基于數學整體性的高中數學單元復習起始課的實踐探究

關鍵詞：整體觀；距離概念知識體系；合作探究；數形結合；核心素養中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）03-0016-07引用格式：，．基于數學整體性的高中數學單元復習起始課的實踐探究：“高三單元復習：以“距離”概念為例”教學設計[J].中國數學教育（高中版），2025（3）：16-22.

一、教學內容解析

1．內容

歐氏幾何距離知識體系的建構和應用.

2.內容解析

（1）內容本質.

距離是刻畫事物之間遠近程度的量，是幾何學中最基本的概念，是高中數學的核心概念，是刻畫空間中點、線、面之間遠近程度的重要幾何量，內容包括：兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、平行線之間的距離、直線到平面的距離、平行平面之間的距離，以及異面直線之間的距離（選修課程）等．其中，兩點間的距離是基礎，點到直線的距離是核心．這些距離可以從綜合幾何、解析幾何、向量等多個視角進行表達，其中投影向量為研究各種垂直距離問題提供了本源性和普適性的方法，在空間幾何中有著廣泛的應用．基于以上分析，確定本節課的教學重點為：距離概念知識體系的建構和應用.

（2）知識的上下位關系.在本單元專題復習之前，學生已經在初中階段學習了平面幾何知識，在高一、高二階段學習空間向量和解析幾何的過程中完成了以下兩項任務： ① 積累距離知識，在各個章節中積累相關的距離概念； ② 體驗距離表達，在不同章節中，用不同視角建立模型，幫助學生在活動中掌握距離的基本研究方法，積累與距離有關的研究經驗．這些視角也是高中階段研究幾何問題的常用視角.

（3）蘊含的育人價值.

距離問題涵蓋了平面幾何、解析幾何和向量等多個領域的知識與方法，靈活性較強．在引導學生梳理距離概念知識體系的過程中，幫助學生逐步建立數學的整體觀和系統觀，掌握數學基本概念體系的建構過程、本質特征和應用價值，實現對概念的深刻理解、融會貫通和靈活運用，提升學生運用概念解決問題的能力，提高核心概念的復習效率，升華思想方法，發展學生的數學核心素養，強化學生用幾何眼光觀察定性、用代數方式定量解決實際距離問題的能力．讓學生感悟數學與現實之間的關聯，認識距離在科學、社會、工程技術等諸多領域中的作用，感悟解決距離相關問題的實際價值.

二、教學目標設置

1.單元教學目標

（1）能夠選擇合適的研究工具，靈活應用幾何、代數和坐標等形式表達要解決的距離問題；理解各種距離概念的內涵和外延，能夠運用數學語言表述并解決距離問題.

（2）通過本單元的復習，鞏固各種表示距離的方法等必備知識，進一步培養學生運用數學知識解決實際問題的關鍵能力，發展學生的數學核心素養.

2.課時教學目標

（1）通過對高考試卷中體現距離概念內涵的試題進行梳理，了解高考對距離的考查方式和考查方向，體會高考以試題為載體對核心素養的考查方法與形式.

（2）經歷對兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離等各種“距離”的梳理過程，形成距離的概念體系，建立它們之間的內在聯系，能夠用綜合幾何、解析幾何和向量三種不同的研究工具表達距離，能夠利用距離之間的關系靈活轉化，實現對距離概念的深刻理解、融會貫通和靈活運用.

（3）經歷教材主干知識再現、教材問題變式、高考試題改編和高考試題再現的過程，積累解決距離問題的經驗，進而挖掘解決距離問題的思想方法和解題策略，深化“利用幾何圖形建立直觀，利用代數運算刻畫規律”的一般觀念，強化“知識的聯系性，產生解法的多樣性；分析具體問題，選擇合適解法”的問題解決策略，發展學生的數學核心素養.

三、學情分析與教學難點

量的投影及對距離之間關聯的理解和應用存在一定的障礙．教學中，教師需要給學生留出思考的時間和空間，通過生生交流和恰當的問題，引導學生思考，深化“利用幾何圖形建立直觀，利用代數運算刻畫規律”的一般觀念，強化“知識的聯系性，產生解法的多樣性；分析具體問題，選擇合適解法”的問題解決策略．

2.教學難點

對已知條件的挖掘、轉化，以及對綜合幾何、解析幾何和向量方法的靈活運用.

