幾何與代數(shù)雙向奔赴

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）03-0044-04

引用格式：．幾何與代數(shù)雙向奔赴：“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”課例點評[J]。中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（3）：44-46，55.

解析幾何的核心內(nèi)容之一就是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，該部分是對之前學(xué)習(xí)內(nèi)容的深人拓展．學(xué)生在高二學(xué)習(xí)圓錐曲線部分，復(fù)習(xí)直線的方程、圓的方程和圓錐曲線的方程的過程中，已經(jīng)具備了使用方程表達(dá)圖形的能力，并通過實踐體會了圖形與代數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換．尤其是在探究直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系時，學(xué)生逐步積累了利用幾何圖形特性解決問題的經(jīng)驗，進(jìn)一步加深了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解.

“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”是第十二屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動的指定課題之一，內(nèi)容要求為：運用代數(shù)方法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，運用解析幾何思想解決與直線、圓錐曲線位置關(guān)系相關(guān)的數(shù)學(xué)問題．教學(xué)提示為：通過梳理近幾年高考試卷中的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解用代數(shù)方法研究圖形位置關(guān)系的數(shù)學(xué)思想，深刻理解數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法的本質(zhì)，強(qiáng)化“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的學(xué)科特征，強(qiáng)調(diào)利用幾何圖形的基本性質(zhì)簡化代數(shù)運算的重要意義，幫助學(xué)生學(xué)會充分利用直線、三角形（特別是特殊三角形）、平行四邊形等基本平面圖形的性質(zhì)解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

在本節(jié)課中，執(zhí)教教師從宏觀的角度出發(fā)，以單元整體設(shè)計為框架安排復(fù)習(xí)內(nèi)容．通過巧妙設(shè)計一系列問題和構(gòu)建具體情境，引領(lǐng)學(xué)生回顧解析幾何的學(xué)習(xí)路徑和方法，從“數(shù)”與“形”兩個維度深人分析，幫助學(xué)生構(gòu)建全面的知識體系．執(zhí)教教師考慮學(xué)生的實際學(xué)習(xí)水平、思維特性和認(rèn)知背景，采取引導(dǎo)探索與講解練習(xí)相結(jié)合的方式提出問題，激勵學(xué)生深入分析、思考和互動交流，在加強(qiáng)知識鞏固的同時，培養(yǎng)了學(xué)生自主構(gòu)建新知識的能力.

一、單元整體教學(xué)理念先行

本課例嚴(yán)格遵循指定課題的設(shè)計要求，以單元整體教學(xué)理念為基礎(chǔ)，聚焦知識結(jié)構(gòu)的生成、思想方法的滲透、問題解決能力的培養(yǎng)，以及思維品質(zhì)的提升，強(qiáng)化“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”這一學(xué)科特征，凸顯利用幾何圖形的基本性質(zhì)簡化代數(shù)運算的重要意義，倡導(dǎo)多思少算，充分運用直線、三角形、平行四邊形等基本平面圖形的性質(zhì)解決與圓錐曲線位置相關(guān)的問題，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

如圖1，本節(jié)課的教學(xué)以“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”為研究載體，借助2024年高考試題，幫助學(xué)生系統(tǒng)研究解析幾何的思維過程，深化學(xué)生對用坐標(biāo)法解決幾何問題基本方法的認(rèn)識，增強(qiáng)學(xué)生運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力，在單元整體教學(xué)“高觀點引領(lǐng)、思想性駕馭、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)”的基本要求指引下，通過理性思維和實踐應(yīng)用進(jìn)行育人，竭力實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.

二、落實學(xué)生主體、教師主導(dǎo)地位

執(zhí)教教師圍繞知識結(jié)構(gòu)的生成，拋出“能說說對“解析幾何”的認(rèn)識嗎？”這一問題，引領(lǐng)學(xué)生回顧之前的學(xué)習(xí)歷程．隨后，執(zhí)教教師進(jìn)行總結(jié)，從宏觀層面上回溯解析幾何的基本思想，體悟代數(shù)與幾何的相互交融（如圖2），在實現(xiàn)知識體系化、結(jié)構(gòu)化的同時，引出課題，讓學(xué)生深入領(lǐng)會解析幾何的基本思想.

