親歷實踐過程，形成“三會”素養

綜合與實踐活動能幫助學生聯系數學知識和生活情境、數學學科和其他學科，讓學生運用數學知識解決生活中的實際問題，解釋生活中的具體現象，從而讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。

綜合與實踐活動“自行車里的數學”，主要是讓學生在活動中學會學習和理解數學知識，感悟知識存在的價值。

一、課前思考

“自行車里的數學”是學生學習“比例”單元后的綜合與實踐活動，目的是讓學生運用學過的圓、排列組合、比例等知識觀察生活中的自行車，感受數學在生活中的廣泛應用。教師要引導學生經歷“發現問題一提出問題—分析問題一建立模型—尋找答案一解釋應用\"的問題解決過程。

“自行車里的數學”一課要研究兩個問題：一是研究普通自行車的速度與自行車內在結構的關系，讓學生找一輛普通自行車測量其前齒輪齒數、后齒輪齒數和車輪半徑，探究前齒輪、后齒輪的齒數與它們轉數的關系，計算自行車轉1圈的路程；二是研究變速自行車能變化出多少種速度，讓學生找一輛變速自行車測量其前齒輪、后齒輪的齒數，思考轉同樣的圈數哪種組合使自行車走得最遠。

因此，筆者將本節綜合與實踐活動的教學目標確定為：（1）讓學生經歷“自行車里的數學\"的探究過程，發現“普通自行車的速度與自行車內在結構的關系\"和“變速自行車能變化出多少種速度”；（2）獲得“四能”，形成“三會\"素養，體會數學與生活的緊密聯系。

二、教學活動

1.認識自行車的組成，感悟\"一-對應\"思想

師：同學們，你們想過簡單的自行車里藏著我們學過的哪些數學知識嗎？

學生回答：（1）自行車上面有三角形的架子，運用了三角形具有穩定性的特征；（2）自行車的車輪在旋轉，是圖形的運動；（3）自行車的兩個輪胎是圓形的，用到了圓形的知識。

師：這節課我們就來研究“自行車里的數學”。你們知道自行車是如何行進的嗎？

生1：自行車踏板帶動前齒輪，前齒輪帶動鏈條，鏈條帶動后齒輪，后齒輪帶動后輪，后輪帶動整個車身，車身帶動前輪，于是自行車就往前動起來了。（學生鼓掌）

師：我們知道自行車靠后輪往前推，前輪用于控制方向。當前齒輪、后齒輪、鏈條、后輪、前輪這些零件組合在一起，就變成了自行車里最重要的部分，這便是自行車的動力系統。大家看，當踏板轉1圈時，前齒輪剛好轉動了1圈。前齒輪上面有一個個尖尖的凸起，我們把它叫作小齒。一個尖尖的凸起叫作1齒，同學們數一數前齒輪和后齒輪分別有多少齒？

生2：前齒輪的齒數是14，后齒

輪的齒數是 10

師：我們來觀察，鏈條中間有一個個小洞，把齒輪裝在鏈條上面，1個小齒剛好對應1個洞。你們能聯想到數學上的哪個詞？

生（齊聲答）：一一對應的數學思想。

在這個教學片段中，教師采用聊天的方式引導學生思考自行車里藏著的數學問題，拉近數學知識與生活實際的關系，促使學生體會自行車的組成里有很多數學應用。隨著師生之間聊天的層層推進，學生知道了前齒輪、后齒輪和鏈條等名詞，知道了前齒數和后齒數，還從前齒輪1個小齒對應鏈條上的1個洞，感悟一一對應的數學思想。

2.研究走多遠的原因，感悟“變與不變”思想

師：自行車是交通工具。說到交通工具，你們覺得這輛自行車能走多遠，哪些因素會影響它走多遠？

生3：我覺得是車輪的大小和齒槽的多少。一輛自行車如果車輪大一些，肯定會走得遠一些；車輪小一些，就會走得近一些。

生4：我覺得是車輪的周長，車輪的大小和車輪轉動的速度都會影響自行車是走得遠，還是走得近。

師：有同學說車輪的周長會影響自行車走多遠，對此你們聯想到了什么？

生5：車輪旋轉的圈數，自行車轉1圈和轉10圈的路程肯定不一樣。

師：車輪轉動的速度由什么決定呢？比如小孩子騎自行車和大人騎自行車，他們的速度肯定不一樣，看來騎車人的能力影響了自行車的速度。剛才我們說很多因素會影響自行車走多遠，數學要研究的是這些千變萬化之中不變的東西。你們想一想：如果讓同一個人騎同一輛自行車，自行車能走多遠由什么因素來決定？

