數(shù)學(xué)課程美育：邏輯與形式的和諧交響

李如密，課程與教學(xué)研究所所長、教授、教育學(xué)博士，課程與教學(xué)論專業(yè)博士生導(dǎo)師，兼任中國教育學(xué)會教育學(xué)分會常務(wù)理事、中國教育學(xué)會教育學(xué)分會教學(xué)論專業(yè)委員會副理事長、中國高等教育學(xué)會學(xué)習(xí)科學(xué)分會副理事長、全國現(xiàn)代教學(xué)藝術(shù)研究會副理事長，主要從事教學(xué)理論研究，著有《教學(xué)藝術(shù)論》《教學(xué)風(fēng)格論》《現(xiàn)代教學(xué)理論研究》《教學(xué)美的價值及其創(chuàng)造》《儒家教育理論及其現(xiàn)代價值》《孔子教學(xué)藝術(shù)研究》等，在《教育研究》《課程·教材·教法》《中國教育學(xué)刊》等期刊發(fā)表論文400余篇。

數(shù)學(xué)美是一種獨特而深刻的美，它源于數(shù)學(xué)本身的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和抽象性。著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素（Russell）曾言：“正確看待數(shù)學(xué)，它不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美能夠達(dá)到只有最偉大藝術(shù)才能表現(xiàn)出來的嚴(yán)格的完美。\"《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》多次強調(diào)數(shù)學(xué)美的價值導(dǎo)向，為數(shù)學(xué)課程美育明確了價值定位與實踐追求。探討數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)，以及數(shù)學(xué)課程美育的實現(xiàn)途徑，是一件重要而有趣的事。

一、數(shù)學(xué)美：數(shù)學(xué)課程美育的豐富資源

數(shù)學(xué)美兼具數(shù)學(xué)特性和美學(xué)屬性，是課程美育的重要資源。數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)主要有以下幾個方面。

1.簡潔美

數(shù)學(xué)家總是追求用最簡潔的語言、最少的符號表達(dá)最豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容。這種簡潔性不僅使數(shù)學(xué)易于理解和傳播，還賦予數(shù)學(xué)獨特的美感，給人帶來視覺上的愉悅和思維上的震撼。數(shù)學(xué)的簡潔美主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的符號表達(dá)、公式構(gòu)建及邏輯架構(gòu)中。例如，勾股定理\"如果直角三角形的兩條直角邊長分別為 和b，斜邊長為 c ，那么 ，用簡單的等式揭示了直角三角形三邊的關(guān)系“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”；歐拉公式 是數(shù)學(xué)中揭示復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)關(guān)系的核心等式，它用三個變量統(tǒng)一了多面體的拓?fù)湫再|(zhì)，被譽為“數(shù)學(xué)界的詩篇”；等等。

2.和諧美

經(jīng)典的美學(xué)觀點認(rèn)為美是和諧的。數(shù)學(xué)美的本質(zhì)在于其內(nèi)部的和諧與統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)對自然規(guī)律和諧、統(tǒng)一與有序的反映。這是因為數(shù)學(xué)公式、定理和概念之間往往存在緊密的內(nèi)在邏輯關(guān)系，這種和諧性使數(shù)學(xué)成為一個有序、統(tǒng)一的整體。數(shù)學(xué)和諧美的突出表現(xiàn)是對稱性，它是和諧的結(jié)構(gòu)化表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)美的重要特征之一。對稱美在數(shù)學(xué)中廣泛存在，體現(xiàn)在幾何圖形的對稱性、代數(shù)表達(dá)式的對稱性等方面。幾何圖形的對稱性方面，等腰三角形、長方形、圓等幾何圖形都展現(xiàn)出完美的對稱美。代數(shù)表達(dá)式的對稱性方面，二次函數(shù)圖象（拋物線）呈現(xiàn)軸對稱特征；三角函數(shù)中正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象也呈現(xiàn)出對稱性。“勻稱性”也可以看成數(shù)學(xué)和諧美的一個特征，黃金分割就是一個典型的例子，如根據(jù)此原理配比長和寬所構(gòu)成的長方形給人以“勻稱美”的感覺，因此黃金分割比（0.618）被譽為“人間最美妙的比例”。

