學生憑借生活經驗對此有一定的認知基礎．創(chuàng)設這樣的情境能夠激發(fā)學生的學習興趣，調動學生學習的積極性．選用學生熟悉的生活中的物理情境進行教學，能夠激活學生的生活經驗和原有的知識背景，建立研究角的新知體系，引導學生用數學的眼光審視問題，提出所要研究的內容一畫一個角等于已知角，使新的學習內容自然生成.

2.憑借經驗，淺悟畫角

三角尺和量角器是我們熟悉的數學工具，我們可以利用三角尺、量角器畫角.

問題3：用一副三角尺可以畫出哪些特殊度數的角？

問題4：如果不是特殊度數的角，那么怎樣利用量角器畫一個角等于已知角呢？

師生活動：讓學生利用三角尺分別畫出 ， ， ， 的角；考慮兩角的和，讓學生利用三角尺分別畫出 ， ， ， 的角；考慮兩角的差，還可以畫出 ， 的角.

追問：總結一下，你有什么發(fā)現？

學生發(fā)現用一副三角尺可以畫出 的整數倍的角，

師生活動：讓學生用量角器量出一個角的度數，再畫一個等于這個度數的角.

【教學說明】學生憑借原有的學習經驗，嘗試用三角尺拼角、畫角．學生從原有知識的最近發(fā)展區(qū)發(fā)現，利用三角尺可以畫出 的整數倍的特殊角．通過追問，學生知道利用量角器可以畫出任意度數的角.畫角的教學過程體現了從特殊到一般的研究過程.

3.依據概念，深悟畫角問題5：回顧角的概念，組成角的要素是什么？

問題6：要畫一個角等于已知角，關鍵是什么？

問題7：只用直尺和圓規(guī)，怎樣畫一個角等于已知角？

學生明確了角的構成要素為角的頂點、角的兩條邊（從角的頂點出發(fā)的兩條射線），知道了畫一個角等于已知角的關鍵是確定所求角的頂點和邊.

追問1：怎樣確定所求角的頂點和一條邊呢？

如圖2，畫一條射線 ，端點 作為角的頂點，射線 作為角的一條邊.

追問2：角的另一條邊怎么確定？

射線的端點就是角的頂點 ，確定延伸方向即可.

追問3：怎么確定延伸方向呢？

根據“兩點確定一條直線”，找異于頂點 的另一個點，然后連成射線即可.

追問4：這個異于頂點 的另一個點怎么找呢？

師生活動：教師根據學生的表現情況，要求學生閱讀蘇科版教材第155頁的內容并進行小組討論．學生把自己的想法與同學交流，在小組討論的基礎上推選代表在班級內交流.

學生針對用量角器畫角的感悟總結如下．點 D 在量角器的邊緣弧上，線段 C D 的長度決定了 ∠ A O B 的大小.點 D 是射線 O B 和 C D 的交點，因為兩條直線有且只有一個交點，所以點 D 唯一確定，如圖3所示.

學生針對用尺規(guī)畫角的感悟總結如下，如圖4，由已知AOB確定，分別以點 o ， 為圓心，任意長為半徑畫弧，交 O A ， O B 于點 C ， D ，交 于點 ；再以點 為圓心， C D 長為半徑畫弧，交前弧于點 ，連接 ，則 就是與 ∠ A O B 相等的角.

【教學說明】上述教學過程中，教師給予了學生充分的自學、討論時間．再通過師生對話，類比“兩點確定一條直線”“兩條直線相交有且只有一個交點”，使學生感悟“定點一定邊一定角”的分析過程，建立尺規(guī)作圖的數學理解，揭示利用尺規(guī)作圖畫等角的本質，從而突破“只用直尺和圓規(guī)畫一個角等于已知角”的學習難點.

二、深思操作實驗，生成數學概念

1.操作實驗，抽象概念

問題8：觀察圖1，反射光線與人射光線的夾角與法線有什么樣的關系？

問題9：在透明紙上畫一個角，把這個角對折，使角的兩邊重合，再展平紙片，折痕會把這個角分成兩個相等的角嗎？

問題10：對于法線、折痕，能否給它們起個名字？這個名字如何來定義？

通過師生對話，發(fā)現法線把反射光線與入射光線的夾角分成了相等的兩個部分；折痕把畫的角分成了兩個相等的角．有的學生把法線、折痕稱為“角的等分線”，也有的學生將其稱為“角的平分線”

追問1：稱為“角的等分線”好，還是稱為“角的平分線”好呢？

學生發(fā)現角的等分線不一定將角分成兩等份，也可能是三等份、四等份·…，而角的平分線一定是將角分成兩等份，因此還是稱為角的平分線更恰當.

