初中數與代數領域教學研究

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在“課程理念”中指出：“義務教育數學課程以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，落實立德樹人根本任務，致力于實現義務教育階段的培養目標，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養.\"[1]

以上論述是義務教育數學教學活動的根本目的，實現這個目的的載體是《課標（2022年版）》界定的四個領域的課程內容.本文在對初中階段“數與代數”領域的主要內容、教學目標、所承擔的核心素養進行分析的基礎上，提出關于“數與代數”領域的教學策略.

1整體認識數與代數領域

《課標（2022年版）》中的“課程內容”是按照“領域一主題一具體內容”呈現的.“領域和主題”是由具體內容關聯的數學課程教學任務或任務群組成的.在初中學段，《課標（2022年版）》分4個領域用8個主題給出了157條具體課程內容2，整體結構如圖1所示.

四個領域的課程內容都可以分為內容要求、學業要求和教學提示三部分.內容要求主要描述學習的范圍和要求；學業要求主要明確學段結束時學習內容與相關核心素養所要達到的程度；教學提示主要是針對學習內容和達成相關核心素養而提出的教學建議[3].

1.1“數與代數“領域課程內容的明確界定

在“數與代數”領域《課標（2022年版）》共用三個“主題\"界定了49條課程內容，其中“數與式”主題22條，“方程與不等式”主題11條，“函數”主題16條.對于每一個主題，又分單元具體提出課程課時內容要求.

例如，“數與式”主題分為“有理數”“實數”“代數式”三個單元，其中“有理數”單元的第1條課程內容是“理解負數的意義；理解有理數的意義；能用數軸上的點表示有理數，能比較有理數的大小\"1]54.“方程與不等式”主題下第一個單元“方程與方程組”的第8條內容是“能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性”[1]56

在把握這些課程內容時，應清晰地辨別8個動詞的含義.《課標（2022年版）》在給出課程內容時每條的句首都冠以適當的動詞.如在課程“理解負數的意義”中用“理解”表示對“負數”應達到的學習“程度”；在“能用數軸上的點表示有理數”中用“能”表示對“數軸”的學習要求.

用“了解”“理解”“掌握”“運用”4個行為動詞描述結果目標；用“經歷”“體驗”“感悟”“探索”4個動詞表述過程目標.教師必須全面、準確地把握上述8個動詞的含義，只有這樣才能制訂出恰當的教學目標，并在課堂教學中落實教學目標.

例如，“了解”是表述結果目標的第一個行為動詞，與“了解”相近的描述有：初步認識、知道、體會、模仿、識別、說出等.教學上有兩個方面的要求：（1）研究對象的相關特征會在具體的情境中歸納概括出來；（2）應用歸納出的特征指引，遷移應用于其他情境，再從其他情境中辨認出來.《課標（2022年版）》要求學生“了解無理數和實數”.在教學中應要求學生：能用數學的語言說出無理數與實數的定義；能從給定的具體問題情境中分辨出無理數與實數.學生只有做到了這兩點，才能達到“了解”的課程目標.

再如，與行為動詞“理解”相近的描述有會、描述、解釋、獨立操作、初步運用等，它是指對數學概念和原理的認識達到了理性的層面.實際教學要求是在“了解\"的基礎上又追加了下面的（3）和（4）兩條：（3）知道相關知識的產生背景和發展路徑，能準確闡述該知識與關聯知識之間的關聯點、區別點；（4）知道該知識的應用與作用.

這樣到最高層次“運用”時就有了8條教學要求，請參考文[3].這四個動詞的內涵是有梯度的，其中“了解”最低，“運用”最高，如圖2.

教師一定要結合實例認真推敲、仔細揣摩、準確把握這四個動詞的含義，只有這樣才能真正理解并在教學中落實課程目標.除此以外，教師還要明確“經歷（感受、嘗試）、體驗（體會）感悟、探索\"四個過程性動詞的意義.

1.2明確學業要求和教學提示

《課標（2022年版）》關于“數與代數”領域的學業要求是在“主題”下對“單元”內容提出的整體要求，不是像“課程內容”那樣一條一條列舉的.例如，關于“數與式”單元的學業要求是分有理數、實數和代數式分別提出的，具體要求見文[1]58—59頁.而對于“教學提示”，《課標（2022年版）》則是以“主題”為“單位”整體提出的，關于數與代數領域分別對“數與式”\"方程與不等式”\"函數”三個提出了整體教學提示，具體提示見文[1]61—62頁.

