重構(gòu)單元知識(shí)體系 打造高質(zhì)量復(fù)習(xí)課

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；高考復(fù)習(xí)；單元教學(xué)；距離概念中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-8284（2025）03-0023-05引用格式：．重構(gòu)單元知識(shí)體系打造高質(zhì)量復(fù)習(xí)課：“”課例點(diǎn)評(píng)[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（3）：23-27.

第十二屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)在浙江省杭州市舉行．本次活動(dòng)聚焦高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考教學(xué)，深刻領(lǐng)會(huì)高考數(shù)學(xué)內(nèi)容改革精神，轉(zhuǎn)變育人方式，把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提升課堂效果上來；教學(xué)設(shè)計(jì)要遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，依標(biāo)教學(xué)，復(fù)習(xí)備考要重視教材、夯實(shí)基礎(chǔ)；課堂教學(xué)要遵循教學(xué)規(guī)律，避免搶趕進(jìn)度、違背課程標(biāo)準(zhǔn)，要把教學(xué)重點(diǎn)放在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力上．本次會(huì)議的公開課更要以此為目標(biāo)，向全國的高中教師提出倡議，探索單元復(fù)習(xí)如何重新構(gòu)建知識(shí)體系，將課程標(biāo)準(zhǔn)中分散在必修和選擇性必修模塊中的內(nèi)容按數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行整合，從而促進(jìn)學(xué)生在深刻理解基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系的過程中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的融會(huì)貫通，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和發(fā)展．浙江省杭州市源清中學(xué)的胡書娜老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）展示了“高三單元復(fù)習(xí)—以‘距離”概念為例”的公開課，完美詮釋了大會(huì)的預(yù)設(shè)，是引領(lǐng)高質(zhì)量復(fù)習(xí)教學(xué)的樣例．筆者受大會(huì)委托，對(duì)這節(jié)公開課進(jìn)行了現(xiàn)場點(diǎn)評(píng).

一、突破現(xiàn)實(shí)瓶頸，追求理想教學(xué)

“距離”是本次活動(dòng)的指定課題之一，學(xué)術(shù)委員會(huì)并沒有指定本次公開課的具體課題．之所以選擇“距離”這個(gè)指定課題，是基于以下考慮.

（1）探索復(fù)習(xí)課的課堂教學(xué)重點(diǎn)要解決什么問題．哪些是必須要在教師的指導(dǎo)下，應(yīng)在課堂內(nèi)解決的；哪些是學(xué)生的個(gè)性需求，應(yīng)該在課后解決.

（2）探索單元復(fù)習(xí)中“梳理知識(shí)”的方法和路徑．如何圍繞核心概念梳理，形成一個(gè)內(nèi)容優(yōu)化、結(jié)構(gòu)完整、邏輯清晰的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)圖，以及誰來梳理.

（3）探索如何講好基礎(chǔ)題的內(nèi)涵，講出數(shù)學(xué)品味．顯然，復(fù)習(xí)課的教學(xué)以提升均分為主要自的．因此，復(fù)習(xí)課不以解決難題為導(dǎo)向，講好基礎(chǔ)題不僅是提升班級(jí)均分的關(guān)鍵，也是吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的核心要義，且更能體現(xiàn)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)施教，合理定位

查閱《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），明確《標(biāo)準(zhǔn)》只在“空間向量與立體幾何”及“平面解析幾何”兩個(gè)單元中提出距離的概念，并要求用向量法解決點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、兩條平行直線間的距離和兩個(gè)平行平面間的距離等空間距離；要求用解析幾何的方法解決兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離等平面距離．具體如表1所示.

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，知道學(xué)習(xí)“距離”的載體主要是幾何，需要掌握點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線線距離、線面距離和面面距離等六種距離，知道距離的不同計(jì)算方法（綜合幾何方法一—定義法；解析幾何方法—坐標(biāo)法；向量方法—投影法）；滲透“距離”的育人價(jià)值，即“距離”是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的良好載體.

基于以上分析，確定本節(jié)課的定位為：梳理與距離有關(guān)的知識(shí)體系，聚焦距離概念的發(fā)生發(fā)展邏輯，確立距離概念的出發(fā)點(diǎn)（兩點(diǎn)間的距離），打造以點(diǎn)到直線的距離為中心的各種距離“工具”.確立本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的總目標(biāo)為：回歸課標(biāo)、重視教材、夯實(shí)基礎(chǔ)、強(qiáng)化思維．這節(jié)課的重點(diǎn)錨定為：梳理知識(shí)打造“工具”；凝練“中心”熟練方法；合理運(yùn)用形成“閉環(huán)”

三、教學(xué)設(shè)計(jì)的基本框架

本教學(xué)設(shè)計(jì)分為8個(gè)環(huán)節(jié)：試題展示；梳理概念；分享交流；回歸教材；變式教學(xué)；方法遷移；小結(jié)反思；分層作業(yè).