縱覽整個教學(xué)過程，執(zhí)教教師采用問題探究式教學(xué)模式，精心設(shè)計問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地探究，自主構(gòu)建知識體系，激勵學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)，分享思路，共同解決問題．學(xué)生踴躍參與課堂，充分展現(xiàn)思維過程，在交流互動中對不同解法進(jìn)行評價和比較，逐步深化對“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”這一方法的認(rèn)識.

教學(xué)中，執(zhí)教教師通過提出“直線與圓錐曲線有哪幾種位置關(guān)系？”“如何判斷？以橢圓為例進(jìn)行說明”“關(guān)于直線與橢圓相交，你有哪些研究經(jīng)歷？”等問題引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，并給予必要的指導(dǎo)與幫助，促使學(xué)生深入思考在用方程研究幾何性質(zhì)的同時，幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)也能為求解曲線或直線的方程帶來便利，進(jìn)而幫助學(xué)生深化對方法與思想內(nèi)涵的認(rèn)識.

三、關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)

橢圓是圓錐曲線中最具代表性的圖形，且相交是最為普遍的位置關(guān)系．在此基礎(chǔ)上，立足“直線與橢圓相交”這一情況，執(zhí)教教師引出了課前已讓學(xué)生自主解決的2024年新課標(biāo)I卷第16題.

1.從學(xué)生的視角分析問題

關(guān)注點聚焦于該題的第（2）小題．在簡單瀏覽題設(shè)條件并適當(dāng)分析后，執(zhí)教教師提出問題：如何探索直線 l 的方程？需要哪些幾何要素？引出學(xué)生的五種解法：解法1為“以 B P 為底建立直線方程”；解法2為“以 A D 為底建立直線方程”；解法3為“以 A P 為底建立直線方程”；解法4為“作與 A P 平行的直線”；解法5為“觀察點 A 和點 P 的坐標(biāo)，先猜想再加以證明”

執(zhí)教教師緊密圍繞問題的解決，讓學(xué)生具體闡述思路和解題過程，充分展示不同方法的思維歷程．以如何確定直線的幾何要素為出發(fā)點展開進(jìn)一步的研究，鼓勵學(xué)生利用幾何圖形的性質(zhì)簡化代數(shù)運算，提高學(xué)生的思維水平．在學(xué)生展示交流的過程中，執(zhí)教教師對不同解法進(jìn)行評價與比較，逐漸深化學(xué)生對“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的認(rèn)識

2.以學(xué)生的視角總結(jié)歸納

在展示問題的各種解法后，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生回顧問題解決的過程，總結(jié)活動經(jīng)驗，進(jìn)而形成一般觀念，設(shè)置了問題：回顧研究過程，比較主要解法，得到如圖3所示的圖形，你有什么體會？促使學(xué)生從不同視角、不同工具、不同設(shè)法和多思少算等角度對前面的解法進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)不同思考方向在運算上難度不同，不同解法對應(yīng)的思維起點的差異，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)先進(jìn)行幾何性質(zhì)的分析有助于后續(xù)運算難度的調(diào)控，使他們切身感悟“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”過程中，只有“多思”才能“少算”

3.從學(xué)生的視角提出問題

在完成問題解決和方法總結(jié)之后，執(zhí)教教師設(shè)置了一個開放性問題：你還能提出哪些新的問題？鼓勵學(xué)生提出新問題，并展開自主探究.

有的學(xué)生提到，在該題中點 P 的坐標(biāo)比較特殊，可以改變點 P 的坐標(biāo)，從特殊到一般探究點 B 的位置；有的學(xué)生提到，可以刪除“三角形的面積是9”這個條件，然后將其轉(zhuǎn)化為“這個三角形是直角三角形或者等腰三角形等特殊三角形”，再去求解點 B 的坐標(biāo)；還有的學(xué)生提到，可以將面積的條件刪除，讓點 B 在曲線上運動，求 Δ A B P 面積的范圍或者最值等.