《課標（2022年版）》對于“課程內容”提出的“學業要求”和“教學提示”是指導我們教學的“宏觀要求”，教學前教師一定要認真研讀.

2數與代數內容的學習目標與教育教學價值2.1學習目標

在初中階段，《課標（2022年版）》提出的“三會”目標可以分解為九大核心素養表現，在這九大核心素養表現中，“數與代數”領域主要承載的培養任務有抽象能力、運算能力、推理能力、應用意識和創新意識等.核心素養導向下，初中階段“數與代數”領域的主要學習目標為：

會在具體的問題中探究尋找顯性的數量關系和隱性的變化規律，靈活運用方程、不等式、函數等數學模型進行數量關系的描述和數學規律的表達，發展學生的數感、符號意識，培養學生的運算能力，增強學生的數學實際應用意識和創新意識，逐步提高學生運用數學知識技能和思維方法去發現和提出問題，進而分析和解決問題的能力.

在以“數與代數”領域的具體課程內容為“載體”落實學習目標的同時，學生能掌握用本領域的知識解決問題的基本類型和方法，進而領悟數學基本思想，積累基本活動經驗，發展數學核心素養[3].

2.2教育教學價值

研究數量關系和變化規律的數學模型是“數與代數”領域的重要內容，在初中階段的數學課程中占有重要的地位.學生通過學習這些內容，能夠從數量關系的角度更加準確和更清晰地認識、描述和把握現實世界.針對“數與代數”領域課程內容的教育教學價值，史寧中教授在其主編的《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》中，提出了下面三點[3]：

（1）體會到刻畫數量關系的重要數學語言是數及數學符號，常見的刻畫數量關系的重要數學模型有函數、方程、不等式等.

（2）通過探索實際問題中的數量關系及其變化規律，建立整數、有理數、實數和整數集、有理數集、實數集的概念，推導并應用數學公式，列方程或方程組求解，揭示變量之間的函數對應關系等，逐步提高學生的“四基”和“四能”.

（3）認識到“數與代數”領域中存在的大量對立和統一關系（例如，整數與分數、正數和負數、有理數與無理數、加法和減法、乘法與除法、常量與變量、精算與估算等），以及在數與代數的研究過程中充滿對立和統一（例如，已知與未知、特殊與一般、分析與綜合、連續與分散、波動與集中、具體與抽象、實踐與理論等）.在研究變量與函數的過程中，運用關聯與劃歸、解構與建構、動態與靜態等思維方法考察研究的對象，定將有助于培養學生的兩點論、統一論等辯證觀點.

3數與代數的教學建議

《課標（2022年版）》在“課程理念”中指出“學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手操作、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式[1]”這是我們進行數學教學的“總方針”

《課標（2022年版）》在“教材編寫建議”中提出，為了引發學生的數學思考，對于新知識的學習，應展現“知識背景一知識形成一揭示聯系”的過程；運用數學知識、思想方法解決數學問題的過程，常常是“問題情境一建立模型一求解驗證”循環往復的過程.

《課標（2022年版）》界定的49條屬于“數與代數”領域的課程內容都是學生應該掌握的基礎知識，對于這些知識的學習和應用都應體現上述過程要求.

3.1重視引導學生經歷新知識的形成過程

在“數與代數”領域課程內容的教學中，特別是對于數學性質定理及逆定理的教學，教師要把重點放在引導學生探索性質定理、逆定理的發現過程上，找尋結論形成的自然合理論據，既符合認識論的一般規律，又有數學發散思維的成分存在.問題解決思路的猜想過程以及證明方法的嘗試、試錯階段，學生只有親身經歷探索、猜想、嘗試的過程，才能高階發展合情推理能力和演繹推理能力，并能用數學語言有邏輯地闡述自己的觀點.

案例1一元一次方程概念的建立過程.