四、教學策略分析

學生已經借助不同的研究工具陸續學習了多種距離的概念及其表達方式，具備小組合作梳理距離概念知識體系和自己動手整理的能力．為了讓學生深刻理解距離知識的發生發展過程，了解高考對距離問題考查的核心內容及考查方式，教師布置了以下兩項課前作業： ① 搜集有關距離的高考試題； ② 小組合作梳理并繪制距離概念知識體系圖.

本節課是距離問題單元復習的起始課，主要任務是：結合高考，回歸教材，夯實“四基”授課班級學生具備自主探究、展示講解的能力．因此，課堂上注重啟發式、互動式、探究式教學，引導學生主動思考、積極提問、自主探究.

從思考高考如何考查距離問題出發，引起學生的高度關注，回歸教材，自主尋找距離知識的發生發展過程，交流思考，重建知識體系．從深挖教材的核心內容和基本方法逐步變式到高考試題，遞進式問題的設計既符合學生的思維發展規律，又使學生深刻體會了教考銜接和核心概念的重要作用.

1．學情分析

學生已經學完了高中數學課程中的所有知識，積累了各類距離和與距離相關的數學知識；已經多次完成了距離的求解活動，掌握了距離求解的基本過程與研究方法，積累了活動經驗．因此，能夠較高效地完成本節課的學習內容.

但是運用整體觀找到各種距離之間的內在聯系，挖掘距離的本質和內涵對學生的理性思維要求較高，需要教師進行適當引導和補充；學生對距離問題缺乏系統的認識，對距離問題的解題策略還不熟練，對向

課前小組合作梳理距離概念知識體系是一個很好的互相學習、互相幫助的機會．課堂上，學生互相補充、展示講解的互動式教學，為不同認知基礎的學生提供了學習機會.

利用多媒體展示學生的活動成果，鼓勵學生大膽嘗試．對于具體問題，用投影展示、交流講解等方式及時抓住課堂生成，促進生生交流和師生交流．借助信息技術軟件直觀演示，引導學生體會向量的內涵，幫助學生認識投影向量在解決距離問題時的“威力”最后，用多媒體展示距離空間的知識體系，拓寬學生的視野.

五、教學過程設計

導語：距離是幾何學的基本概念之一，是解決度 理并繪制成表1.

量問題的重要工具，也是近幾年高考的主要考查內容.

環節1：搜集試題明方向.

教師展示學生搜集的與距離相關的高考試題，整通過表1，學生可以歸納出兩點感想：

（1）距離是高考常見考點.

（2）高考主要以解析幾何和立體幾何為載體考查距離問題.

【設計意圖】聚焦高考復習，學生自主梳理與距離相關的高考試題，分類研究高考試題中距離問題的考查內容與考查方式，為學生進一步復習距離相關知識提供了方向和動力.

環節2：梳理概念顯體系.

師生活動：教師展示課前給學生布置的第二個任務的成果．預設距離知識體系，如表2所示.

【設計意圖】在高三復習中，夯實“四基”是復習的重點，教師把梳理過程交給學生，讓學生經歷知識的發生發展過程，在梳理兩點間的距離、點到直線的距離和點到平面的距離等各種“距離”概念的基礎上，初步形成距離的概念體系，建立它們之間的內在聯系，會用不同的研究工具表達距離，從而實現對距離概念的深刻理解.

環節3：分享交流見真知.

師生活動：小組代表分享所在小組的梳理過程，著重梳理兩點間的距離、點到直線的距離和點到平面的距離的定義．分別借助綜合幾何中的勾股定理和解三角形、解析幾何中的坐標公式，以及向量中的投影向量三種研究工具表達距離，且其他距離都可以轉化為以上三種距離．給出這些距離在數學中的應用，其他小組補充完善，交流解惑后教師呈現更簡潔、清晰的知識結構圖，如圖1所示.

【設計意圖】學生展示交流，再現知識的發生發展過程，通過教師的引導進一步厘清距離概念的本質，以及它們之間的內在聯系.

