“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)策略的探討

摘""要：本文通過分析“概率統(tǒng)計(jì)”課程的教學(xué)現(xiàn)狀，基于筆者的教學(xué)實(shí)踐，從引入應(yīng)用型案例、解析經(jīng)典概率問題、融入數(shù)學(xué)軟件及實(shí)驗(yàn)教學(xué)等方面對(duì)“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)策略進(jìn)行了一些探討。教師依據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容，以學(xué)生為中心，選擇最優(yōu)的教學(xué)策略。旨在激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，科學(xué)計(jì)算的能力和數(shù)據(jù)分析的能力，同時(shí)塑造社會(huì)主義核心價(jià)值觀。以期提高大學(xué)本科教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；教學(xué)策略；應(yīng)用型案例；實(shí)驗(yàn)教學(xué)

“概率統(tǒng)計(jì)”是理工類、經(jīng)濟(jì)管理類、農(nóng)林醫(yī)學(xué)類及生命科學(xué)等各專業(yè)領(lǐng)域的公用基礎(chǔ)課[1]。“概率統(tǒng)計(jì)”是研究和探索客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。它揭示了隨機(jī)現(xiàn)象背后的深刻邏輯，啟迪我們?cè)诓淮_定的世界中找到確定性。“概率統(tǒng)計(jì)”也是許多新發(fā)展的前沿學(xué)科的基礎(chǔ)，如控制論、可靠性理論、人工智能等。

1“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)現(xiàn)狀及存在的問題

隨著國家經(jīng)濟(jì)和高等教育事業(yè)的發(fā)展，社會(huì)對(duì)于應(yīng)用型復(fù)合人才的需求愈加強(qiáng)烈[2]。盡管“概率統(tǒng)計(jì)”是一門與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系十分緊密、具有廣泛應(yīng)用的學(xué)科，但是在實(shí)際教學(xué)中，這種與生活聯(lián)系的緊密性并沒有得到充分的體現(xiàn)和強(qiáng)調(diào)。學(xué)生做不到學(xué)以致用，缺少深入學(xué)習(xí)，在一定程度上抑制了學(xué)生的應(yīng)用能力，也束縛了學(xué)生的創(chuàng)新性思維。學(xué)生學(xué)完課程之后，只留下了“概率統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容很難、公式很多的印象。無法為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供有效的支撐，也未達(dá)到培養(yǎng)復(fù)合型人才的要求。

目前的“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)還是以已有的數(shù)學(xué)知識(shí)體系以及計(jì)算技巧為主要教學(xué)內(nèi)容。忽視概念、方法的形成過程。導(dǎo)致學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣不高，驅(qū)動(dòng)力不足。

“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)，應(yīng)該以學(xué)生為中心。無論是教學(xué)設(shè)計(jì)還是教學(xué)實(shí)施應(yīng)當(dāng)更多地關(guān)注學(xué)生的需求、興趣與參與，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。然而實(shí)際上一部分教師仍然在進(jìn)行單向的知識(shí)輸出與傳授，在唱“獨(dú)角戲”。在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生參與度不夠，學(xué)習(xí)的熱情沒有被激發(fā)出來。課程教學(xué)中“立德樹人”融入的力度不夠，思政元素融入不足，不能讓學(xué)生在掌握知識(shí)、提高技能的過程中形成優(yōu)秀的品質(zhì)和健全的人格。

2教學(xué)改革策略

為了改進(jìn)“概率統(tǒng)計(jì)”課程的教學(xué)現(xiàn)狀，可以采取一系列教學(xué)策略的改革。

（1）加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。適時(shí)引入有實(shí)際背景的應(yīng)用型案例，通過分析、解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的能力。讓學(xué)生親歷定義、定理及方法的建構(gòu)過程，激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的高品質(zhì)思維和深度學(xué)習(xí)。

（2）注重思政元素的滲入，將課程思政貫穿在整個(gè)教學(xué)過程中。利用結(jié)合時(shí)事政治的熱點(diǎn)問題，引起學(xué)生的共鳴和思考，塑造學(xué)生的社會(huì)主義核心價(jià)值觀。

（3）將有趣的經(jīng)典概率問題，設(shè)計(jì)成小實(shí)驗(yàn)或小游戲，讓學(xué)生參與其中，通過親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的神奇和魔力，點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和自覺性。

（4）枯燥繁冗的數(shù)據(jù)計(jì)算讓學(xué)生提不起興趣，在“概率統(tǒng)計(jì)”課程中，融入數(shù)學(xué)軟件及實(shí)驗(yàn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)計(jì)算的能力和數(shù)據(jù)分析的能力。

3教學(xué)實(shí)踐與探索

3.1"分析實(shí)際案例，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力

數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用的脫節(jié)會(huì)限制學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和創(chuàng)造性。在學(xué)習(xí)完概率論的基本理論、公式和方法后，適時(shí)引入有實(shí)際背景的應(yīng)用型案例，用實(shí)際問題貫穿于課堂教學(xué)，讓學(xué)生知曉“概率統(tǒng)計(jì)”確實(shí)與生活息息相關(guān)的，是“有用的”和“有趣的”。不僅將知識(shí)融會(huì)貫通，還能學(xué)以致用，提高學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的能力。通過感知數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體悟概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值和魅力。

以貝葉斯公式的教學(xué)為例。貝葉斯公式是“持果索因”的過程[3]，它是“概率統(tǒng)計(jì)”課程中的一個(gè)很重要的公式，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)家John"Craven利用貝葉斯公式，找到了核潛艇“天蝎號(hào)”的殘骸。

教師介紹了實(shí)際背景后，接著提出問題：John"Craven是怎么做到的呢？貝葉斯公式又是如何發(fā)揮作用的呢？通過下面與之相似的“空難搜救問題”，便可以一探究竟。

