建構(gòu)模型意識 聚焦思維教學(xué)

關(guān)鍵詞：鱉模型；直觀想象；邏輯推理；核心素養(yǎng)中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）03-0035-04

引用格式：．建構(gòu)模型意識聚焦思維教學(xué)：“以鱉模型為載體的立體幾何復(fù)習(xí)課”課例點評[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（3）：35-37，43.

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺的經(jīng)典課型．一節(jié)好的復(fù)習(xí)課能夠助力學(xué)生鞏固、總結(jié)、梳理已學(xué)知識點，達(dá)到深化學(xué)生對知識的認(rèn)知、促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)和綜合能力發(fā)展的目的．在以往數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中，教師習(xí)慣帶領(lǐng)學(xué)生回顧知識點，并設(shè)計相應(yīng)的練習(xí)題，效果難免不盡如人意．這節(jié)立體幾何復(fù)習(xí)課，執(zhí)教教師以經(jīng)典的鱉模型貫穿始終，將立體幾何中零散的知識穿珠成串，建立了知識結(jié)構(gòu)，復(fù)習(xí)了重要的解題方法，深化了模型思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，是一節(jié)具有示范與引領(lǐng)作用的復(fù)習(xí)課.

一、深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)，確定核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，幫助學(xué)生以長方體為載體，認(rèn)識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證；數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動.將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實效性；提供豐富的實物模型或利用計算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體.

執(zhí)教教師深入研究《標(biāo)準(zhǔn)》，分析高考試題的考查目標(biāo)和命題特點，結(jié)合學(xué)情，確立了這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)．不僅關(guān)注知識技能的落實，更重視其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)自標(biāo)體現(xiàn)了“知識為基、素養(yǎng)導(dǎo)向”的立意．例如，教學(xué)目標(biāo)的第一條是“通過拆解塹堵教具、拼接鱉模型等數(shù)學(xué)實驗，了解鱉與其他幾何體的關(guān)系及其結(jié)構(gòu)特征，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)與合作探究能力”.既關(guān)注了學(xué)生活動的過程與方法，也明晰了在這個環(huán)節(jié)中重點發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

本節(jié)課的課前活動展示了滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“滬教版教材”）必修第三冊第81頁練習(xí)11.3中的題目，讓學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)文化中的鱉的定義，以小組合作的方式實現(xiàn)對鱉存在性的探究．通過拆解塹堵教具的活動，學(xué)生能夠更直觀地感受三種特殊的幾何體（塹堵、陽馬、鱉），在操作中形成直觀感知，并發(fā)現(xiàn)陽馬與鱉的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．在此過程中，學(xué)生能夠感悟數(shù)學(xué)的價值，提升應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)文化的浸潤下，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

二、挖掘教材資源，注重知識回溯

教材既是落實數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，也是歷年高考命題的重要素材．因此，教材是高考復(fù)習(xí)的重要依據(jù)．要重視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材中的例題和習(xí)題，甚至一些閱讀、探究和自學(xué)部分，挖掘其中蘊含的思想，提煉通性、通法，從而準(zhǔn)確把握知識的本質(zhì).

鱉模型是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的基本幾何體，蘊含了立體幾何中點、直線、平面的各種位置關(guān)系.在立體幾何教學(xué)中滲透基本模型的文化背景，開發(fā)其教學(xué)價值，是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的有效途徑．鱉模型的特殊構(gòu)造使得它的頂點、棱和面都具有豐富的位置關(guān)系，進(jìn)而成為發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的“腳手架”.鱉孺模型是學(xué)生學(xué)習(xí)和研究空間中垂直關(guān)系的重要載體．學(xué)生可以在鱉模型中討論線線垂直、線面垂直和面面垂直，以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化，加深對這三類垂直關(guān)系的理解．同時，鱉孺模型也是掌握分割、補(bǔ)形技巧的典例，因為它是切割長方體后形成的幾何體，這意味著可以將它補(bǔ)形為一個長方體，然后回歸長方體模型來解決相關(guān)立體幾何問題．此外，它還是溝通三類空間角的橋梁，是利用幾何法求解空間角與距離的重要載體．值得一提的是，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊的例題、習(xí)題中也有豐富的鱉模型的案例，如第158頁的例8、練習(xí)的第3題，第160頁的例10，第163頁習(xí)題8.6的第7題，第170頁復(fù)習(xí)參考題8的第9題，第171頁復(fù)習(xí)參考題8的第13題，等等．這也充分說明了鱉模型的基礎(chǔ)性和重要性.

