“線性代數(shù)”在“高等數(shù)學(xué)”中的一些應(yīng)用

摘"要：“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”是理工科專業(yè)學(xué)生的兩門重要必修課，為學(xué)生提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)了邏輯思維能力和實(shí)際應(yīng)用能力。在教學(xué)中，“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”是單獨(dú)安排教學(xué)，由于課時(shí)限制，這兩門課程的交叉內(nèi)容不多，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這兩門課程理解不夠透徹。為此，本文以幾個(gè)高等數(shù)學(xué)問題為例，包括微積分、數(shù)列極限、微分中值定理、多元函數(shù)極值，介紹線性代數(shù)方法在這些問題中的應(yīng)用。這些例子展示了線性代數(shù)方法在解決一些高等數(shù)學(xué)問題上的顯著優(yōu)勢(shì)。這種課程交叉的方式能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，加深學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的交叉思維。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；線性代數(shù)；矩陣對(duì)角化

“高等數(shù)學(xué)”是高等院校工科各專業(yè)學(xué)生的一門重要必修基礎(chǔ)課，主要學(xué)習(xí)微積分的基本概念、理論和運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有助于培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力，幫助解決復(fù)雜問題。“高等數(shù)學(xué)”課程涵蓋了許多高級(jí)數(shù)學(xué)概念和方法，在工程技術(shù)、數(shù)值計(jì)算、金融工程和人工智能等領(lǐng)域具有廣泛而深遠(yuǎn)的應(yīng)用。

“線性代數(shù)”是理工科專業(yè)學(xué)生的另一門重要基礎(chǔ)課，主要研究向量、矩陣、線性空間、線性變換等概念。通過(guò)學(xué)習(xí)線性代數(shù)，學(xué)生能夠培養(yǎng)抽象思維能力，從而更好地分析和解決問題。同時(shí)，線性代數(shù)也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，在現(xiàn)代科技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、密碼學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)的理論和算法基礎(chǔ)。

在教學(xué)中，“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”是作為兩門獨(dú)立的課程，單獨(dú)安排教學(xué)。由于課時(shí)限制，這兩門課程的交叉內(nèi)容不多，導(dǎo)致學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，不能夠充分利用線性代數(shù)知識(shí)來(lái)分析和解決問題，從而對(duì)問題的理解較為淺顯。高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要分支，它們之間存在著非常緊密的聯(lián)系，解題方法和思想可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透［1］。高等數(shù)學(xué)中的一些問題使用高等數(shù)學(xué)方法解決起來(lái)較為煩瑣、復(fù)雜，合理地利用線性代數(shù)方法可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，為高等數(shù)學(xué)問題的求解提供新的思路［2］。

為此，本文以幾個(gè)高等數(shù)學(xué)問題為例，介紹線性代數(shù)方法在這些問題中應(yīng)用，展示線性代數(shù)方法的優(yōu)越性。通過(guò)課程交叉的方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，加深學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的交叉思維。

一、微分和積分的線性性質(zhì)

微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，主要研究函數(shù)的變化規(guī)律和相關(guān)性質(zhì)，包括微分學(xué)和積分學(xué)兩個(gè)部分。微積分在物理學(xué)、工程學(xué)和天文學(xué)中皆有廣泛的應(yīng)用［3］，能夠有效解決一些僅用代數(shù)和幾何無(wú)法處理的問題。因此，研究微積分對(duì)于這些領(lǐng)域的發(fā)展具有重要意義。微分和積分有許多有用的性質(zhì)，它們簡(jiǎn)化了微分和積分的計(jì)算，其中包括兩條重要性質(zhì)。

（微分）設(shè)函數(shù)f=f（x）和g=g（x）均可導(dǎo)，則有：

（1）（f+g）′=f′+g′；

（2）（kf）′=kf′（k為常數(shù)）。

（積分）設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的原函數(shù)存在，則有：

（1）∫［f（x）+g（x）］dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx；

（2）∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k為常數(shù)）。

可以看到，上述兩條性質(zhì)說(shuō)的是微分和積分運(yùn)算保持加法和數(shù)乘，這恰好對(duì)應(yīng)于線性代數(shù)中核心概念——線性性質(zhì)。回憶一下，一個(gè)映射L：X→Y說(shuō)是線性的，如果它保持加法和數(shù)乘，即L（x+x′）=L（x）+L（x′），L（kx）=kL（x），其中x，x′∈X，k為常數(shù)。因此，借助線性代數(shù)的語(yǔ)言，我們可以把微分和積分的上述兩條性質(zhì)概括為：微分和積分運(yùn)算是線性的，或者微分和積分算子是線性算子。這一簡(jiǎn)單描述不僅使得對(duì)微分和積分性質(zhì)的理解變得簡(jiǎn)單，而且更能反映微分和積分算子的本質(zhì)。