1.動(dòng)手增加體驗(yàn)，展示產(chǎn)生共鳴

執(zhí)教教師把前面兩個(gè)環(huán)節(jié)作為課前作業(yè)，要求學(xué)生以小組為單位做到以下兩點(diǎn)： ① 整理高考試題．學(xué)生事先整理近幾年高考題中與距離有關(guān)的試題，并進(jìn)行分類匯編（如表2）； ② 重構(gòu)知識(shí)體系．學(xué)生梳理與距離有關(guān)的概念，形成“距離”的知識(shí)體系（如圖1），建立它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，會(huì)用不同工具表達(dá)距離.

執(zhí)教教師在“開場白”后展示學(xué)生的查找成果（如表1）.該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是希望通過學(xué)生親自動(dòng)手搜集整理，直觀感知“距離”在高考中的考查特色（分布廣、跨度大和內(nèi)容載體豐富等特點(diǎn)），梳理高考中距離問題的考查方式.

在平面中，以平面圖形為載體，考查平面圖形的基本要素（點(diǎn)、線）之間的各種距離，表現(xiàn)為求長度、角度和面積等.

在空間中，以立體圖形為載體，考查空間中圖形的基本要素（點(diǎn)、線、面）之間的各種距離，表現(xiàn)為求長度、角度、面積和體積等.

該環(huán)節(jié)執(zhí)教教師的追求為：讓學(xué)生親自收集素材，不是教師替代，不是簡單瀏覽；讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)感受，不是教師說教，不是走馬觀花．把學(xué)生可以完成的任務(wù)留給學(xué)生，讓學(xué)生自已完成，教師不要越姐代皰.

執(zhí)教教師繼續(xù)展示每個(gè)小組的成果：“距離知識(shí)體系”的海報(bào)．通過小組交流，教師追問、精致答案，得到板書（如圖2），明確以下問題.

（1）距離定義的方式.

① 通過“低維”定義“高維”的方式定義距離的概念．例如，通過兩點(diǎn)間的距離定義點(diǎn)與面的距離.理解“兩點(diǎn)間的距離”是距離概念體系的起點(diǎn)： ② 在最短距離處（存在性和唯一性）下定義．例如，點(diǎn)到面的距離就是點(diǎn)與面上點(diǎn)的所有距離中最短的距離.

③ 距離定義的多樣性．距離在不同知識(shí)領(lǐng)域中的表征呈現(xiàn)出多樣性的特點(diǎn)．例如，綜合幾何中表征為勾股定理、解析幾何中表征為點(diǎn)到直線的距離公式、向量中表征為投影公式.

（2）重構(gòu)距離概念的知識(shí)體系.

構(gòu)建以兩點(diǎn)間距離為起點(diǎn)，以點(diǎn)到直線的距離為中心，以解決點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離和兩個(gè)平行平面的距離為著力點(diǎn)的知識(shí)體系（如圖2）.實(shí)現(xiàn)綜合法、坐標(biāo)法和向量法的貫通（本質(zhì)都是勾股定理的代數(shù)化），明確投影公式在解決距離問題中的便捷性.

（3）用數(shù)學(xué)的方式育人，

將定性的對(duì)象（各種要素之間的距離）用定量的方法表達(dá)（各種公式），在不同的知識(shí)背景下，公式呈現(xiàn)出多樣性和一致性.

2.回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，重推公式，遷移方法（1）重推公式，遷移方法.

回顧點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程，執(zhí)教教師要求用盡可能多的方法闡述推導(dǎo)思路（不要求具體推導(dǎo)）.學(xué)生分別展示了幾何法、坐標(biāo)法和向量法等多種方法．教學(xué)實(shí)踐表明梳理知識(shí)后再回看教材內(nèi)容時(shí)，學(xué)生的眼光已經(jīng)發(fā)生變化.

（2）通過變式，獲得聯(lián)系.

執(zhí)教教師在回顧公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，給出以下變式問題.

變式：在平面直角坐標(biāo)系中，直線 l . y=k x+b 交x 軸于點(diǎn)A，過點(diǎn) 作 P Q⊥ l 于點(diǎn) Q ，求點(diǎn) A 到點(diǎn) Q 的距離.

學(xué)生通過解決變式問題，獲得解決距離問題的各種方法．達(dá)成如下3個(gè)目標(biāo).

① 提升從基本原理、基本概念和基本方法出發(fā)分析問題和解決問題的能力.

② 具有不同認(rèn)知圖式的學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的理解不同，聯(lián)系的知識(shí)不同，因此，表征為不同的解法.

③ 通過交流、碰撞、升華（方法融通、靈活選擇和提升思維品質(zhì)），體會(huì)距離問題的根本在于兩點(diǎn)間的距離，投影是一種簡捷高效的方法.

（3）分析試題，體驗(yàn)方法.