本節(jié)課挖掘教材資源，安排各小組分別在滬教版教材必修第三冊第10章、第11章和選擇性必修第一冊第3章中尋找例題和習(xí)題中蘊含的鱉模型，引導(dǎo)學(xué)生討論探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，深化對鱉模型的認(rèn)識，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用性．本節(jié)課回歸教材、深耕教材，充分發(fā)揮了教材例題和習(xí)題的教育功能和育人價值.

三、鱉模型貫穿始終，課堂設(shè)計螺旋上升

執(zhí)教教師從滬教版教材必修第三冊練習(xí)11.3中的一道題目出發(fā)，引出鱉模型．在課前活動的設(shè)計中，讓學(xué)生基于熟悉的長方體證明鱉模型的存在性，初步掌握鱉模型的結(jié)構(gòu)特征，為本節(jié)課的順利開展打下基礎(chǔ)，然后整堂課圍繞這個模型開展探究活動.

在環(huán)節(jié)1中，執(zhí)教教師提前準(zhǔn)備了塹堵的幾何實物模型，讓學(xué)生通過拆解塹堵，直觀感知陽馬和鱉的由來，并對《九章算術(shù)》中的相關(guān)內(nèi)容有深刻體會；在環(huán)節(jié)2中，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生利用手中的三角板拼接成鱉的兩個面，觀察鱉模型是否可以看作長方體的一部分；在環(huán)節(jié)3中，執(zhí)教教師讓學(xué)生在滬教版教材中仔細(xì)尋找，發(fā)現(xiàn)鱉模型，并在班級中進(jìn)行展示；在環(huán)節(jié)4中，執(zhí)教教師通過2023年北京卷中的一道高考試題，引出了這節(jié)課探究的重點——立體幾何中點、直線、平面的位置關(guān)系和度量計算問題，并借助鱉模型引導(dǎo)學(xué)生通過探究活動復(fù)習(xí)直線與直線、直線與平面、平面與平面這三類重要的垂直關(guān)系；在環(huán)節(jié)5中，執(zhí)教教師先讓學(xué)生自主提出角度度量問題，再讓學(xué)生互相解答，進(jìn)而幫助學(xué)生復(fù)習(xí)空間中重要的三種角的定義和相關(guān)的求解方法．在此過程中，通過讓學(xué)生思考鱉孺外接球的問題，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了向量方法；在環(huán)節(jié)6中，執(zhí)教教師選擇了2024年新課標(biāo)I卷第17題的第（2）小題讓學(xué)生進(jìn)行解答．這道題中的模型為鱉模型．學(xué)生在解答過程中加深了對本節(jié)課的知識和方法的理解．整節(jié)課的主線十分明確，以一個模型貫穿始終，讓學(xué)生從不同角度認(rèn)識并理解了鱉模型，既對立體幾何中的兩大模塊知識一—位置關(guān)系和度量計算進(jìn)行了建構(gòu)和復(fù)習(xí)，也掌握了解決立體幾何問題的兩種重要方法——綜合幾何法與向量方法.

對于這節(jié)課的設(shè)計，執(zhí)教教師通過以上幾個螺旋探究活動，大膽放手，讓學(xué)生獨立自主探索．學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、合作交流、度量計算、總結(jié)反思等思維過程．執(zhí)教教師完全相信學(xué)生、放心學(xué)生，不輕易代替學(xué)生，多名學(xué)生多次獨立發(fā)現(xiàn)多個方法與結(jié)果．這樣的研究過程既符合《標(biāo)準(zhǔn)》中所提供的學(xué)習(xí)立體幾何的常用研究思路，也符合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點和認(rèn)知規(guī)律——從具體的形象思維過渡到理性的抽象思維.

四、重視“四基”“四能”，思想方法滲透其中

《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基\"）；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）．“四基”“四能”是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須經(jīng)歷的兩個階段．評價一節(jié)課是否是一節(jié)“好課”，就要從“四基”“四能”的生成角度來評判.

