基于核心素養的函數大概念下“二次函數”單元教學初探

2022年頒布的義務教育數學課程標準中提到“基于核心素養發展要求，避選重要觀念、主題內容和基礎知識，設計課程內容，增強內容與育人目標的聯系”2018年頒布的普通高中各學科課程標準中“凝練學科核心素養”“重視了以學科大概念為核心，使學科內容結構化”.圍繞大概念進行單元教學設計成為學科教育發展的趨勢，改變注重以課時為單位的教學設計、推進單元整體教學設計是落實核心素養的重要手段.如何避免碎片化教學設計，圍繞大概念進行單元教學設計以真正落實核心素養呢？一線教師在實踐的過程中還有很多困擾，下面，筆者結合“二次函數”單元教學進行探討.

一、大概念統攝下單元教學設計的要素

1.課標要求.《義務教育數學課程標準（2022版）》提出：要通過現實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數表達變化關系的實際意義；要引導學生借助平面直角坐標系中的描點，理解函數圖象與表達式的對應關系，理解函數與方程的對應關系，理解函數與對應方程、不等式的關系，增強幾何直觀；會用函數表達現實世界事物的簡單規律，經歷用數學的語言表達現實世界的過程，提升數學學習的興趣，進一步發展應用意識.

2.章節對比分析，明確單元學情.通過梳理初中相關內容，我們了解到在學習本章知識之前，學生已經學習了函數概念和一次函數，具備了一定的研究經驗，基本形成了函數的大概念.它和一次函數、反比例函數屬于大概念“函數”統攝下的三部分內容，主要是研究兩個變量之間的聯系.通過對比人教版教材中一次函數、二次函數、反比例函數三個章節的內容，可以發現它們呈現的知識脈絡十分清晰，從整體上揭示了“二次函數”這一章節的知識結構、思想方法和認知規律等學習內容.三章內容都是從實際情境引出二次函數的概念，然后通過研究圖形，發展幾何直觀，進一步發現二次函數的性質．最后應用二次函數解決實際問題.

3.教材對比分析，明確單元教學內容與結構．類比一次函數單元的學習，從實際情景出發，擴充函數的類型．為了更好地明確二次函數單元的教學結構，達成教學目標，筆者對多個版本的初中數學教材中二次函數單元的內容編排進行了比較分析，如表1.

二、大概念統攝下二次函數單元教學的目標

1.把章引言中“什么樣的函數是二次函數”拓展為：了解二次函數及其相關概念，通過具體示例認識這種函數．經歷把實際問題抽象為二次函數的過程，體會函數是刻畫現實世界中變量關系的一種數學模型，發展抽象能力和模型觀念.

2.把討論二次函數的圖象和性質拓展為：通過對比研究一次函數的方法探索如何研究二次函數圖象和性質．能通過類比的方法明確研究圖形和性質的方法與步驟，能通過畫圖比較總結處二次函數的性質，培養學生類比的思想，系統性的思維方式.

3.把如何確定二次函數的解析式拓展為：能根據已知條件，合理選擇二次函數解析式的三種表達方式：一般式、頂點式、交點式，并用待定系數求出解析式，體會方程思想.

4.把加深對一元二次方程的認識拓展為：理解一元二次方程與二次函數的關系，理解一元二次方程研究的是二次函數某一個時刻的值，并能根據圖象找到一元二次方程的解，找到不等式的解集，體會數形結合的思想.

5.把運用二次函數分析和解決某些實際問題拓展為：能夠根據實際問題背景構建二次函數模型，并解決實際生活鐘的問題，用數學的語言表達世界，發展應用意識和創新意識.