為幫助學生經歷一元一次方程概念的形成過程，我們創設了如下情境：

（1）2023年杭州亞運會，我國運動健兒努力拼搏，勇創佳績，共獲得獎牌383枚，其中銀牌比銅牌多40枚，金牌離銅牌的3倍還差12枚，問銅牌數是多少？

（2）一孔子雕像底座的底面呈正方形形狀，在其底座四周鋪上花草，形成一個寬為 3.2m 的正方形花草外框，已知鋪這個外框恰好用了花草 ，問這個孔子雕像的底面邊長是多少m？

（3）物體在水下，水深每增加 10.33m ，水壓就會增加1個大氣壓，當\"蛟龍號\"潛水器下潛至 3500m ，它承受的水壓約340個大氣壓，問當它承受的水壓增加到500個大氣壓時，他又繼續下潛了多少 m ？

設計分析：根據《課標（2022年版）》提出的“現實性”要求，選取了“亞運會”“鋪花草”“科學探測潛水器”三個問題作為情境.學生通過思考依次得到三個關系式，即 （1）x+x+40+3x-12=383（x 為銅牌數）；（2）12.8（x+3.2）=92.16（x 為底面邊長）； （3）340+ 10.33℃=500（x為又下潛的深度）.

引導學生從整體和局部兩個視角觀察三個關系式，用結構化分析的方法，逐漸對它們的共性達成共識（可用遞進的問題事誘導達成）“含有一個未知數和未知數的次數為1（整體視角）、兩邊都是整式（局部視角）”，最終形成對一元一次方程概念的認知.

學生在經歷概念的形成過程中，感悟、理解、應用概念，通過“問題情景一抽象思考一概念概況”表達等系列活動，建立一元一次方程概念.

3.2重視知識的應用過程

“數與代數”領域的課程內容中，有很多屬于性質“范疇”，這些性質具有廣泛的應用性，在應用它們解決實際問題的過程中，不但能加深學生對有關性質的理解和認知，而且還能培養學生利用已學知識解決問題的能力，有助于培養學生的應用意識和創新意識等素養.

案例2鉛球軌跡能否經過目標？

（1）若鉛球運行軌跡解析式為二次函數，求此函數的解析式.

（2）說明按（1）中軌跡運行的鉛球是否經過目標c ，并說明理由.

設計分析：本案例以“鉛球運行軌跡”為背景，主要考查學生運用待定系數法求二次函數表達式以及運用二次函數的有關知識解決問題的能力.

3.3重視挖掘數與代數本質特征的過程

數與代數領域，從數的認識開始，經歷數系擴充，用字母表示數，進人代數式，建立方程、不等式和函數模型…·…，一路螺旋上升，看似離“數”漸行漸遠，但本質的內容還是“數”.

設計分析：本案例滲透數學整體思想的同時，引領學生領悟在方程或方程組中，未知數的個數和次數決定方程或方程組的結構，系數決定方程或方程組的解.這個結論認知可遷移到不等式和函數學習中，未知數自身個數和次數的結構決定不等式（組）的結構類型，系數決定不等式（組）的解集;函數中自變量自身的結構決定函數的類型，系數（包含指數）決定函數的性質.對于線性方程組而言，正是系數決定解的前期認知，這樣才有后續行列式表示解的可行和矩陣學習的延拓.

關于“數與代數”領域知識的教學，除了要重視上面三個過程，還要適當加強與其他領域知識之間的聯系.如在教學乘法公式（a+b）（a-b）=a’-b°以及（a±b）2=a±2ab+b°時，教師應構造恰當的圖形，讓學生借助于幾何的直觀特點理解、推導上述公式，加深對“領域”之間課程內容聯系的認識，尋找數結構和形結構的銜接點和統一性，進一步感悟數形結合思想.20世紀90年代末，美國《數學雜志》開辟了一個專欄：沒有文字證明，無字證明（Proof without words）在中國數學古代史專家李嚴的論著《中算史論叢》中也有提及到，這種證明方式從另一個角度展示了數學的表達和思考方式.由于初中數學“數與代數”領域概念（定義）的給出，多采用不完全歸納推理的方式，給人一種代數定義或結論多是發現、歸納而來，而不是經過演繹推理得出，數學史上幾個典型的歸納結論反例的陰影，讓人更加感覺代數的嚴謹性體現得不夠充分.因此教學中建議可適度增加發展代數推理的實例教學，以求數學整體推理的嚴謹性和周密性.另外，數與代數部分的教學還要關注大單元整體性視角、關注結構化關聯和化歸思想、關注模塊化主題式教學模式，研究大單元教學的內容重構、方法關聯、思想劃歸、技能遷移等，研究模塊化教學的認知共性、思維特點、邏輯特性等.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部，義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：2.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：138.

[3]李德寶.對初中數學“圖形與幾何”領域的教學建議[J].中學數學，2023（14）：25-28.