追問2：如何定義角的平分線？

把一個角分成兩個相等的角的折痕叫作角的平分線；進一步地，把一個角分成兩等份的直線叫作角的平分線；再進一步，把一個角分成兩等份的射線叫作角的平分線．這個定義強調了角的平分線是從角的頂點出發(fā)的射線.

事實上，如圖5，射線 把 ∠ A O B 分成兩個相等的角，射線 o c 叫作這個角的平分線.

【教學說明】引導學生重新認識物理情境，在真實情境中更容易發(fā)現角的平分線．通過折紙操作，發(fā)現角的平分線．在師生對話、生生相互啟發(fā)的過程中，不斷完善學生對角平分線的本質特征的認識，提升學生用符號語言表述數學概念的能力.

2.情境應用，鞏固理解

練習1：如圖5，根據角平分線的定義， ∠ A O B ，LAOC，BOC之間有什么數量關系？

練習2：圖1中，當入射角為 時，你發(fā)現了幾條角平分線？說出你的依據.

【教學說明】練習1旨在讓學生類比線段的中點的表示方法，得出角的平分線的符號表示形式．練習2中再次利用光的反射的物理情境中的特殊位置，多角度審視，幫助學生鞏固對角的平分線概念的理解.

3.變式訓練，編題提高

練習3：如圖6，已知 ， 是 ∠ A O B 的平分線．你能求出哪些角的度數？

變式1：如圖6，已知 ，添加什么條件可以判斷 o c 是 ∠ A O B 的平分線？

變式2：添加一條射線 O D ，使 .你又可以解決什么問題？你還可以繼續(xù)編題嗎？

師生活動：教師給出問題，學生先自主解決，再與同學交流.

【教學說明】練習3緊扣“了解”的能力要求，是角平分線概念的直接運用；變式1緊扣“理解”或“掌握”的能力要求，是角平分線概念的間接運用；變式2的編題難度提高，緊扣“運用”的能力要求，是角平分線概念的創(chuàng)新運用，此時射線 O D 可能在LAOB內部，也可能在 ∠ A O B 外部．這種分類討論培養(yǎng)了學生的高階思維，可以促進學生形成數學概念的應用意識.

練習3的解決促進了學生深度思考問題．課堂最后還有學生提出“光的反射實驗中入射角能否是直角或者鈍角？”的問題.

三、反思明理悟道，升華教學理解

本節(jié)課從跨學科的物理情境、數學實驗情境中抽象概括了畫一個角等于已知角的數學方法，歸納得出了角的平分線的概念，讓學生體會了運用數學概念設計問題、解決問題的一般思考方法．教學過程踐行了用數學的眼光發(fā)現問題并提出數學問題，用數學的思維探索、分析和解決具體情境中的數學問題，用數學思想和數學語言表達具體情境中的數學問題．課堂在不斷的知識生成、方法生成和思想生成的過程中推進學生核心素養(yǎng)的形成，促進學生開展深度學習.

1.創(chuàng)設物理情境，生成數學問題

課堂開始時創(chuàng)設了跨學科的光的反射物理實驗教學情境，引導學生發(fā)現問題一一畫一個角等于已知角．基于情境類比研究線段的方法，完善研究角的知識體系，激活學生的已有經驗，明確學習目標，形成研究角的問題的指向和路徑．跨學科教學研究光的反射現象成為數學中研究角的平臺，引發(fā)了學生探索、研究角的內容的興趣，進而探究了用三角尺或量角器或尺規(guī)作一個角等于已知角的方法．再探光路圖，借助光的反射實驗和折紙操作形成了角的概念，生發(fā)角的平分線的概念與運用，

課堂中設計了10個問題和3道練習題，類比研究線段的方法研究角，促進了學生對所要研究數學問題的深刻思考，形成了研究問題的方法和思想．問題1～問題7，通過作一個角等于已知角，助力學生形成從特殊到一般的研究方法；問題8～問題10，通過角平分線的概念與運用，助力學生形成數學建模、抽象概念和提高能力的思想體系.