三、以學生研究為基礎開展單元教學的實踐

1.從情景出發構建模型，以情景為錨明確章節學習任務．在二次函數章節的第一個課時中我們選擇設計了如下問題情景：情景1：正方體的六個面是全等的正方形，設正方體的棱長為 x ，表面積為 y. 表面積與邊長 x 有什么關系？（人教版教材）情景2：某種產品現在的年產量是 20t ，計劃今后兩年增加的產量，如果每一年都比上一年增加 x 倍，那么兩年后這種產品的產量 y 將隨計劃所定的 x 的值而確定， 與 x 之間的關系怎樣表示？（人教版教材）情景3：校運會期間，各班組建一支隊伍進行拔河比賽 .n 個班參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽.比賽的場次數 和參加班級數 n 之間有什么關系？情景4：一名學生投籃時，籃球行進高度 y（m） 與水平距離 x（m） 之間的關系，你能想辦法求出來嗎？教學說明：根據情景1、情景2、情景3，學生會生成以下關系 但對于情景4，學生無從下手.但不在預設范圍內的問題往往會激發學生的發散思維．通過前3個問題情景讓學生感受函數與現實生活密不可分，并從實際問題中抽象出函數模型，發展學生的模型意識.問題情景4的呈現，是為了激發學生思考如果尋找圖象中所蘊涵的變量關系，進而引出研究函數的圖象和性質的必要性，同時明確本章的研究任務.

2.在問題中促進學生發散思維，在問題鏈中聚焦研究起點.在本章的第二課時教學中大膽展開了如下問題鏈式教學活動：教師：根據上述實際問題，歸納出二次函數的一般形式 0 ）.我們如何研究它的圖象與性質呢？生：畫圖.師：那請同學們自己寫一個喜歡的二次函數解析式，然后畫出它的圖形.（學生自我探索，教師請學生展示了各種圖形，有直線，曲線，V線等）師：這些圖形看起來都不一樣？生：我的不是直線，不應該只描兩個點，因為我們事先都不知道圖形是什么樣子，一般要描5個點.師：這兩幅都描了5個點，圖形好像也不一樣？.

3.類比一次函數研究二次函數的圖象與性質—落實幾何直觀.在教學中，我們應當讓學生感悟到數學研究的基本方法，體會用相似的方法解決不同的問題的數學思想方法，經歷用相同的方法研究不同的數學對象的過程，學會一般觀念引領構建出數學研究對象的基本路徑、基本套路與基本方法，并用自主構建的研究方法研究一個新的對象，經歷了數學抽象、邏輯推理等過程，發展了數學學科核心素養，實現從知識傳遞到育人賦能.

四、聚焦大概念統攝下單元教學的路徑

1.歸納知識生成的一致性.一方面，生活中存在大量的數量關系，二次函數是描述實際生活中變量關系的一類關系．無論是過去學習過的一次函數，還是之后要學習的反比例函數，都是從實際問題中抽象出來形成的．通過對抽象出的數學模型進行分類研究，挖掘總結其性質，反之用二次函數關系及其性質幫助我們更精準的解決實際問題，從生活實際和數學現實兩個方面進行雙向研究，既能幫助我們理解概念的本質特征，又助力我們形成單元函數大概念的基礎和核心

2.構建教學方法的多樣性.函數關系都來源于實際生活，章引言中正方體表面積與邊長關系、拋出小球的高度與時間關系、章前圖中噴頭噴出水珠的豎直高度與水平距離關系都抽象為二次函數，進一步研究函數特征是為了幫我們解決復雜的實際問題.這樣從情景出發，以情景為錨，明確章節研究思路，不僅是情景教學法的體現，也是一種項目式教學法.一次函數、二次函數、反比例函數都是研究變量關系，所以知識的生成與發展都具有一致性，所以學生在章節之初的學習中處于“不憤不啟，不不發”的心理狀態，類比教學方法就水到渠成了．在研究二次函數的圖象時，在問題中促進學生發散思維，在問題鏈中聚焦研究起點，又是一種典型的問題啟發式教學法.

3.發展數學思維的系統性.數學世界是嚴謹的，數學知識是緊密聯系在一起的．在數學教學中最忌違碎片化教學，數學思維的發展絕不是簡單的堆砌過程，數學思維的形成應該是多種思維的交織前進的過程.例如，在二次函數章教學中通過對大量實際問題的研究，利用模型思維寫出變量關系，又利用抽象思維提煉出二次函數的概念．在研究圖形的過程中，利用類比思維明確研究思路，利用批判性思維找到畫圖的方法．這些都是人類思維最基本的趨勢．所以發展數學思維的實質是發展一個由多種思維組成的思維系統.只有發展思維系統，才能體現數學學科核心素養的育人價值.

【注：本文系廣州市教育科學規劃課題“雙減'背景下初中數學‘讓學促思教學范式研究”課題（課題編號：202215253）成果】

責任編輯 徐國堅