環節4：回歸教材尋源頭.

基于學生的討論，明確兩點間的距離是基礎，點到直線的距離是核心．聚焦核心內容，教師出示如下問題.

問題1：通過回顧，能否給出平面中點 到直線l： A x+B y+C=0 的距離公式

的推導思路（多種方法）？

師生活動：學生思考交流并相互補充，主要有以下六種思路.

思路1：如圖2，過點 P 分別作 x 軸、 y 軸的垂線， 用等面積法求高.

思路2：如圖3，過點 P 作 x 軸的垂線，過點 P 作P Q⊥ l ，解直角三角形.

思路3：利用垂直求出直線 P Q 的方程，聯立直線 P Q 和直線 l 的方程，求出點 Q 的坐標，將 P ， Q 兩點的坐標代入兩點間距離公式 （圖4）.

思路4：同思路3，只求點 Q 的橫坐標，將其代人兩點間距離公式 （圖4）.

思路5：在直線l上任取一點A，求向量 在直線 l 上的投影向量的模，再利用勾股定理進行求解（圖5）.

思路6：求向量 在直線 l 法向量上的投影向量的模（圖5）.

教師總結：以上六種思路歸納起來是從綜合幾何、解析幾何和向量三個視角考慮的，

【設計意圖】深入挖掘核心公式的推導方法有助于培養學生多角度分析問題和解決問題的能力，是對學生將來解決距離問題的一種有價值的“投資”未來有很多“題在書外，根在書內”的情況，我們要不忘初心，尋求解決問題的基本思想和基本方法.

環節5：變式教學培思維.

追問：以上是求點 P 到直線 l 的垂線段 P Q 長度的方法，如果對問題1進行改編，變為已知直線 l 與 x 軸交于點A，如何求AQ的長？

教師出示變式題，繼續以教材中點到直線的距離公式的推導思路為抓手，讓學生進一步體會距離問題的解決策略，強化“知識的聯系性，產生解法的多樣性；分析具體條件，選擇合適解法”的問題解決策略.

變式：如圖6，在平面直角坐標系中，直線 l . y= k x+b 交 x 軸于點 A ，過點 作 P Q⊥ l 于點 Q 求點 A 到點 Q 的距離（多種方法）.

師生活動：學生思考，解答并展示講解．預設解法如下.

解法1：（綜合幾何角度）由勾股定理，知 ，用點到直線距離公式求得 用兩點間距離公式求出

解法2：（解析角度）利用垂直求出直線 的方程，兩條直線的方程聯立，求出點 Q 的坐標 代人兩點間距離公式，得

解法3：簡化解法2，利用垂直求出直線 的方程，聯立兩條直線的方程，求出點 Q 的橫坐標，代人兩點間距離公式，得

解法4：（解析幾何角度）將兩點間距離看作點 A 到直線 的距離，得 ·

解法5：（向量角度）把 看作向量 在直線 l 上的投影向量的模，用向量的投影公式求解.

教師總結，引導學生發現解法的來源，并指出由于幾何、向量和坐標這些知識之間是相互聯系的，所以會產生多種解法，各解法對應圖形如圖7所示．但是在面對具體問題的條件時，一定要通過分析圖形結構，選擇合適的方法.

【設計意圖】在回歸教材的基礎上，理解教材，應用教材上的基本方法和策略解決變式問題，在此過程中，學生再次體會了方法和策略，深化了對距離概念的理解，學生思維得到了進一步發生和發展，學生再次體會到了向量投影在解決垂直距離問題時的“威力”

環節6：走向高考探本源.

教師出示如下例題.

例已知點 Q 為直線 l . x+2y+1=0 上的動點，點 P 滿足 ，求點 P 到直線 l 的距離.

師生活動：教師引導學生挖掘題目條件的內涵，幫助學生體會核心概念的應用．學生獨立解答并展示講解.

學生分析題中的主要條件并進行理解．預設解題思路如下.

思路1：（從代數角度）用坐標的方法表示向量，由點 P 滿足 ，可以設點 P 和點 Q 的坐標，得到它們的坐標關系，進而得到點 P 的軌跡方程，從而得到點 P 到直線1的距離.

