思維在探究中發展 素養在活動中提升

關鍵詞：解析幾何；復習備考；思維發展；素養提升中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1673-8284（2025）03-0038-06

引用格式：．思維在探究中發展素養在活動中提升：“直線與圓錐曲線的位置關系”教學設計[J]．中國數學教育（高中版），2025（3）：38-43.

一、教學內容解析

高中數學承載著落實立德樹人根本任務的教育功能，以培育和發展學生的數學核心素養為基本任務，是發展學生理性思維的重要載體．如何承接高一、高二以新授課為主的教學，直面高考評價，實現教考有效銜接，幫助學生凝練核心素養，強化關鍵能力，建構學科體系，深化一般觀念，促進思維提升，契合高校選拔人才的基本要求，是高三復習備考的核心問題.

解析幾何是數形結合的典范，直線與圓錐曲線的位置關系是解析幾何主干內容的升華．基于直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程，用方程表示圖形，由形到數再由數解形，特別是直線與直線的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系，形成問題的解決路徑，通過直觀想象和代數運算實現代數與幾何的雙向奔赴，進一步深化學生對數形結合思想的認識.

本節課的教學內容基于單元整體教學理念，聚焦知識結構生成、思想方法滲透、學生問題解決能力和思維品質提升，強化“先用幾何眼光觀察，再用代數方法解決”的學科特征，強調利用幾何圖形的基本性質簡化代數運算的重要意義．幾何指揮代數，多思少算，充分利用直線、三角形、平行四邊形等基本平面圖形的性質解決與圓錐曲線位置相關的問題，培養學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模和數學抽象等素養．知識結構如圖1所示.

根據以上分析，確定本節課的教學重點為：平面解析幾何知識體系的再建構；圓錐曲線與方程知識的再運用；數形結合思想的再升華.

二、教學目標設置

本節課以“直線與圓錐曲線的位置關系”為研究載體，借助2024年高考試題，幫助學生系統了解研究解析幾何的思維過程，深化學生對用坐標法解決幾何問題的基本方法的認識，提高學生運用所學知識分析和解決問題的能力，教學自標設置如下.

（1）整合圓錐曲線與方程的知識，發現基本思想統領下知識內部的聯系，重構“四基”

（2）感悟解析幾何的基本思想，認識研究直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法和路徑，再塑“四能”

（3）經歷問題分析與解決的過程，能夠恰當轉化幾何性質與數量關系，提升思維品質，發展數學核心素養.

三、學情分析

1.學生已有的認知基礎

本節課的授課對象是高三學生，他們已經初步掌握了平面解析幾何的主干知識，能夠從代數角度研究點、直線、圓、圓錐曲線及圖形之間的關系，初步具備研究解析幾何的直接經驗，具有一定的結合圖形直觀獲得解題思路的能力，有一定的探究推理能力和邏輯思維能力.

2.達成目標所需的認知基礎

要達成本節課的目標，學生已有的知識、能力和經驗基礎不可或缺．本節課的教學需要逐級構建單元知識結構，深刻理解用代數方法研究圖形位置關系的數學思想，在深刻理解數形結合思想和坐標法本質的基礎上，能夠“先用幾何眼光觀察，再用代數方法解決”這些既是學生缺乏的，又是學生所需要的.

基于達成目標的認知困難，確定本節課的教學難點為：“數”與“形”對立與統一的再感悟；解析幾何研究的一般路徑的再探索；不同構圖方式對求解運算影響的再認識.

四、教學策略分析

（1）站在大單元的角度下組織復習內容．精心設計問題串，以問題驅動教學，通過畫圖辨圖、數形轉換、猜想驗證、聯想對比等方式不斷引發學生的認知沖突，強化目標意識.

（2）規劃探究路徑，展示思維過程：通過操作確認、思辨論證，逐步建立直線與圓錐曲線位置關系的幾何屬性與代數屬性的變化規律，并借助GeoGebra軟件動態演示.

（3）圍繞問題解決，讓學生體會數形結合的雙向轉化過程，感悟“先用幾何眼光觀察，再用代數方法解決”的學科特征，培養學生的數學思維.

五、教學過程設計

環節1：溫習回顧，自主建構.

問題1：能說說對“解析幾何”的認識嗎？

學生活動：零散的、片段化記憶.

教師總結：用代數方法研究幾何問題，幾何與代數雙向奔赴，抓住幾何圖形的特征，簡化或者優化運算，算理、算法又揭示了圖形的本質，如圖2所示.

【設計意圖】揭示解析幾何的方法論意義，引導學生追憶學習過程．教師適時總結，在宏觀上把握解析幾何的基本思想，進行可操作的指導，讓學生感悟代數與幾何的雙向奔赴，實現知識的體系化和結構化，使學生深入體會解析幾何的基本思想，進而引出課題.

環節2：主題聚焦，方法引領.問題2：直線與圓錐曲線有哪幾種位置關系？學生活動：相離、相切、相交.追問：如何判斷？以橢圓為例進行說明.學生活動：交點個數；方程組解的情況.教師總結：既有幾何視角，又有代數視角．橢圓、雙曲線、拋物線一脈相承，又各有特征，如“相切”與只有“一個公共點”“一組解”的對應關系，在雙曲線與拋物線中需要特別關注，如圖3所示.

