新高考背景下數學解題教學的常見誤區及對策

【摘 要】在新高考背景下，針對數學解題教學過程中可能存在的誤區：重視解法套路的提煉、重視最優解法的獲取、重視解題分析的引導、重視規范解答的示范，結合案例給出了四種解決對策：回歸本原通法、注重經驗積累、注重讓位真思、注重試錯糾錯。

【關鍵詞】高中數學；解題教學；誤區；對策

【中圖分類號】G633.6" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2025）07-0012-04

【作者簡介】1.黃麗亞，江蘇省如皋中學（江蘇如皋，226500）教師，高級教師；2.曾榮，江蘇省教育科學研究院（南京，210013）中小學教研室高中數學教研員，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

新高考改革給數學解題教學帶來了全新的機遇與挑戰。新高考強調對數學學科核心素養的考查，注重知識的綜合運用與思維的深度拓展。因此，原有的解題教學模式可能會深陷誤區，阻礙學生在新高考體系下數學素養的全面提升與個性發展。本文就高中數學解題教學中出現的幾個誤區進行分析并提出相應的對策。

一、走出套路誤區，注重回歸本原

1.誤區：重視解法套路的提煉，忽視概念原理的領悟

在數學解題教學中，教師有時過度重視解法套路的提煉，熱衷于整理各類題型的固定解法步驟，讓學生機械記憶。這會導致學生雖能應對一些常規題目，但遇到稍作變化、需要靈活運用概念原理的問題時便不知所措。例如，在學習拋物線定義時，教師提問滿足到定點F（1，0）的距離比到定直線x = 0距離大1的點的軌跡是什么？

有了拋物線的定義，不少學生就將定直線x = 0轉化為定直線為x = -1，把原題轉化為平面內到一定點F（1，0）和一條定直線x = -1的距離相等的點的軌跡，得到答案y2 = 4x。顯然，這種解法只是進行了簡單的模仿，忽略了概念原理的生成。

2.對策：回歸本原通法，讓基礎更厚實

對于上述問題，回顧拋物線定義的由來，不妨從代數角度來求證：由已知條件可得PF = d+1，即[（x-1）2+y2]=|x|+1，化簡得（x-1）2+y2 = x2+1+2|x|，即-2x+y2 = 2|x|。可以得到，當x ≥ 0時，y2 = 4x，當x lt; 0時，y = 0。

通過代數計算可以發現，結果并不是上面簡單的模仿，可以發現圖形是由拋物線和一個射線組成。然后，教師進一步提問：

（1）若將定直線變成x = -2，則滿足到定點的距離F（1，0）比到定直線x = -2距離小1的點的軌跡是什么？

（2）若將定直線變成x = [12]，則滿足到定點的距離F（1，0）比到定直線x = [12]距離大[32]的點的軌跡是什么？

學生通過代數計算可得（1）y2=4x；（2）當x≥[12]時，y2=4x；當xlt;[12]時，y2=3-2x。教師繼續追問學生，通過定義的領悟、本源方法的回歸，你能體會到這類問題的共性嗎？為什么有時是一段，有時是兩段呢？如何不通過代數計算發現結果是一段或者兩段？

學生結合圖形反思領悟，可以發現（1）中若點在直線x = -2左側，到定點的距離F（1，0）一定大于到定直線x = -2距離，而（2）中點可能在直線x = [12]的兩側，所以有兩種情況。

有了回歸本原通法的分析，學生下次在解決同類問題時就不會是簡單的模仿。通過深入理解概念原理構建扎實的知識基礎，學生在面對復雜多變的數學問題時，就能夠依據對數學本質的深刻把握靈活應變。

二、走出優解誤區，注重經驗積累

1.誤區：重視最優解法的獲取，忽視解題經驗的積累

教師在講解題目時，往往會直接展示最為便捷高效的解題路徑，學生也將目光聚焦于記住最優解法，卻忽視了在探尋解法過程中解題經驗的積累。這使得學生一旦脫離教師的引導，面對新題時缺乏獨立思考和探究的能力。

例1證明不等式

[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53] （n∈N*）

生解：因為2n-1gt;3·2n-2（n≥3），

所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1]

lt;1+ [13] + [13?2] + [13?22] +…+ [13?2n-2]

=1+[13]+[13][?][121-12]（1-[12n-2]）=[53]-[13?2n-2]