生6：這取決于他轉幾圈自行車。

師：那我們從簡單的轉1圈開始，研究這輛自行車能走多遠，好嗎？

在這個教學片段中，教師借助“哪些因素會影響自行車走多遠\"這個大問題，讓學生先漫無邊際地尋找原因，再從數學角度尋找原因，尋找在變化中不變的東西，從而發現自行車能走多遠的根本原因是騎行者轉幾圈自行車，在這個思考過程中幫助學生感悟\"變與不變\"的思想方法。然后，教師引導學生從最簡單的自行車轉1圈開始研究，體會數學中“化繁為簡\"的數學思想方法，這有利于學生探尋問題的答案。

3.探索走多遠的方法，感悟“轉化\"思想

師：同學們，想要解決“自行車能走多遠\"這個問題有什么好辦法？

生7：我覺得可以用轉的圈數來乘自行車車輪的周長。

師：意思是用數學上的“算”，你們覺得最直接的方法是什么？

生8：就是一個人坐在自行車上，另一個人用卷尺量出自行車車輪轉1圈的距離。

師：如果要測量自行車車輪轉1圈的距離，我們該怎么辦？

生9：我們可以先固定一個點，然后騎著自行車轉1圈，在結束的地方畫一個點，最后用卷尺量出這兩個點之間的距離，就是自行車車輪轉1圈走的路程。

師：這個方法很簡單，它有沒有什么不好的地方？

生10：量的時候可能遇到尺子不夠長，會導致我們測量不準確；如果騎車的那個人轉1圈的時候不是走的直線，這樣我們量出來的長度就不準確了。

師：量出自行車車輪轉1圈的距離可能會有誤差，于是我們想到了更有數學味的“算”。剛才有同學說計算自行車車輪轉1圈走的路程可以用轉動的圈數乘周長，自行車車輪的形狀是圓形的，算自行車車輪的周長就是算圓的周長。接下來我們重點研究后輪轉動的圈數。想一想，后輪轉動的圈數就是誰轉動的圈數？

生11：后輪轉動的圈數和后齒輪轉動的圈數有關。

在這個教學片段中，為了解決“轉1圈自行車能走多遠”這個實際問題，教師引導學生聯系\"量\"和\"算”這兩種方法。學生通過分析發現\"量”雖然直接，但是會有誤差。于是，學生放棄了“量”，采用具有數學味的“算”。學生在猜想中嘗試將“轉1圈自行車能走多遠\"轉化為計算轉動的圈數乘周長，由于自行車車輪的周長是固定的，因此將這個問題轉化為研究轉動的圈數問題，在不斷思考中逼近問題的本質。

4.解決走多遠的路程，感悟“推理”思想

師：以四人為一小組，合作研究自行車轉1圈時，前齒輪和后齒輪之間有怎樣的關系？

生12：我們組測出來是前齒輪轉1齒，后齒輪也轉1齒然后我們把前齒輪轉1圈，發現前齒輪和后齒輪都轉了14齒。我不明白為什么前齒輪和后齒輪的齒輪數不一樣，但是它們轉1圈的齒數是一樣的？

生13：我覺得雖然前齒輪齒數多于后齒輪齒數，但是前齒輪是帶動后齒輪在轉，所以前齒輪的齒數和后齒輪的齒數是一樣的。

師：聽清楚了嗎？前齒輪轉1齒的時候，后齒輪也轉1齒。（實物演示操作）前齒輪轉1圈，也就是前齒輪轉過14齒，后齒輪也要轉過14齒。但是后齒輪只有10齒，后齒輪要轉14齒，說明后齒輪轉的圈數要比前齒輪多。現在你明白了嗎？我們發現前后齒轉動的總齒數雖然是相等的，但是它們轉動的圈數是不一樣的。