問題3：關于直線與橢圓相交，你有哪些研究經歷？

學生活動：學生追憶研究過的直線與橢圓相交的問題.

教師總結：從研究內容來看，既有定性的判斷，又有定量的求解．從研究方法來看，基于曲線自身的幾何性質，既可以從幾何視角觀察、發現規律，又可以聯立方程，借助根與系數的關系求解；“設而不求”是研究該類問題最常見的手段，“點差法”也能獲得一些規律，如直線與中點弦的斜率關系等；多條線可以組合成三角形、四邊形等．在靜止與運動中，利用方程研究幾何性質；反之，利用幾何性質能夠求解曲線的方程.

【設計意圖】橢圓是圓錐曲線中最具代表性的圖形，相交是最普遍的位置關系．立足直線與橢圓相交，從思想和方法出發，逐漸過渡到問題的提出與解決，追憶研究經歷，從單一圖形過渡到組合圖形，從位置關系判斷過渡到定量研究，將無序的、片段化的記憶導向內容、方法和策略的有序建構，為提出例題奠定基礎.

環節3：重溫經典，策略辨析.

例 （2024年新課標I卷 ？16 ）已知 和 分別為橢圓 C （agt;bgt;0） 上兩點.

（1）求 C 的離心率；

（2）若過 P 的直線 l 交 C 于另一點 B ，且 Δ A B P 的面積為9，求 l 的方程.

問題4：如何探索直線 l 的方程？需要哪些幾何要素？

學生活動：兩點確定一條直線；已知直線上的一點和直線的斜率也可以確定一條直線，

學生在課前已經嘗試完成該題，下面投影展示學生對第（2）小題的不同解法.

解法1：（以 B P 為底）當直線 l 的斜率不存在時， 不滿足條件，故舍去.

當直線 l 的斜率存在時，設直線 l 的方程為 k（x-3） ，將其與橢圓方程聯立，消去 y ，得

設 因為點 A 到直線 P B 的距離

所以 的面積

由 ，得 解得 或

所以直線 l 的方程為 或

解法2：（以 A D 為底）利用直線 P B 的方程求得直線 l 與 y 軸的交點

因為線段

所以 Δ A B P 的面積

解得 或 所以直線 l 的方程為 x或y=

解法3：（以 A P 為底）直線 A P 的方程為 x+2y- 6=0 ·

因為 ， ，所以點 B 到直線 A P 的距離 設點 ，則

其中 ：整理得 因為 ，所以 或 所以直線 l 的方程為 或 解法4：（作平行線）因為點 B 到直線 A P 的距

離 所以點 B 位于與直線 A P 平行的直線上.設該直線方程為 x+2y+c=0 ，由平行線間的距離 ，得 c=6 或

c=-18 （舍去）.聯立 x+2y+6=0 和 解得 或 所以直線 l 的方程為 或

解法5：（找對稱點）因為 ，是 Δ A B P 面積的一半，且 與 Δ A B P 有公共底邊 A P ，所以可以倍長底邊 A O 或 P O ，也可以倍長高線，到點（0，-3）， ，則點 B 位于過該點且與直線 A P 平行的直線 x+2y+6=0 上.與 聯立，得 或 ．所以直線 l 的方程為 或 ：

師生活動：在解法5（找對稱點）的基礎上，學生當堂反饋課堂活動經驗，教師引導學生反思直線 P B 斜率不存在時的再轉化，如圖4所示.

【設計意圖】返回追蹤研究起點，直接反饋課堂活動經驗，“失敗乃成功之母”，在舍去的“斜率不存在”中尋求新的探究路徑，綜合調動關鍵能力，發展學生的批判性思維和創新性思維．

問題5：回顧研究過程，比較主要解法，得到如圖5所示的圖形，你有什么體會？

學生活動：不同視角、不同工具、不同設法、多思少算.·..

教師總結：多思少算！該題的解法是多樣的．有的學生設直線 A B 的方程，過程可以類比設直線 P B 的方程；有的學生利用了橢圓的參數方程或者結合向量知識；甚至還有學生用了仿射變換等方法.

【設計意圖】圍繞問題解決，讓學生說想法、說思路、說過程，充分展示思維過程．抓住如何確定直線的幾何要素展開研究，在交流過程中評價和比較解法的異同、優劣，逐漸深化學生對“先用幾何眼光觀察，再用代數方法解決”的認識.

環節4：提出問題，師生共研.

問題6：你還能提出哪些新的問題？

學生活動：獨立思考、合作交流.

教師總結：學生提出了很多新的問題．有的學生想探究更一般的規律；有的學生想研究更特殊的三角形；還有的學生的想法與高考命題專家不謀而合，即想探求三角形面積的最大值.