2.基于數學實驗，升華數學理解

問題1～問題4的教學中，通過引導學生用三角尺直接畫特殊角，拼接、組合畫特殊角，探究用三角尺畫特殊角的方法及能夠畫出的特殊角的規(guī)律．在用三角尺畫特殊角這個活動中，教師充分預設到學生可能習慣三角尺外疊，想不到將三角尺內疊，由此在教學中引導學生感悟三角尺外疊其實就是角度相加，從而鞏固上一節(jié)課學習的角的和差的知識．學生自然由相加想到相減，故還可以將三角尺內疊，得到 角.再從一個角的情況、兩個角組合的情況，引導學生想到三個角組合得到 這個特殊的角度．再從畫特殊角自然過渡到畫任意角，從而再一次讓學生復習、感悟用量角器畫角時，所關注的關鍵點的位置，為尺規(guī)畫一個角等于已知角預設思路鋪墊.

問題5～問題7的教學中，基于用尺規(guī)畫角活動，設計了通過回顧角的要素（頂點和兩條邊），引導學生感知確定角的關鍵就是確定邊．通過“兩點確定一條直線”這一基本事實，引導學生感知確定邊就是確定點．對于如何確定這一關鍵點，教師在教學中通過讓學生觀察量角器畫角時，角的一邊與量角器邊緣弧的交點 D 與另一邊交點 C 之間的距離，引導學生歸納出用圓規(guī)和直尺作角時怎樣確定這個關鍵點的位置；再通過組織學生進行交流活動討論出作法，讓學生“知其然，知其所以然”通過量角器畫角的操作實驗研究，先由角探點，再由點到角，用綜合分析的方法探究用尺規(guī)畫一個角等于已知角的方法．由兩線相交得到點，由“兩點確定一條直線”得到邊，根據角的概念得到所要畫的角，據此得出畫角的步驟，明理悟道，形成研究問題的結論和表達，突破了本節(jié)課的教學難點.

問題8～問題10的教學中，通過利用光的反射物理情境的特殊位置發(fā)現角的平分線，通過折紙操作并類比線段中點定義的方法進行教學設計，為學生提供充分的思考空間；通過引導多名學生嘗試給出角的平分線定義，生成角的平分線定義，并巧用線段的中點探究方法來類比，自然得出由角的平分線所產生的三個角之間的數量關系.

3.追求課堂生成，發(fā)展核心素養(yǎng)

課堂教學指向生成，創(chuàng)設情境生成數學問題，靈動對話生成研究數學問題的思想和方法，本節(jié)課的教學在追求課堂生成的過程中，不斷地引導學生發(fā)現問題、研究問題、創(chuàng)設問題、解決問題.

物理學中光的反射教學情境的設置引發(fā)了學生學習的興趣，將學生引向用數學的眼光審視世界，通過分析自然現象引出數學問題，促進了學生幾何直觀素養(yǎng)的形成．在用三角尺、量角器和尺規(guī)研究畫一個角等于已知角的過程中，在教師的追問下，學生用數學的方法思考問題，通過師生對話、生生對話，生成了畫一個角等于已知角的方法，促進了學生推理能力的提高.

特別是角的平分線概念的生成，是在學生相互交流和完善表達中逐步形成的．角的平分線概念的運用從正反兩個方面展開，加強了學生對概念的理解，形成了研究問題的創(chuàng)新和變通．這一環(huán)節(jié)的教學緊緊圍繞角的平分線這一要素，創(chuàng)設一題多變情境．教師通過不斷追問，促進學生思維的發(fā)展，提高學生的數學語言表達能力和推理能力．通過開放性問題的創(chuàng)設，再次引發(fā)學生思考，不同學生看待問題的思路不同、角度不同，便會提出不同的探究問題，思考就會繼續(xù)，數學教學甚至會實現從“課上”向“課外”轉移．角平分線概念的形成過程促進了學生模型觀念的建立，以及用數學的語言表達問題能力的提升；通過變式訓練、編題創(chuàng)新推動了學生用數學的方式解決問題；通過對數學概念的直接運用、間接運用、正反運用及拓展運用，數學概念的價值被充分展示，學生的聚合思維和發(fā)散思維得到培養(yǎng).

四、結束語

回顧整節(jié)課的教學，借助創(chuàng)設跨學科物理情境，通過提出問題、激活經驗、實驗操作、促進思考、靈動對話、完善表達和變式編題，讓學生充分感悟數學的學習方法和思考方法，完善研究角的知識體系、方法體系和思想體系，促進學生用數學的眼光觀察現實世界，發(fā)展學生的幾何直觀、抽象能力和創(chuàng)新意識等素養(yǎng).

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]任宏章，周正峰．以人為本道法自然生成發(fā)展：指向生成的初中數學課堂教學實踐[J]中學數學月刊，2021（11）：9-11.