二、利用矩陣對(duì)角化求數(shù)列極限

數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，為進(jìn)一步研究微積分和其他高等數(shù)學(xué)提供了理論基礎(chǔ)。數(shù)列極限在實(shí)分析和復(fù)分析中也起著核心作用，幫助理解函數(shù)的行為和性質(zhì)。此外，數(shù)列極限在物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。在物理學(xué)中，數(shù)列極限用于描述離散的物理現(xiàn)象，如種群數(shù)量的演化；在工程學(xué)中，數(shù)列極限幫助解決優(yōu)化問題和穩(wěn)定性分析；數(shù)學(xué)極限也常用于經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，幫助預(yù)測(cè)市場(chǎng)行為和經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)。因此，研究數(shù)列極限不僅能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也對(duì)應(yīng)用領(lǐng)域產(chǎn)生積極作用。

對(duì)于一些特殊數(shù)列，如具有線性遞歸關(guān)系的數(shù)列，使用高等數(shù)學(xué)方法求其極限較為困難，利用線性代數(shù)中的矩陣對(duì)角化可以方便地得到極限。

例1.已知a1=1，b1=1，an+1=an+2bn，bn+1=an+bn，證明limn→∞anbn="2。

解：將上述遞歸關(guān)系寫成矩陣形式：

an+1

bn+1=12

11an

bn。

令A(yù)=12

11，由det（λI-A）=0，得A的特征值：

λ1=1+"2，λ2=1-"2。

對(duì)應(yīng)的特征向量為：

v1="2

1，v2=-"2

1。

將特征向量組成矩陣P="2-"2

11，其逆矩陣P-1=12"212

-12"212，于是A可以對(duì)角化為：

A=Pλ10

0λ2P-1。

由此可得：An=Pλn10

0λn2P-1，于是有：

an+1

bn+1=Aan

bn=…=Ana1

b1=Pλn10

0λn2P-11

1。

展開后得：

an+1=121+"2λn1+1-"2λn2，

bn+1=142+"2λn1+2-"2λn2。

所以

limn→∞anbn=limn→∞2（1+"2）λn1+（1-"2）λn2（2+"2）λn1+（2-"2）λn2=21+"22+"2="2。

三、利用行列式證明微分中值定理

微分中值定理是微積分中的重要定理，主要包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。微分中值定理幫助我們理解函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的行為，建立了函數(shù)增量、自變量增量與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，使得我們可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)的變化。在數(shù)學(xué)證明中，微分中值定理常用于證明各種不等式，是非常有效的工具。微分中值定理也是許多其他數(shù)學(xué)定理和結(jié)果的基礎(chǔ)，例如，泰勒中值定理和積分中值定理。因此，微分中值定理不僅幫助我們深入理解函數(shù)的性質(zhì)，還為我們解決實(shí)際問題提供了強(qiáng)有力的工具。高等數(shù)學(xué)中的三個(gè)微分中值定理敘述如下：

（羅爾中值定理）如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（3）在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），

那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（alt;ξlt;b），使得f′（ξ）=0。

（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（alt;ξlt;b），使得等式f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立。

（柯西中值定理）如果函數(shù)f（x）和g（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（3）對(duì)任意x∈（a，b），g′（x）≠0，

那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（alt;ξlt;b），使得等式f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）成立。

高等數(shù)學(xué)中對(duì)微分中值定理的證明是從羅爾定理出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)的方法證明拉格朗日中值定理，再進(jìn)一步構(gòu)造輔助函數(shù)證明柯西中值定理。但輔助函數(shù)的構(gòu)造往往很有技巧性，學(xué)生不易掌握。借助線性代數(shù)中行列式的概念，可以系統(tǒng)地構(gòu)造輔助函數(shù)，為這三個(gè)定理給出一個(gè)簡(jiǎn)單統(tǒng)一的證明。我們首先證明一個(gè)引理：

引理：設(shè)函數(shù)f（x），g（x）和h（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在［a，b］上連續(xù)，定義