一節(jié)課中，例題的選擇是至關(guān)重要的．筆者認(rèn)為，課堂教學(xué)以解決基礎(chǔ)問題、保障均分為核心．因此，教師選擇的教學(xué)材料要符合學(xué)情，典型、有效是最重要的，未必一定要選擇所謂的“壓軸題”執(zhí)教教師在解決變式題的基礎(chǔ)上，給出以下例題.

例已知點(diǎn) Q 為直線 l . x+2y+1=0 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 ，求點(diǎn) P 到直線 l 的距離.

該題改編自2024年九省聯(lián)考第6題，選擇的標(biāo)準(zhǔn)為：低起點(diǎn)，有內(nèi)涵.

分析題目條件，幫助學(xué)生讀懂題意是例題教學(xué)中十分重要的一環(huán).

如圖3，一個(gè)點(diǎn) P 和一個(gè)方向 ，確定了一條直線 l 這條直線的本質(zhì)是點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)軌跡.

如圖4，類似的，點(diǎn) Q 在直線 l 上，向量 （1，-3）的方向并不是直線 l 的方向，但當(dāng)點(diǎn) Q 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，向量 作平移運(yùn)動(dòng)．因此，點(diǎn) P 的軌跡為與直線 l 平行的一條直線 “求點(diǎn) P 到直線 l 的距離 ”就是“求兩條平行直線 l 與 的距離”，所以 的長為向量 在直線 l 的單位法向量 上的投影的模，因?yàn)橹本€ l 為 x+2y+1=0 ，所以 （1，2）.所以

執(zhí)教教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生分析直線 l . x+2y+1=0 的傾斜角和向量 的方向角之間的聯(lián)系.顯然，如圖5，直線 l 與 x 軸的夾角 α 滿足tan 向量 的方向向量與 y 軸的夾角 β 滿足 .由此可得直線 l 與向量 的夾角為 ．因此，點(diǎn) P 到直線 l 的距離

在解決例題后，執(zhí)教教師出示2024年九省聯(lián)考第6題：已知點(diǎn) Q 為直線 l . x+2y+1=0 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 ，記 P 的軌跡為 E ，則.

（A） E 是一個(gè)半徑為 的圓（B） E 是一條與l相交的直線（C） E 上的點(diǎn)到I的距離均為 （D） E 是兩條平行直線

有的學(xué)生認(rèn)為該題就是例題，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)軌跡 E 是一條與直線1平行的直線．因此，可以排除選項(xiàng)ABD，直接選擇選項(xiàng)C.通過對(duì)例題和2024年九省聯(lián)考試題的解決，體會(huì)當(dāng)條件具體化后，就要分析具體的條件，選擇合適的方法解決問題．當(dāng)然，基礎(chǔ)夯實(shí)了，便能展示硬功夫，即把結(jié)果算出來．同時(shí)，要注意具體問題具體分析，展示思維的靈活性，即把結(jié)果“看”出來.

這樣的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生初步感知考試與復(fù)習(xí)之間的辯證關(guān)系．復(fù)習(xí)需要完整建構(gòu)知識(shí)體系，需要徹底打通底層邏輯，需要拓寬視野重新思維．只有這樣，考試時(shí)才能優(yōu)化思路.

3.結(jié)構(gòu)化的小結(jié)

結(jié)構(gòu)化、直觀化的小結(jié)，使得教學(xué)的“兩條邏輯線索”更加清晰．基于結(jié)構(gòu)的小結(jié)讓學(xué)生容易記憶，基于圖象直觀的解釋便于學(xué)生理解知識(shí)體系的內(nèi)在邏輯．如圖6，執(zhí)教教師結(jié)合板書小結(jié)：回顧這節(jié)課并完成以下三項(xiàng)工作：梳理知識(shí)；明晰方法；形成思想．通過結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系構(gòu)圖，明確復(fù)習(xí)內(nèi)容在距離單元中的地位和作用，拓寬學(xué)習(xí)視野，明確可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容—球面距離、曼哈頓距離等，形成單元結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系.

4.層次清晰的作業(yè)設(shè)計(jì)

作業(yè)是復(fù)習(xí)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，精心設(shè)計(jì)的作業(yè)能夠有效發(fā)揮作業(yè)的功能．本節(jié)課中，執(zhí)教教師布置了3項(xiàng)作業(yè)，作業(yè)1為基礎(chǔ)題（鞏固）；作業(yè)2為重新推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，要求方法越多越好（評(píng)價(jià)）；作業(yè)3為類比距離概念知識(shí)體系的梳理過程，梳理與角有關(guān)的概念知識(shí)體系（拓展）.

有設(shè)計(jì)的作業(yè)，才能發(fā)揮作業(yè)的鞏固、評(píng)價(jià)和拓展價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2」教育部考試中心，中國高考評(píng)價(jià)體系[M]．北京：人民教育出版社，2019.