3.奇異美

英國著名思想家培根（FrancisBacon）曾說：“美在于獨特而令人奇異，奇異與和諧是對立的統(tǒng)一。”數(shù)學(xué)中存在著許多奇異而美妙的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象往往超出人們的日常經(jīng)驗，展現(xiàn)出數(shù)學(xué)獨特的魅力。如，在分形幾何中，人們可以看到一個圖形在不同尺度下呈現(xiàn)出相似的結(jié)構(gòu)，這種自相似性使分形圖形具有一種奇異的美感。徐本順教授指出：數(shù)學(xué)解題方法的奇異性與文學(xué)中那種奇峰突起的“神來之筆”相似，令人體會到一種奇特新穎之美感。這種奇異美使數(shù)學(xué)充滿神秘感。對數(shù)學(xué)奇異美的追求有助于學(xué)術(shù)創(chuàng)新，數(shù)學(xué)家正是通過不解的探索和研究，才不斷發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，提出新的數(shù)學(xué)理論和方法。如費馬大定理的證明歷經(jīng)300多年，最終由安德魯·懷爾斯通過橢圓曲線和模形式理論完成；黎曼猜想是數(shù)論中最著名的未解決問題之一，它激發(fā)無數(shù)數(shù)學(xué)家進(jìn)行創(chuàng)造性研究。

4.深邃美

數(shù)學(xué)的深邃美首先表現(xiàn)在它的抽象性上，這是數(shù)學(xué)美的特殊性所在。數(shù)學(xué)通過抽象化揭示普遍規(guī)律，如群論通過抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)研究對稱性和變換，被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、化學(xué)和密碼學(xué)領(lǐng)域；范疇論是高度抽象的數(shù)學(xué)分支，試圖統(tǒng)一數(shù)學(xué)中的各種結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)的深邃美還體現(xiàn)在其含蓄性上。許多數(shù)學(xué)定理和公式蘊含著深刻的思想，需要人們通過深入思考和領(lǐng)悟，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的美。這種含蓄美使數(shù)學(xué)具有一種深沉和內(nèi)斂的美感。如斐波那契數(shù)列是一個從0和1開始，之后的每一個數(shù)字都是前兩個數(shù)字之和的數(shù)列。斐波那契數(shù)列的美不僅僅在于其簡單的遞推關(guān)系，更在于其所蘊含的深刻數(shù)學(xué)原理能反映諸多自然現(xiàn)象，形成一種和諧之美。

二、數(shù)學(xué)融美教學(xué)：數(shù)學(xué)課程美育的重要途徑

1.開發(fā)數(shù)學(xué)課程的“融美點”，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)知識技能和思想方法的載體，教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教材中的“融美點”。如教學(xué)“小數(shù)除法\"時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在理解小數(shù)除法的算理依據(jù)是“商不變性質(zhì)”算法核心是“轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法\"的過程中，感受數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)一體化，體會數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)一美;在認(rèn)識循環(huán)小數(shù)、掌握循環(huán)節(jié)的簡便記法的活動中，感受數(shù)學(xué)符號的簡潔美；在用計算器計算、觀察計算結(jié)果、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和利用規(guī)律續(xù)寫算式的活動中，感受數(shù)字排列規(guī)律的奇異美；在探索數(shù)字黑洞的游戲中，感受數(shù)學(xué)運算陷人循環(huán)的奇妙現(xiàn)象，體會數(shù)學(xué)的奇異美。聚焦這些數(shù)學(xué)教材“融美點”，教師可以更有針對性地落實數(shù)學(xué)課程美育，成為學(xué)生數(shù)學(xué)審美學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并欣賞數(shù)學(xué)之美。

2.將抽象的數(shù)學(xué)知識具象化，豐富審美感知

教師通過創(chuàng)設(shè)課程美育情境將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為具象形態(tài)，可以更好地豐富學(xué)生的審美感知。具象化的策略有四種：其一，語言敘述故事，如在講解數(shù)學(xué)公式、定理、定義時，教師可以通過講述故事的形式描述數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的情景，讓學(xué)生充分體驗數(shù)學(xué)的簡潔美及抽象美；其二，動畫展演變化，如在軸對稱圖形的教學(xué)中，教師可以通過設(shè)計藝術(shù)性動畫，生動演示圖形的對稱變化，讓學(xué)生更直觀地感受軸對稱圖形的和諧美；其三，真實生活例示，如在教學(xué)某個抽象的數(shù)學(xué)原理時，教師可以列舉生活實例，讓學(xué)生通過現(xiàn)實印證發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇異美與深邃美；其四，創(chuàng)設(shè)環(huán)境浸潤，如教師在教室里布置數(shù)學(xué)展板、幾何藝術(shù)裝置等時，可以將分形圖案、黃金分割比等融入其中，打造沉浸式數(shù)學(xué)美育空間。以上具象化策略，可以有效克服數(shù)學(xué)知識抽象性所帶來的學(xué)生學(xué)習(xí)障礙。