生14：我們發現了前齒輪轉動的 總齒數等于后齒輪轉動的總齒數，因 為前齒輪轉動的總齒數等于前齒輪 齒數乘前齒輪轉動的圈數，后齒輪轉 動的總齒數等于后齒輪齒數乘后齒 輪轉動的圈數，所以前齒輪齒數乘前 齒輪轉動的圈數等于后齒輪齒數乘 后齒輪轉動的圈數。（學生鼓掌）

師：謝謝你，太了不起了！現在我們要研究的是當前齒輪圈數為1的時候，求后齒輪的圈數。

生15：前齒輪轉1圈，后齒輪就要轉1.4圈。因為“前齒輪齒數 × 前齒輪轉動的圈數 后齒輪齒數 × 后齒輪轉動的圈數”，我們已經知道了三個量，就能算出剩下的量了。

師：當前齒輪轉1圈時，后齒輪轉動的圈數等于前齒輪齒數除以后齒輪齒數，后齒輪轉動的圈數就是車輪轉動的圈數。我們只要再知道車輪的周長，利用“車輪轉動的圈數 × 車輪的周長\"就能算出車輪轉1圈自行車能走多遠了。

在這個教學片段中，教師放手讓學生通過小組合作討論，發現前后齒輪圈數的關系。在教師的層層分析和步步推理中，學生通過動手操作將“自行車轉1圈能走多遠\"轉化為“前齒轉動的總齒數 σ=σ 后齒轉動的總齒數”，再通過數量關系“齒輪轉動的總齒數 ？= 齒輪的齒數 × 齒輪轉動的圈數”轉化為“前齒輪齒數 ？× 前齒輪轉動的圈數 τ=τ 后齒輪齒數 × 后齒輪轉動的圈數”，最后觀察到前齒輪齒數是14、后齒輪齒數是 10 當前齒輪圈數為1時，學生推理得到\"后齒輪圈數 前齒輪齒數 ÷ 后齒輪齒數”。只要知道后輪周長，就能計算出轉1圈自行車行進的路程。這個學習過程給學生獨立解決問題做了很好的示范，引導學生先將未知問題逐步轉化成已知問題，再進行嚴謹細致的推理，最終解決未知的問題。

三、教學反思

1.用數學的眼光觀察現實世界

在活動中，教師引導學生用數學的眼光去觀察自行車的構造，特別是前后齒輪的比例關系以及它們與車輪轉動的聯系。這一環節的設計，旨在培養學生從日常生活中發現問題和抽象出數學問題的能力。筆者注意到部分學生在觀察時缺乏系統性，容易忽略細節。因此，教師要引導學生進行系統的觀察，從多個角度捕捉問題中的數學元素。

2.用數學的思維思考現實世界

在深入階段，教師鼓勵學生運用數學的思維去分析自行車行駛過程中涉及的數學問題。這一過程中，學生展現出較強的邏輯思維能力，能夠運用比例、代數等數學知識解決實際問題。筆者發現，部分學生在面對復雜問題時，容易陷入思維定式，難以跳出常規框架去尋找新的解決途徑。因此，教師要培養學生的創新思維和批判性思維，引導他們學會從不同角度審視問題，運用多種方法解決問題。

3.用數學的語言表達現實世界

在交流環節，教師要求學生用數學的語言來表達他們的觀察結果、分析過程和解決方案。通過實踐，大部分學生能呈現自己的研究成果，但在口頭表達方面還存在不足。因此，教師要加強學生的數學口語訓練，提高他們的數學表達能力；同時，要鼓勵學生多參與小組討論和課堂展示等活動，以增強他們的自信心。

總之，《義務教育數學課程標準（2022年版）》中關于“應用意識”明確提出：“應用意識有助于用學過的知識和方法解決簡單的實際問題，養成理論聯系實際的習慣，發展實踐能力。\"綜合與實踐活動\"自行車里的數學\"表面上看似教師在教學自行車里藏著的數學知識，其實是在利用學生的已有知識經驗解決生活中的實際問題，讓學生在探究活動中感悟數學思想方法，培養其應用意識和創新精神，提高其解決問題的能力，發展其核心素養。