基于數學問題意識培養的教學活動設計與分析

關鍵詞：發現和提出問題；合理情境；順應思維；一般觀念中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）05-0039-05引用格式：，．基于數學問題意識培養的教學活動設計與分析：以“銳角的正切概念”的教學為例[J].中國數學教育（初中版），2025（5）：39-42，52.

“會用數學的眼光觀察現實世界”是數學課程要培養的學生核心素養之一，而“發現和提出有實際意義的數學問題，進行數學探究”是數學眼光的具體表現．為此，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）將“學生能在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”作為課程總目標的一部分.

隨著義務教育新一輪課程改革的推進，在初中數學課堂教學中，多數教師都能很好地將數學問題作為載體，設計合理的問題串，開展啟發式、探究式、參與式、互動式的教學．但認真觀察后，不難發現，在很多數學課堂中，數學問題都是教師為推進教學而預設的，很少有學生在情境中自主發現和提出數學問題，課堂教學的過程主要是學生分析和解決教師預設問題的過程．這樣的課堂教學既不利于課程總目標的落實，也不利于核心素養的全面發展．根本原因是學生的數學問題意識沒能得到有效培養．義務教育新一輪課程改革確立的課程目標是以核心素養為導向的因此，從發展學生數學核心素養的層面來看，如何培養學生的數學問題意識是每一位初中數學教師都應該思考的問題.

一、數學問題意識的內涵解析

數學問題意識是指人們在進行數學的認識活動中，活動主體對既有的知識經驗和一些難以解決的實際或理論問題所產生的懷疑、困惑、焦慮、探究等的心理狀態，并在其驅動下，不斷提出問題、解決問題．它的核心是質疑，它的表現是批判，它產生的結果是“提出新的數學問題”具備數學問題意識是學生對數學具有好奇心、求知欲并能對所要研究的對象進行數學思考的體現．數學問題意識的形成離不開“能產生數學問題的背景”“想探究的心理狀態”和“會提出數學問題的方法”可見，要培養學生的數學問題意識，教師需要精心設計教學情境，引導學生積極探究，在學生思考問題的方法上給予正確指導.

鑒于以上分析，以“銳角的正切概念”一課的教學為例，闡述基于問題意識培養的教學活動設計策略和方法.

二、基于數學問題意識培養的教學活動設計策略和方法

銳角的正切概念是初中生接觸的一個全新的概念．在概念的獲得過程中，如何引導學生從現實情境中主動思考、發現并提出數學問題？如何引導學生抽象研究對象，建立數學模型，分析并解決所提出的問題？如何引導學生在分析和解決問題的過程中學會運用一般觀念提出新的數學問題？這些都是該部分教學內容的關鍵點．針對這些關鍵點，在教學銳角的正切概念的內容時，教師需要設計基于數學問題意識培養的教學活動，可以有以下三個方面的設計策略和方法.

1.創設合理情境，利于學生發現數學問題

培養學生數學問題意識的前提是要有“能產生數學問題的背景”，即創設合理的教學情境．合理的情境有利于學生發現數學問題，主要體現在以下三個方面：情境要反映本質，要包含即將要學知識的要素，蘊含即將要解決問題的數學思想方法，做到有數學問題可提；學生能強烈地感受到情境中可能存在某些數學問題、蘊含未知的知識或想進一步探究知識的信息，進而想提數學問題；情境要貼近學生的生活實際，符合學生的認知基礎和認知規律，自然而然地促進學生愿意提出數學問題.

依據上述思考，教學伊始，可以創設以下情境并提出問題.

情境：教師利用PPT展示靠墻的兩架梯子（如圖1）.

【設計意圖】“梯子靠墻”這樣的情境簡單明了，符合學生的生活實際，易于學生接受．展示靠墻陡緩程度不同的兩架梯子，能讓學生在想象過程中產生一種對比的潛意識，能對學生的思考產生很好的導向，更有利于突出數學問題的本質．兩架梯子放置位置的區別實際上就是數學問題產生的根源，“陡一點”“長一點”“高一點”“角度大一點”是位置不同的數學表現，其中蘊含著數學問題的本質．設計“梯子靠墻”的教學情境有利于學生發現數學問題.

問題1：看到這樣的情境，你能發現哪些數學問題？

在學生獨立思考并相互交流后，師生需要共同整理學生回答的結果，保留一些有價值的數學問題．例如，怎樣比較兩架梯子是否一樣長？怎樣比較兩架梯子靠墻的高度是否一樣？怎樣比較兩架梯子誰靠墻更陡些？怎樣比較兩架梯子與地面的夾角是否一樣？等等.

