撥亂反正”之垂直平分線的判定

談到“垂直平分線”，其性質、判定定理和尺規(guī)作圖不得不提起，畢竟這幾個知識點都是中考命題的熱點，可與初中數(shù)學其他知識融合起來形成綜合題.然而，通過批改作業(yè)，筆者發(fā)現(xiàn)學生在理解和應用垂直平分線的判定時存在問題.基于此，筆者重點分析學生在理解垂直平分線的判定時產(chǎn)生的錯誤，并嘗試在實踐中幫助學生糾錯.

1引例及錯解呈現(xiàn)

引例如圖1所示，四邊形ABCD的對角線 A C，B D 相交于點 O，A B=A D ，請你添加一個邊或角的條件，使得直線 A C 是線段BD的垂直平分線.

（1）添加的條件是_________

（2）根據(jù)已知及添加的條件證明：直線AC是線 段BD的垂直平分線.

本題難度不大，第（1）小題屬于開放題，比較簡單，第（2）小題需根據(jù)第（1）小題添加的條件證明垂直平分線.

下面來看某學生作業(yè)的完成情況：

2錯解分析

從學生的解題過程來看，第（1）小題沒有問題，錯在第（2）小題，具體錯在由“點 A 在線段BD的垂直平分線上”判定“直線 A C 是線段 B D 的垂直平分線”

垂直平分線的判定定理是“到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”，但據(jù)此定理只能判斷一個點是否在線段的垂直平分線上，并不能直接由“一個點在垂直平分線上”就判斷“過該點的直線就是線段的垂直平分線\"1].

如圖2所示，點 o 是線段 外的一點，并且O A=O B ，那么過點 o 的直線是否就是線段 ∣ A B 的垂直平分線？通過作圖（如圖3）發(fā)現(xiàn)，這樣的直線有無數(shù)條，并非全是線段 A B 的垂直平分線.

所以，一個點在線段的垂直平分線上，并不意味著過這個點的直線就是該線段的垂直平分線.

3課堂糾錯及正解

發(fā)現(xiàn)了學生存在的問題后，基于該問題比較典型，筆者在課堂上幫助學生糾錯.

師：同學們，怎樣判定一條線段的垂直平分線呢？生：根據(jù)垂直平分線的判定定理.

師：那么我們一起來看看垂直平分線的判定.（師生一起回顧垂直平分線的判定定理.）

師：你們認為這個判定定理中的關鍵詞是什么？生1：我認為是“到一條線段兩個端點距離相等”生2：我認為是“到一條線段兩個端點距離相等的點”生3：我認為還有“線段”

生4：我認為關鍵詞還有“在垂直平分線上”

師：同學們說得非常好，你們的眼睛真是雪亮.那請你們用聰明的大腦思考“如果到一條線段兩端距離相等的點存在，那么過這個點的直線一定是這條線段的垂直平分線嗎？”

（學生思考.）

生5：是.

生6：不是，因為過一個點的直線有無數(shù)條，這些直線不一定就是這條線段的垂直平分線.

師：我們現(xiàn)在來看圖1，過點 O 你能畫出多少條直線？

生：無數(shù)條.

師：（出示圖3）那么哪一條是線段 的垂直平分線呢？

（教師看著生5）

生5：有無數(shù)條直線，但其中只有一條是線段 的垂直平分線.

師：那么如何確定這條直線呢？

生6：兩點確定一條直線.

師：也就是說.....

生：要找到另外一個點也在這條直線上.

師：對.

經(jīng)過引導后，學生認識到了不能認為“一個點在線段垂直平分線上”就說“過該點的直線就是線段的垂直平分線”

于是，對第（2）小題進行了如下訂正：

4總結

經(jīng)過課堂糾錯后，學生對垂直平分線的判定有了更深入的認識，知道了以往解題中所出現(xiàn)的錯誤，并知道了如何改正.

在此，筆者認為要準確應用垂直平分線的判定，還需要注意以下幾個方面：

首先，垂直平分線的判定只能判斷一個點是否在垂直平分線上，而不能判斷過該點的直線就是該線段的垂直平分線.要想判斷過該點的直線是該線段的垂直平分線，還需要再確定一個點也在該直線上.

以引例第（2）小題為例，正確的解題思路應如圖4所示：

其次，垂直平分線是一條直線，這一點學生也極易忽略[]，在引例中，不能稱 A C 為線段BD的垂直平分線，而應稱“直線 A C ”或“ A C 所在的直線”為線段BD的垂直平分線.之所以如此，是因為直線和線段的屬性及特點存在差異，垂直平分線是直線，而AC是線段，二者不可混為一談.在日常教學中，教師應及時糾正學生這一錯誤描述，以準確、簡明的語言去闡述分析及解決問題的過程.

最后，到兩點距離相等的點，一定在這兩點所連線段的垂直平分線上[3.這一點既是垂直平分線性質的直接體現(xiàn)，也是學生用以分析和解決實際問題的重要理論依據(jù).在實際教學過程中，教師應給予學生更多的時間和空間，讓學生能更自主、更深人地利用該理論分析和解決實際問題.只有這樣，學生才能對所學理論知識產(chǎn)生更深刻的認識，進而更有效地學以致用.

5練習鞏固

為了讓學生鞏固本節(jié)課中對垂直平分線的正確理解，筆者建議教師可布置下面兩道練習題供學生訓練：

習題1如圖4，在 Δ A B C 中， A D 是高，點 E 在線段BC的垂直平分線上，連接 B E ，交 A D 于點 F .

求證：點 E 在線段 A F 的垂 直平分線上.

習題2如圖5，在 Δ A B C 中， ， A D 平分∠ B A C，D E⊥ A B 于點 E .

求證：直線 A D 是線段 C E 的 垂直平分線.

垂直平分線的判定定理是初中幾何部分非常重要的知識，在實際應用時學生極易出現(xiàn)本文中所展示的錯誤.教師應及時糾正，并匹配相應的習題以鞏固所學.這樣一來，才能及時“撥亂反正”，查缺補漏.

參考文獻：

[1]肖建軍.編織出清晰的教學主線—“線段的垂直平分線\"教學的思考[J].中外交流，2018（50）：158-159.

[2]張遠琴.在思考中成長—《線段垂直平分線的性質》教學反思[J].新課程（中學），2013（10），100.

[3]葉一莎，馮濤.利用課堂觀察數(shù)據(jù)進行新基礎教育教學研究—以《線段的垂直平分線的性質和判定》的初建課、重建課為例[J].中國教育信息化，2018（4）：15-17.