因為[13?2n-2]gt;0，所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53]（n∈N*）

不可否認，這種解法很簡潔，將原數列放縮為等比數列，使得問題輕松求解。但是如何獲取這個最優解的呢？下次面對新面孔學生還能順利解題嗎？

2.對策：注重經驗積累，讓反思更深入

因此，在上述問題的教學中，教師可以帶領學生思考三個問題：

（1）為什么想到這種方法？放縮的本質內涵是什么？

（2）有沒有其他放縮的形式？

（3）有沒有其他解決問題的角度？

教師可以提示學生觀察通項[12n-1]，要想得到理想效果直接將[12n-1]變成等比數列[12n]，雖然容易求和但是發現方向反了；因此必須將分母2n-1變小，此時發現[k+1k+1?]2n-1=[kk+1?]2n+[kk+1?]2n-1，這樣只要保證[1k+1?]2n-1≥0即可。若k=3，得到n≥2，就可以帶來上面的不等式2n-1gt;3[?]2n-2（n≥3）。有了這樣的分析，學生可以發現很多其他放縮方法。

對解題方法的本質挖掘，不僅可以讓學生學會一題多解，從結果來看當k取值越大，放縮越精確，學生進一步學會了這種從彌補的角度進行放縮，從而達到“見木見林”的高度。

繼續解決例1，教師可以引導學生進一步反思證明不等式除了放縮為等比數列，還可以放縮為裂項相消的方法。

教師要善于與學生一起分析每一個步驟的合理性，嘗試其他可能的解法并比較優劣，注重底層邏輯的挖掘，一起從題目的條件和問題中挖掘出一般性的解題策略和數學思想。通過這樣的教學，可以使得學生的每一次解題的經歷轉化為應對多樣化的數學問題的能力，從而進一步提升數學思維品質。

三、走出引導誤區，注重讓位真思

1.誤區：重視解題分析的引導，忽視第一思維的讓位

由于教學進度的壓力，為了讓學生盡快掌握解題方法、提高解題能力，教師通常選擇直接向學生展示標準的解題步驟和方法，從題目條件的分析、相關知識點的運用到最終答案的得出，都進行細致入微的引導和講解，卻忽略了學生第一思維的發展空間，這一現象值得深入研究和反思。

由于對知識系統性傳授的認知偏差，教師往往認為只有通過完整、系統的講解過程，才能讓學生構建起嚴密的數學知識體系，忽略了學生在探索過程中形成的知識建構方式。其實數學課不僅僅要讓學生掌握知識和解題技巧，還要注重基本的活動經驗積累。第一思維的讓位會對學生思維的獨立性產生抑制，讓學生逐漸形成依賴心理，遇到問題首先等待教師的講解，而不是主動運用自己的思維去嘗試解決，缺乏獨立思考和分析問題的能力。第一思維蘊含著學生獨特的創造力和想象力，忽視其發展會導致學生思維的固化。第一思維的讓位會導致學生學習興趣的降低，由于缺乏自主探索和成功解決問題的體驗，學生對數學學習的興趣逐漸減弱。數學學習變成了被動地接受知識和模仿解題，而不是主動地探索和發現數學的樂趣。

2.對策：注重讓位真思，讓參與更充分

當學生在自主探索過程中遇到困難時，教師要把握好介入的時機和方式。不能直接給出答案，而應通過提問、啟發等方式引導學生進一步思考自己的思路，幫助他們發現問題所在，并嘗試自己修正和完善。

在學生嘗試解決問題但陷入困境時，教師可以提問：“你是怎么理解題目中的這個條件的？你為什么會選擇這樣的解題方法？”引導學生反思自己的思維過程。在學生充分表達和嘗試自己的第一思維后，教師再展示標準的解題分析方法，并與學生的思路進行對比。讓學生明白不同思維方式的優缺點，引導他們將自己的思維與教師的引導相結合，形成更加完善的解題策略。教師還可以將學生提出的不同解題思路和標準解法一起列在黑板上，從解題的簡潔性、準確性、通用性等方面進行對比分析，幫助學生拓寬思維視野。

例2：已知橢圓E：[x24]+y2 = 1的左，右頂點分別為A，B，圓x2+y2 = 4上有一動點P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結DC，PB。設直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。

例2的通常解法思路為路徑1：

[設AP：y = k（x+2）→D點坐標→k2——

P點坐標→k1 ——————→ λ = f （k1）]