【設計意圖】問題1旨在引導學生用數學的眼光去觀察現實情境，其導向性與開放性兼容．“你能發現哪些數學問題？”可以給學生充分的思考空間，具有很強的開放性，同時，也為學生指明了一個思考的方向，即從數學的角度去發現、提出問題，具有一定的導向性．這樣的問題設計，既有利于調動學生發現、提出問題的積極性，又能聚焦學生思考的針對性．師生共同梳理總結學生發現、提出的數學問題，既是對學生的鼓勵，樹立其主動發現、提出問題的信心，總結出來的數學問題，又是課堂教學中優質的生成資源，是課堂教學有力的助推器.

2.順應學生思維，鼓勵其敢于提出數學問題

學生的數學問題意識是在其具有積極探究的心理狀態下產生的，教師要促進這種心理狀態的形成，引導學生保持這種心理狀態，就需要順應學生的思維，站在學生的角度去思考問題，樹立其提出數學問題的信心，使其敢于提出數學問題．事實上，核心素養下的數學課堂應該循著學生的思維軌跡，讓學生不斷地產生“沖突”、思考“沖突”、化解“沖突”．這里“循著學生的思維軌跡”就是順應學生的思維，學生產生、思考和化解的“沖突”就是學生提出、分析和解決的數學問題．教師只有順應學生的思維，才能發現學生思考過程中的認知障礙．有了對學生認知障礙和認知經驗的清晰了解，教師才能做到“道而弗牽，強而弗抑”，才能有效引導學生自主發現并提出問題，進而培養其數學問題意識.

依據以上思考，在后續的教學中，可以設計如下教學活動.

問題2：如果提供測量工具，你能不能通過測量的方法解決這些問題？

學生在獨立思考并小組內交流后，可以獲得結論：梯子的長度、梯子頂端距離地面的高度、梯子與地面的夾角均可以利用測量數據來表示，但對于梯子擺放的陡緩程度，用什么樣的測量數據來說明，有些爭議.

【設計意圖】問題2是基于前面師生共同梳理后保留的四個問題而提出的，發現和提出問題后需要分析和解決問題，這一點符合學生的思維習慣．學生要解決自已提出的這些數學問題，還需要進一步思考、分析，甚至是提出新的問題.

問題1中師生共同梳理、總結后提出的四個問題難度不大，通過對問題2的進一步思考，學生自然會提出下面的問題.

生1：用什么測量數據來表示梯子的傾斜（陡、緩）程度呢？

教師引導學生獨立思考，組織學生小組內交流、討論，并匯總小組得出的結論．結論如下：用梯子底端與地面的夾角、梯子頂端與墻面的夾角、梯子頂端距離地面的高度、梯子底端到墻的距離等來表示梯子的傾斜（陡、緩）程度.

對于生，提出的問題，學生經過思考、交流，能夠獲得很多結論．但對于“這些結論正確嗎？”“利用結論怎樣來比較梯子的傾斜程度呢？”等問題，都需要學生在思考的過程中自主發現并提出來.

問題3：基于得到的這些結論，你還能提出哪些問題？

【設計意圖】問題3旨在引導學生對上述小組討論后得出的結論作進一步思考，該問題是循著學生思維的軌跡，推動學生不斷地產生“沖突”，起到“道而弗牽”的作用.

在教師的引導下，學生對上述表示梯子傾斜（陡、緩）程度的量逐一進行深度思考，在充分交流的基礎上，自然能提出下面的問題.

生2：梯子底端與地面的夾角、梯子頂端與墻面的夾角、梯子頂端距離地面的高度、梯子底端到墻的距離都能表示梯子的傾斜程度嗎？若能，分別說明它們與梯子的傾斜程度有怎樣的關系；若不能，說明理由.

圍繞生2提出的問題，師生結合如圖2所示的直角三角形，進行深度思考和充分討論，獲得結論：梯子底端與地面的夾角能表示梯子的傾斜程度，夾角越大，梯子越陡；梯子頂端與墻面的夾角能夠表示梯子的傾斜程度，夾角越大，梯子越緩；梯子頂端距離地面的高度和梯子底端到墻的距離不能單獨用來表示梯子的傾斜程度.

3.運用一般觀念，引領學生會提數學問題

培養數學問題意識的關鍵是幫助學生掌握發現并提出數學問題的方法．如何使數學問題的發現和提出具有必然性，需要運用數學學科一般觀念引領．所謂數學學科一般觀念，是指對數學學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數學思想方法和基本思維策略方法．它具有統攝性、一般性和普適性等特點.它為如何構建本學科知識、提出問題和解決問題提供思維的方向與策略．例如，“對當前內容進行推廣、轉化、類比、特殊化的邏輯思考方法”“相同背景下的幾個事物之間一定有內在聯系”等都屬于數學學科一般觀念范疇．數學學科一般觀念是數學方法論，有了它的指引，學生才能學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析及發現、提出數學問題，從而達到會提數學問題的目的.

依據以上思考，在后續的教學中可以設計如下教學活動.