D（x）=detf（x）g（x）h（x）

f（a）g（a）h（a）

f（b）g（b）h（b），

則存在ξ∈（a，b），使得D′（ξ）=0。

證明：根據(jù)行列式的交錯(cuò)性，我們有D（a）=D（b）=0。由羅爾定理，存在ξ∈（a，b），使得D′（ξ）=0。

直接計(jì)算D（x）的導(dǎo)數(shù)可得：

D′（x）=detf′（x）g′（x）h′（x）

f（a）g（a）h（a）

f（b）g（b）h（b）。

在上式中令h（x）=1，得到柯西中值定理；令h（x）=1，g（x）=x，得到拉格朗日中值定理。可見，行列式方法的證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，便于直觀理解，為微分中值定理提供了一個(gè)系統(tǒng)化的證明方法。

四、利用二次型求多元函數(shù)的極值

多元函數(shù)的極值問題是數(shù)學(xué)優(yōu)化領(lǐng)域關(guān)注的核心問題，它不僅包括在特定區(qū)域內(nèi)尋找函數(shù)的極大值與極小值，還涉及分析函數(shù)在各種約束條件下的極值［4］。這類問題在實(shí)際應(yīng)用中具有廣泛的意義，例如，在工程設(shè)計(jì)中優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)以提高性能，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最大化利潤(rùn)或最小化成本，以及在機(jī)器學(xué)習(xí)中通過(guò)優(yōu)化損失函數(shù)來(lái)提高模型的預(yù)測(cè)精度。多元函數(shù)的極值問題涉及偏導(dǎo)數(shù)、梯度、黑塞矩陣等高級(jí)數(shù)學(xué)概念，這些工具幫助我們更好地理解和解決復(fù)雜的優(yōu)化問題。因此，研究多元函數(shù)的極值問題不僅豐富了數(shù)學(xué)理論，也為其他學(xué)科提供了強(qiáng)有力的分析工具和方法。

求多元函數(shù)的極值，常規(guī)方法對(duì)函數(shù)求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)數(shù)等于零來(lái)得到極值點(diǎn)。但這樣做往往需要大量計(jì)算，利用線性代數(shù)中的二次型，可以為特定情況下求多元函數(shù)極值提供一個(gè)新的方法。

例2.已知x2+y2+z2=1，求xy-xz+2yz的極值。

解：令f（x，y，z）=xy-xz+2yz，則f可以寫成如下二次型：

f=（x，y，z）012-12

1201

-1210x

y

z=（x，y，z）Ax

y

z。

其中A表示二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣。由于實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以正交相似對(duì)角化，因此存在正交矩陣P使得A=Pdiag（λ1，λ2，λ3）P-1，其中λ1，λ2，λ3為矩陣A的三個(gè)特征值。解特征方程det（λI-A）=0得：

λ1=1，λ2=12"3-1，λ3=-12"3+1。

令x

y

z=PX

Y

Z，由于正交變換保持長(zhǎng)度，因此X2+Y2+Z2=1，且有：

f=（x，y，z）Ax

y

z=（X，Y，Z）PTAPX

Y

Z=λ1X2+λ2Y2+λ3Z2。

由于X，Y，Z滿足約束X2+Y2+Z2=1，因此f在X=1，Y=0，Z=0時(shí)取到最大值1，在X=0，Y=0，Z=1時(shí)取到最小值-12（"3+1）。

結(jié)語(yǔ)

本文介紹了線性代數(shù)在微積分、數(shù)列極限、微分中值定理、多元函數(shù)極值等高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，可以看到線性代數(shù)方法可以為這些問題提供新的解題思路。線性代數(shù)提供了多樣且有效的數(shù)學(xué)工具，通過(guò)合理利用這些工具，可以幫助我們更好地解決高等數(shù)學(xué)問題。這種課程交叉的方式可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和效率，值得推廣和嘗試。

參考文獻(xiàn)：

［1］王軍霞，郭艷鳳.“線性代數(shù)”教學(xué)改革的實(shí)踐和思考［J］.教育教學(xué)論壇，2023（27）：1720.

［2］梅紅.線性代數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.蚌埠學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，4（5）：2629.

［3］宋書宇.微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（36）：110112.

［4］蘇興花.多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用［J］.科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2012（11）：274.

項(xiàng)目基金：東莞理工學(xué)院校級(jí)一流課程（線上線下混合式一流課程）“復(fù)變函數(shù)與積分變換”（項(xiàng)目編號(hào)：202302036）

作者簡(jiǎn)介：余翔（1994—"），男，漢族，湖北黃岡人，博士研究生，講師，研究方向?yàn)榉蔷€性彈性力學(xué)。