學(xué)生基于自身的解題經(jīng)驗，提出了幾種改編試題的方向．在試題改編的過程中，需要學(xué)生綜合運用所學(xué)知識．這能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有助于加深學(xué)生對知識的理解和方法的應(yīng)用.

學(xué)生提出的設(shè)問方式與高考試題的設(shè)問結(jié)構(gòu)一致．執(zhí)教教師根據(jù)學(xué)生提出的求三角形面積最大值問題，給出了2020年新高考Ⅱ卷第21題作為變式訓(xùn)練，通過高考試題，學(xué)生能夠進(jìn)一步鞏固本節(jié)課復(fù)習(xí)的方法，使解決直線與橢圓位置關(guān)系問題的相關(guān)方法更加結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.

四、教學(xué)評一體化全面實施

在探討教學(xué)評價時，執(zhí)教教師不僅著眼于學(xué)生的學(xué)業(yè)成績，更重視他們的情感狀態(tài)和內(nèi)在動機(jī)；不僅看重學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，更看重學(xué)生學(xué)習(xí)過程的體驗；不僅強(qiáng)調(diào)學(xué)生“掌握知識”，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”．在教學(xué)活動中，學(xué)生積極參與，勇于分享個人感悟和體驗，詳細(xì)敘述探究過程，交流遇到的難題，并通過獨立思考、教師指導(dǎo)和生生互助等方式解決問題，以此積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

面對需要深入思考的任務(wù)，如從數(shù)到形的聯(lián)想、直覺猜想等，學(xué)生通過繪圖實驗、猜想驗證和邏輯推理等方法進(jìn)行探索，展示并修正自己的想法，以此培養(yǎng)優(yōu)秀的思維品質(zhì)和科學(xué)精神．在分析與對比過程中中，學(xué)生回顧探究過程，提煉方法要義，挖掘本質(zhì)，思辨屬性，歸納特點，形成一般觀念，為新問題的解決打下了堅實的認(rèn)知基礎(chǔ).

面對新情境，學(xué)生運用理性思維，深思熟慮，規(guī)劃并實踐，迅速解決問題，發(fā)展了直觀想象和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).在課堂總結(jié)時，師生結(jié)合板書回顧學(xué)習(xí)歷程，提煉升華，主動倡導(dǎo)“多思考少計算”的問題解決理念，為應(yīng)對新情境和培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣與方法打下了堅實的基礎(chǔ)，

在本節(jié)課的教學(xué)中，執(zhí)教教師緊貼課程主題，清晰界定了學(xué)習(xí)目標(biāo)。從激活學(xué)生現(xiàn)有的知識庫出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新知識的學(xué)習(xí)與實踐，確保教學(xué)環(huán)節(jié)的連貫性和邏輯性.在課堂上，學(xué)生展現(xiàn)了極高的參與熱情，通過展示個人解法和歸納總結(jié)，顯著加深了對“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的理解，執(zhí)教教師能夠及時為學(xué)生提供反饋，提高了課堂教學(xué)效率。此外，執(zhí)教教師深人剖析了直線與橢圓位置關(guān)系的幾何屬性，并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生對幾何與代數(shù)密切聯(lián)系的認(rèn)識和理解.

教之道在于度，學(xué)之道在于悟，執(zhí)教教師在幾何與代數(shù)“雙向奔赴”的思維歷程中，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，讓學(xué)生感悟了幾何性質(zhì)的分析是簡化代數(shù)運算的重要條件之一，總體而言，這是一節(jié)精彩的思維引領(lǐng)課例.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3]章建躍.高考復(fù)習(xí)如何回歸教材（之二）：從2024年高考綜合改革適應(yīng)性測試卷得到的啟示[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2024（1/2）：封三，128.