事實上，例2學生除了上面給出的解題思路外，教學實踐中學生的出發點和想法還有很多，比如路徑2：設BP：y = k1（x-2）→AP：y = - [1k1]（x+2）→D點坐標→k2→λ = g（k1）

路徑3：設CD：y = k2（x-1）→D點坐標→kAD→k1→λ=h（k2）

設點和設線是解析幾何的兩大出發點，本題學生提出的其他路徑同樣能順利地解決問題，這樣的思考是有效的、貼近學生實際的。重視解題分析的引導與保護學生的第一思維同等重要。通過營造適宜的教學環境、合理介入引導以及進行有效的對比整合，讓學生充分參與，實現兩者的平衡發展，激發學生的數學學習興趣，培養其獨立思考和創新思維能力。教師在課堂上要鼓勵學生大膽表達自己的第一思維，無論其想法是否正確，都給予充分的尊重和耐心的傾聽。在講解前，先讓學生獨立思考幾分鐘，然后請學生分享自己的初步想法和思路，教師不急于評價，而是引導其他學生進行討論和分析，從而營造寬松的思維環境。

四、走出示范誤區，注重試錯糾錯

1.誤區：重視規范解答的示范，忽視錯誤資源的利用

傳統的解題教學往往側重于規范解答的示范，卻忽視了對學生錯誤的挖掘與利用。

例3：已知數列{an}的前n項的和為Sn，a1=1，an+1 = [13]Sn，求數列{an}的通項公式。

規范解答如下：因為a1=1，an+1 = [13]Sn，得到n≥2，an = [13]Sn-1，由兩式相減，得到an+1-an = [13]an（n≥2），所以an=" " " " "。

應該說教師在解題教學中規范解答示范必不可少，但是本題講解就這樣結束，學生會提出不少質疑，下次面對類似的題目還會繼續走不少彎路，那么面對學生中產生的多種思維角度尤其是多種得不到正確結果的方法我們如何處理呢？

2.對策：注重試錯糾錯，讓資源再利用

學生錯誤解題過程若能得到妥善運用，將成為提升學生數學素養與解題能力的有效工具。對于本題，學生的兩種典型錯誤如下。

方法1：因為a1=1，an+1=" [13]Sn，得到n≥2，an=" [13]Sn-1。兩式相減，得an+1-an=" [13]an，所以an=（[43]）n-1。

方法2：因為a1=1，an+1=[13]Sn，又因為an+1=Sn+1-Sn，得到Sn+1=" [43]Sn，Sn=（[43]）n-1，求得an=" [13]（[43]）n-2。

可以發現學生的這兩種解法得到的結果不一樣，與教師給出的示范解答也不一樣，看來兩種方法都出現了錯誤。認真思考，仔細分析，發現方法1與正確答案的區別就是忽略了n≥2。事實上，學生在解這類數學題的過程中經常會忽略這樣的范圍，所以教師應該讓錯誤資源再利用，讓學生在知錯中醒悟。方法2中，學生從消去通項an的角度來解決問題，這樣的解題出發點很好，但是問題又出在哪里呢？通過與學生一起糾錯，發現由Sn=（[43]）n-1求an的過程中應該依據an=[S1， n=1Sn-Sn-1， n≥2]，從而得到正解an= 。

學生的典型錯誤反映了學生在知識理解、思維邏輯、解題方法運用等方面的漏洞與偏差。通過對錯誤的分析與糾正，能夠精準定位學生的學習難點和易錯點，學生也能更深刻地理解數學概念與原理，避免再次犯錯。錯誤資源猶如一面鏡子，能清晰地映照出學生學習過程中的薄弱環節。因此，教師在教學過程中要重視試錯糾錯，善于挖掘錯誤資源中的價值，讓數學課堂因錯誤而更加精彩，讓學生在試錯糾錯中不斷成長與進步。

當然，新高考背景下數學解題教學的誤區遠不止這些，高中數學教師應該引導學生深刻領悟數學概念的內涵與外延，鼓勵學生依據基本概念探尋思路，培養學生對數學思想方法的敏銳感知與靈活運用。讓學生在清晰把握數學本源的基礎上，靈活應對新高考的挑戰，提升數學核心素養與綜合解題能力，使數學解題教學真正契合新高考的育人導向與能力要求。