【設計意圖】經歷深刻的數學思維活動，檢驗學生能否繼續發現并提出新的問題，進而分析并解決新問題，引導學生基于已有經歷，提出新問題．學生在獨立思考的基礎上，小組交流，分享命題可能，進行匯報，教師及時點評，適時關注學生的思考結果與經典試題的相似度，學生自主完成，檢驗教學效果，發展學生的數學運算素養．

變式：（2020年新高考 I 卷 ？21 ）已知橢圓 E .+=1（agt;bgt;0），點M（2，3）在E上，A為E的左頂點，直線 A M 的斜率為

（1）求 E 的方程；

（2）設 N 為 E 上的點，求 Δ A M N 面積的最大值.

學生活動：學生獨立完成，投影展示.

【設計意圖】學生在教師的指導下主動探究，這既能檢驗也能發展學生的數學思維能力水平．高考試題的及時出場，增強了學生學好數學的信心，發展了學生的自主探究能力.

環節5：回顧小結，升華經驗

問題7：回顧本節課的知識、方法和數學思想，你有哪些收獲？

學生活動：結合板書（如圖6），從知識、方法和數學思想等方面進行總結.

教師總結：深入研究直線與圓錐曲線的位置關系，以直線與橢圓的相交為例，聚焦高考，重溫經典，用代數方法研究幾何圖形，讓學生深切感受了數形結合思想和坐標法的本質一—多思少算．為直線與雙曲線和拋物線的研究提供了方法類比和知識遷移，為解決其他新的問題奠定了基礎.

【設計意圖】從知識、方法和數學思想等多個維度進行反思提煉．既總結收獲、積累經驗，又以單元視角明晰解析幾何研究的方向，鼓勵學生自主探究，發展學生的數學核心素養，為滿足“真懂會用”的考查要求持續努力.

六、教學評價與作業設計

1.課堂教學評價

教學評價不僅關注學生的學業表現，還關注學生的情緒與動機；不僅關注收獲的結果，更關注學習的過程；不僅關注學生的“學會”，更關注學生的“會學”.在教學過程中，學生能夠積極主動參與課堂活動，大膽分享心得和體會，闡述研究過程，交流困惑，并能夠通過獨立思考、教師講解和生生交流等方式解決問題，積累學習經驗，養成良好的學習習慣.特別是在需要調動較深層次思考的活動（如由數想形、直覺猜想等）中能夠直面困難．通過畫圖嘗試、猜想驗證、邏輯推理等手段，勇于探索，大膽展示自己的想法，敢于試錯，培養學生良好的思維品質和科學精神．讓學生在辨析與比較中，盡力追憶研究過程，提取方法特征，提煉方法本質，思辨方法屬性，總結方法特性，形成一般觀念，為新問題的分析與解決奠定良好的認知基礎．面對新的問題情境，學生能夠充分思考，在規劃與實踐中，運用理性思維快速解決問題，發展了學生的直觀想象和數學運算等素養.課堂小結過程中，學生結合板書，追憶歷程，總結升華，自主提出“多思少算”的問題解決觀，為學生直面新的問題情境和養成終身學習的習慣與方法奠定了堅實的基礎.

2.作業設計

思考運用：結合今天的學習，思考并完成以下練習，已知橢圓 c . 的離心率為

，且過點A（2，1）.

（1）求 C 的方程；

（2）點 M ， N 在 C 上，且 A M⊥ A N ，AD⊥MN， D 為垂足．證明：存在定點 Q ，使得 為定值.

探究拓展：記錄今天的研究過程，寫下研究體會；對知識進行再建構，梳理直線與雙曲線、拋物線位置關系的知識框圖.

七、教學反思

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用．數學教學應該充分發揮數學學科的內在力量，讓學生能夠在廣闊的學科領域中準確理解并熟練掌握主干內容，具備應對生活實踐或學習探索問題情境的基礎知識、基本技能和基本素養，具備進人高等學校進行專業學習和終身發展所需要的必備知識、關鍵能力和學科素養，緊緊圍繞培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人這一根本任務．人才評價要求和選拔途徑發生改變，基礎教育課程理念與育人方式也隨之變革，高中數學教學迎來了新的挑戰，

基于高三復習課的特殊性，立足學生已有的學習經歷和素養水平，引導學生在復習回顧中重構“四基”，在試題重溫中再塑“四能”，深入學會有邏輯地、創造性地思考，形成數學的思維方式，發展理性思維，養成科學精神，成為善于認識問題、解決問題的人才．立足新課程、新教材、新高考，著力拔尖創新人才培養，指向學生學習能力的數學課堂，尤其是高三復習課，應該聚焦三個核心問題，即如何幫助學生主動建構知識、如何幫助學生發展理性思維、如何幫助學生提升解題能力，最終指向數學核心素養的發展，并在高考中得以體現．作為一線教師，應主動迎變，主動改變，主動求變，為培育新時代的棟梁之才做出應有的努力！

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020.

[2」教育部考試中心．中國高考評價體系[M]．北京：人民教育出版社，2019.

[3］章建躍．核心素養導向的高中數學教材變革（續1）：《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫J．中學數學教學參考（上旬），2019（7）：6-11.