問題4：事實上，在大量的實際問題中，角度是不可以測量的．如果只能依據梯子頂端到地面的高度和梯子底端到墻的距離來比較兩架梯子的傾斜程度，怎么比較呢？

問題5：從數學學習和研究過程來看，數學中常用的邏輯思考方法有特殊化、類比、轉化、推廣．借助這些方法，為了解決問題4，你需要提出哪些問題？

【設計意圖】問題5明確了解決問題4的方法，但學生要用好問題5中的方法去解決問題4，還有相當一段距離的路要走．問題5中的方法屬于學科一般觀念的范疇，需要教師明確，需要學生逐步掌握和運用.

明確了問題5中的方法后，學生自然會朝著“如何特殊化”“如何類比”“如何轉化“如何推廣”這幾個方面去思考和分解問題4.例如，有學生利用特殊化的方法提出下面的問題.

生3：怎樣比較有一條直角邊相等，另一條直角邊不等的兩個直角三角形斜邊的傾斜程度？

生4：如圖3，怎樣比較兩條直角邊均不相等的兩個直角三形斜邊的傾斜程度？

對于生提出的問題，學生結合圖2很容易解決，但對于生4提出的問題，需要教師運用學科一般觀念進行引導．學生在充分討論的基礎上，利用轉化的方法提出下面的問題.

生5：對于兩條直角邊均不相等的兩個直角三角形，要比較它們斜邊的傾斜程度，能否轉化為比較有一條直角邊相等，另一條直角邊不相等的兩個直角三角形斜邊的傾斜程度呢？

學生結合圖3，在獨立思考的基礎上，再進行深人交流，獲得如下解決辦法.

如圖4，在 RtΔ A B C 的邊 B C 上取一點 M ，使B M=2 ，過點 M 作直線 M N⊥ B C 交邊 A B 于點 N .因為直線 B N 和直線 B A 是同一條直線，所以它們的傾斜程度是一樣的．這樣比較 RtΔ A B C 和 斜邊的傾斜程度，其實就是比較 和 斜邊的傾斜程度，轉化為生3提出的問題．再根據相似三角形的性質進行計算，得 所以 RtΔ A B C 的斜邊比 的斜邊傾斜角度更小.

問題6：問題4是否得到完全解決了？

【設計意圖】問題6旨在提醒學生，對當前內容（這里指問題4）進行特殊化思考僅僅是數學邏輯思考的一種方法，它能給解決一般性問題提供可借鑒的思路、方法，但其本身所獲得的結論是具有局限性的，不能作為當前內容（這里指問題4）的一般性解答.

在學科一般觀念的指引下，為了徹底解決問題4，學生自然能想到將邊長為具體數字的直角三角形推廣到邊長為字母的直角三角形，通過類比生提出問題的解決方法，獲得一般性解法和結論，利用推廣、類比的方法，有學生提出下面的問題.

生6：如圖5，當 RtΔ A B C 與 的直角邊長不是具體數字時，其中 ，如何比較兩個直角三角形的斜邊傾斜程度？

學生結合圖5，類比生5提出問題的解決方法，容易得到生。提出問題的解決辦法.

如圖6，在 RtΔ A B C 的邊 B C 上取一點 M ，使 ，過點 M 作直線 M N⊥ B C 交邊 A B 于點 N ·

利用相似三角形的性質進行計算，得 M N= AC·BM=ba．進而通過比較 MN與 AC，的長短來比較兩直角三角形的斜邊傾斜程度，即比較 與b的大小．由于 ，故可以通過比較 與 的大小來比較兩直角三角形的斜邊傾斜程度.

問題7：數學上還有一種常用的邏輯思考方法，相同背景下的幾個事物之間一定有內在聯系．由前面學生提出的問題可知，衡量直角三角形斜邊的傾斜程度，可以用比值，也可以用角，對此，你有怎樣的想法呢？

【設計意圖】問題7旨在運用學科一般觀念“相同背景下的幾個事物之間一定有內在聯系”來引導學生發現并提出有關“用角和比值表示直角三角形斜邊的傾斜程度”的問題，既能加深學生對數學一般觀念的理解，又能使學生掌握發現、提出有價值數學問題的一種方法，進而推進銳角正切概念的形成.

在學科一般觀念的指引下，學生容易將思路聚焦于用角和用比值之間的內在聯系上，自然會提出下面的問題。

三、結束語

發現和提出問題能力的培養是我國數學教學的短板.在核心素養導向的課程改革中，大力加強對學生發現和提出問題能力的培養，是實現課程改革目標的關鍵舉措之一.然而，培養學生的數學問題意識，發展其數學眼光，并非一朝一夕就能完成.學生發現并提出問題能力的培養是一個循序漸進的過程，教師要精心創設合理的教學情境，順應學生的思維發展，運用一般觀念去引領學生如何思考，鼓勵學生自主發現和提出有價值的數學問題，學生的數學核心素養則能在數學學習的過程中得到真正地發展.

參考文獻：

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