本節(jié)課在“四基”方面的表現(xiàn)如下．在基礎(chǔ)知識方面，執(zhí)教教師采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系，以及相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理；復(fù)習(xí)了空間角的求法．在基本技能方面，執(zhí)教教師借助鱉模型，引導(dǎo)學(xué)生利用綜合幾何法進(jìn)行了位置關(guān)系的推理論證，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)了用綜合幾何法和向量方法解決空間中的度量問題的知識．在基本思想方面，將模型思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想融入整個教學(xué)環(huán)節(jié)．在基本活動經(jīng)驗方面，學(xué)生通過幾何模型拆解、三角板的拼擺等實物操作，形成對模型結(jié)構(gòu)的直觀感知.

本節(jié)課在“四能”方面的表現(xiàn)為執(zhí)教教師經(jīng)常采用啟發(fā)性提問引導(dǎo)學(xué)生提出問題，用反思性提問要求學(xué)生反思問題．在教學(xué)過程中，問題的解決基本上是由學(xué)生獨立完成或者由小組合作完成的，而且采用了拍照投影、學(xué)生口述、教師板書的形式，利用聽覺和視覺兩種方式給學(xué)生傳遞信息，加深了學(xué)生對知識的理解.

五、學(xué)生活動豐富多樣，問題開放啟迪思維

本節(jié)課充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，執(zhí)教教師設(shè)計的學(xué)生活動豐富多彩、形式多樣．有動手操作的三角板拼擺活動，有團(tuán)隊合作在教材中尋找鱉孺模型的活動，有自主提出問題、解決問題的思維活動，以及應(yīng)用所學(xué)知識的解題活動等．這些活動充分體現(xiàn)了給學(xué)生內(nèi)容、給學(xué)生時間、給學(xué)生展示機(jī)會的教學(xué)理念.在確保完成本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的情況下，展示了更多學(xué)生的真實想法，課堂上學(xué)生之間的思維碰撞、學(xué)生的精彩發(fā)言展露無遺．同時，本節(jié)課獨具匠心的一個環(huán)節(jié)就是在度量計算、解構(gòu)鱉的過程中，執(zhí)教教師設(shè)計了一個開放性問題：在鱉模型中，你能提出哪些有挑戰(zhàn)性的大小度量問題？啟迪了學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察鱉模型的結(jié)構(gòu)，繼續(xù)發(fā)現(xiàn)其中蘊含的空間“角”問題．學(xué)生提出的三個空間“角”問題非常精彩，具有一定的探究價值，且這三個問題的求解過程提升了學(xué)生的問題解決能力，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維，讓他們從不同角度思考問題，有利于學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

六、兩點思考

1.如何進(jìn)一步挖掘模型的價值

本節(jié)課的設(shè)計更多體現(xiàn)了模型對于解題的幫助，即利用模型快速發(fā)現(xiàn)空間幾何體中的位置關(guān)系，為后續(xù)解題提供思維平臺，可以視為一種技巧或策略．這對于提升學(xué)生的解題能力確有好處．但是，是否會削弱模型的作用，使解題過程變得僵化、古板？建議執(zhí)教教師對模型進(jìn)一步深入挖掘，如鱉與長方體的密切聯(lián)系、在空間幾何體中的獨特性，以及該模型研究位置關(guān)系的自然性和必要性（類比平面幾何中的特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形）等，拓寬學(xué)生視野，使學(xué)生的思維更加流暢自然，而非單純的以它為跳板進(jìn)行解題，同時，在高考試題的講解中，既能從復(fù)雜模型中分割出特殊模型開啟研究，又能從特殊模型擴(kuò)展出來，深人研究復(fù)雜模型，有收有放，讓思維充分展開.

2.如何提高分組合作探究的質(zhì)量

在本節(jié)課教學(xué)活動的設(shè)計中，大多數(shù)以小組交流的形式呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)是思維的體操，大多數(shù)思維活動需要獨立進(jìn)行.我們不妨給學(xué)生更多的自主探究時間，讓學(xué)生先自主思考，遇到疑難問題時再小組討論，最后上臺展示，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造力和想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.在高考試題的探究過程中，可以先讓學(xué)生自主分析題設(shè)條件，在確定了多種建立直角坐標(biāo)系的方式后，教師不妨在肯定學(xué)生建系方式的同時，多引導(dǎo)學(xué)生分析和比較，對后續(xù)的運算量進(jìn)行預(yù)判，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，體現(xiàn)“多思少算”的解題策略.

參考文獻(xiàn)：

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[2]史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.