思路2：（從幾何角度）如圖8，向量 確定，它的方向和大小就確定，它和直線 l 的夾角也就確定．當點 Q 在直線 l 上運動時，可以看出點 P 的軌跡是一條與直線 l 平行的直線，從而得到點 P 到直線 l 的距離.

師生活動：總結向量的內涵．向量確定即它的方向和大小都確定，還可以自由平移，當起點運動時，終點也隨之運動，形成與已知直線平行的直線（動態演示），下面，讓學生用盡可能多的方法繼續求解該

問題.

解法1：（代數角度）設點 Q 的坐標，利用 （1，-3）得到點 P 的坐標，代入點到直線的距離公式，得到點 P 到直線 l 的距離為 三

解法2：（代數角度）設點 P 的坐標，利用 （1，-3）表示點 Q 的坐標，代入直線方程得到點 P 的軌跡方程，用平行線間距離公式，得到點 P 到直線 l 的距離為 ：

解法3：（特殊值法）“看”出點 P 的軌跡后，取一個特殊點 ，得到對應的點 P（0，δ-3） ，代入點到直線的距離公式，得到點 P 到直線 l 的距離為 ·

解法4：（向量投影）先求出直線 l 的方向向量，再求出直線 l 的法向量．要求點 P 到直線 l 的距離，可以把點 P 到直線 l 的距離看作向量 在直線 l 的法向量上的投影向量的模.

教師總結：向量 ，則它在任意一條直線上的投影都確定，投影向量的模就是所求的距離．因此，向量投影的方法是解決這個距離問題最本源、最普適的方法．在面對具體問題時，一定要分析清楚題目條件的內涵，從而建構合適的圖形，選擇合適的解法.

【設計意圖】該題源自一道與距離有關的典型試題．將選擇題改為解答題，讓學生從知識層面分析問題，體會數學核心概念的內涵，并利用核心概念解決問題，使學生的認知水平螺旋上升，在變化的試題中找到不變的原理.

（2024年九省聯考 ？6 ）已知點 Q 為直線 l ： 2y+1=0 上的動點，點 P 滿足 ，記 P 的軌跡為 E ，則.

（A） E 是一個半徑為 的圓（B） E 是一條與l相交的直線（C） E 上的點到I的距離均為 （D） E 是兩條平行直線

問題2：面對這道題，你會怎樣做？預設解法如下.

解法1：按照例題的解法求出軌跡 E 到直線 l 的距 離是 .

解法2：由題中的條件，可以“看”出 E 是一條與直線 l 平行的直線．因此，利用排除法選擇選項選C就可以了.

教師總結：對于這道題，只要讀懂了條件中的基本概念 的含義，發揮數學想象力，“看”出點 P 的軌跡，就可以選擇選項C了．因此，要具體問題具體分析，不同情境不同分析，選擇最合適的方法解決問題.

【設計意圖】從解答題轉向選擇題，教師可以引導學生實現由“解題”到“解決問題”的轉變，讓不同學生的思維得到不同的發展，切實發揮數學的育人功能，發展學生的邏輯推理和直觀想象素養.

環節7：小結反思構空間.

如圖9，本節課對解析幾何中的距離問題進行了系統的梳理，包括知識梳理、方法梳理和方法的選擇．這些距離都屬于歐氏距離的范疇，在未來的數學學習和生活中還會遇到更多的距離．例如，立體幾何中的距離、球面距離、曼哈頓距離等，這些距離都值得我們研究.

【設計意圖】動態展示歐氏距離的發生發展過程，并將其延伸到其他距離空間中，從而拓寬學生的視野．同時，引導學生用聯系和發展的觀點看待問題.

環節8：分層作業促評價.

作業1：完成2024年新課標I卷第16題的解答（多種解法）.

作業2：用盡可能多的方法推導點到直線的距離公式.

作業3：類比距離的梳理方法，對與角有關的高考試題進行結構化整理.

【設計意圖】鞏固這節課的成果；體現教材才是復習之本，是落實數學課程標準的載體；希望學生學會高考復習的一般套路，實踐單元整體復習，讓復習有“生長”

參考文獻：

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