3.調(diào)動數(shù)學(xué)審美活動的參與感，激活審美體驗

教師要組織多樣化的數(shù)學(xué)審美活動，讓學(xué)生積極參與其中，獲得相應(yīng)的審美體驗。其一，游戲活動。教師可以開發(fā)數(shù)學(xué)解謎闖關(guān)游戲，通過“玩數(shù)學(xué)”吸引學(xué)生參與，讓他們從中體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。其二，圖案探究活動。教師可以在數(shù)學(xué)方程中嵌入蝴蝶曲線、心形線、玫瑰線等優(yōu)美的圖案，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的神奇與妙趣。其三，剪紙創(chuàng)作活動。教師可以讓學(xué)生用剪紙方式創(chuàng)作具有幾何特點的圖形，提升其數(shù)學(xué)審美想象力。其四，作品展覽活動。教師可以通過組織數(shù)學(xué)主題展，展示學(xué)生的數(shù)學(xué)作品和成果，如數(shù)學(xué)模型、創(chuàng)意設(shè)計等，增強學(xué)生的成就感。其五，文化交流活動。有條件的學(xué)校和教師可以組織學(xué)生開展中外數(shù)學(xué)文化交流活動，深化學(xué)生對不同數(shù)學(xué)文化的了解，培養(yǎng)他們的文化修養(yǎng)和國際視野。學(xué)生在數(shù)學(xué)審美活動中積極參與數(shù)學(xué)審美學(xué)習(xí)，會留下深刻的具身審美體驗。

4.適當(dāng)提升與藝術(shù)形式的融合度，增添審美趣味

數(shù)學(xué)課程與藝術(shù)形式融合會產(chǎn)生奇妙的效果。首先，融合詩歌，給數(shù)學(xué)課程增添詩意。李尚志教授常常用詩描述數(shù)學(xué)，如用“東升西落照蒼穹，影短影長角不同。晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮\"描述三角函數(shù)等，他把詩歌運用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，展示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)既美又好玩，讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué)。其次，融合音樂，給數(shù)學(xué)課程美化形象，如教師可以結(jié)合音樂節(jié)奏設(shè)計分?jǐn)?shù)計算活動，將音符時值與分?jǐn)?shù)運算結(jié)合，實現(xiàn)數(shù)理邏輯與韻律美的共振。再次，融合戲劇，增強數(shù)學(xué)課程吸引力，如教師可以組織《數(shù)學(xué)星空下的追光者一一陳景潤》角色扮演活動，讓學(xué)生通過劇本演繹感受數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的熱愛和對真理的執(zhí)著追求。最后，融合其他藝術(shù)形式，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程趣味化，如教師可以引導(dǎo)學(xué)生用折紙藝術(shù)探索幾何圖形對稱性，通過莫比烏斯環(huán)剪紙操作理解拓?fù)渥儞Q等。跨學(xué)科融合的教學(xué)方式能使學(xué)生在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，達(dá)到數(shù)學(xué)課程美育的目的。

5.聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造力，發(fā)展審美思維與理性精神

教師要鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中進(jìn)行審美學(xué)習(xí)與創(chuàng)造，發(fā)展審美思維與理性精神。其一，努力尋求簡潔新穎的“最優(yōu)解”。在數(shù)學(xué)解題過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用創(chuàng)造性思維，對比不同解題路徑，尋求體現(xiàn)簡潔美的“最優(yōu)解”。教師也可以設(shè)計“公式變形挑戰(zhàn)賽”，引導(dǎo)學(xué)生比較等差數(shù)列通項公式的多種推導(dǎo)路徑，評選“最優(yōu)解”并分析其簡潔性價值。其二，培育數(shù)學(xué)與審美結(jié)合的“統(tǒng)合眼光”。如，在繪制軸對稱圖形的過程中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生運用美的眼光欣賞圖形的變化所創(chuàng)造出來的美感，逐步發(fā)展學(xué)生的空間觀念和對幾何圖形的審美鑒賞能力。再如，教師可以設(shè)計“最優(yōu)校園快遞柜布局\"項目，要求學(xué)生綜合考慮取件效率、空間利用率和視覺協(xié)調(diào)性等因素進(jìn)行設(shè)計。學(xué)生需要用幾何知識設(shè)計柜體組合方案，用概率模型模擬人流動線，最終通過3D建模呈現(xiàn)兼具功能性與美學(xué)價值的設(shè)計方案。其三，發(fā)展深邃含蓄的“理性精神”。如在命題證明教學(xué)中，教師可以設(shè)計“反證法劇場”活動，引導(dǎo)學(xué)生通過辯論體會數(shù)學(xué)推理的排他性美感；展示歐幾里得《幾何原本》公理體系演化史，引導(dǎo)學(xué)生通過與傳統(tǒng)幾何體系對比，體會非歐幾何的突破性，感悟邏輯體系的動態(tài)發(fā)展美。學(xué)生數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造力的發(fā)展，必將助力他們攀登數(shù)學(xué)理論與實踐的高峰。

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文字編輯孫愛蓉