【空難搜救問題】一架飛機(jī)墜落在甲、乙、丙、丁四個(gè)區(qū)域之一，搜救部門判斷其概率分別為0.3，0.2，0.4，0.1。現(xiàn)打算逐個(gè)搜索這些區(qū)域，如果在甲、乙、丙、丁四個(gè)區(qū)域有飛機(jī)殘骸，被搜救部門發(fā)現(xiàn)的概率分別為0.8、0.75、0.9、0.8。"請(qǐng)問

1. 首先應(yīng)該搜索哪個(gè)區(qū)域？（丙區(qū)域，當(dāng)前概率最大）
2. 如果搜索該區(qū)域后，沒有發(fā)現(xiàn)殘骸，在這種情況下飛機(jī)墜落在甲、乙、丙、丁四個(gè)區(qū)域的概率應(yīng)該修正為多少呢？（用貝葉斯公式可以算出后驗(yàn)概率分別為0.353，0.294，0.236，0.117）
3. 如果搜救部門展開第二次搜索，應(yīng)該搜索哪個(gè)區(qū)域？（甲區(qū)域，當(dāng)前概率最大）
4. 如果第二次搜索后，仍然沒有發(fā)現(xiàn)殘骸，又當(dāng)如何？（繼續(xù)使用貝葉斯公式算出后驗(yàn)概率，第三次搜索，應(yīng)搜索乙區(qū)域）

教師采用問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，針對(duì)問題（1）→（2）→（3）→（4）逐層提問，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)進(jìn)行分析、研究問題，逐步去接近、認(rèn)識(shí)和把握事件概率的變化：先驗(yàn)概率→后驗(yàn)概率→先驗(yàn)概率，進(jìn)而得到問題的答案。

教師總結(jié)：此題目（4）的做法，是把上一輪的“后驗(yàn)概率”當(dāng)作“先驗(yàn)概率”，迭代到貝葉斯公式中，形成一個(gè)新的開始，如此周而復(fù)始。這種方法就是所謂的“貝葉斯方法”。美國數(shù)學(xué)家John"Craven就是利用貝葉斯方法找到了“天蝎號(hào)”核潛艇的殘骸。首先選擇“天蝎號(hào)”存在可能性最高的一塊區(qū)域搜索，若未發(fā)現(xiàn)其殘骸，則選擇新的“最可疑區(qū)域”進(jìn)行搜索，如此繼續(xù)直到找到為止。

接下來教師介紹貝葉斯方法在現(xiàn)實(shí)中的廣泛應(yīng)用：貝葉斯方法的強(qiáng)項(xiàng)不僅僅在搜索領(lǐng)域，它在醫(yī)療領(lǐng)域、藥劑檢測(cè)、無線通信和信號(hào)處理領(lǐng)域、經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域、人工智能等方面都發(fā)揮著重要作用。

最后教師可以給學(xué)生布置相關(guān)作業(yè)“查找關(guān)于貝葉斯方法的應(yīng)用案例，了解其中的數(shù)學(xué)原理，并形成小論文”?；蛘咴谙麓紊险n時(shí)，由學(xué)生自已講述所找到的案例，鼓勵(lì)學(xué)生積極展開辯論或討論，鍛煉語言表達(dá)能力，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，鍛煉其查閱文獻(xiàn)資料獲取信息的科研能力。

數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合會(huì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和創(chuàng)造性。利用應(yīng)用型案例，讓學(xué)生參與到教學(xué)活動(dòng)中，不僅可以培養(yǎng)實(shí)踐能力，還能激發(fā)學(xué)習(xí)和探究的欲望，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，主動(dòng)探索、努力進(jìn)取的精神，以及追求真理的科學(xué)態(tài)度。

3.2"滲透思政教育，塑造核心價(jià)值觀

“概率統(tǒng)計(jì)”課程的育人目標(biāo)，不僅僅是知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)，更是價(jià)值觀的塑造?！案怕式y(tǒng)計(jì)”課程中蘊(yùn)含著豐富的思政元素。例如，“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，小概率事件必然發(fā)生”，反映了量變積累產(chǎn)生質(zhì)變的辯證關(guān)系，說明了“不積硅步無以至千里，不積小流無以成江?！钡牡览?。鼓勵(lì)學(xué)生做事情要注重點(diǎn)滴的積累，從小事做起，堅(jiān)持不懈，積少成多。文獻(xiàn)[4]從政治認(rèn)同、國家意識(shí)、文化自信等方面設(shè)計(jì)了思政案例。

“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中很多重要的概念、定理與方法，都來自于實(shí)際問題的解決。這些概念、定理與方法的形成過程，蘊(yùn)涵豐富的哲學(xué)思想和自然辯證法。但是，這些內(nèi)容本身所使用的數(shù)學(xué)語言描述卻是抽象晦澀、難于理解的。如果單純理論講解，就過于干癟、枯燥，不足以吸引眼球，學(xué)生興趣不高，不利于理解和掌握。反之，如果使用生動(dòng)的、貼近生活的實(shí)際問題來導(dǎo)入，尤其是結(jié)合時(shí)事政治或社會(huì)熱點(diǎn)的問題，再通過教師深入淺出、循循善誘的啟發(fā)式教學(xué)，穿插哲學(xué)思想和辯證思維，融入社會(huì)主義核心價(jià)值觀，就可以讓抽象的概率知識(shí)變得鮮活、易懂，在引起學(xué)生興趣，激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情的同時(shí)，還能啟迪學(xué)生積極思考。

以“隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望”概念引入為例。教師采用情景式教學(xué)，讓學(xué)生先觀看一段奧運(yùn)比賽的短視頻，然后提出問題。

【問題】2024年7月29日，在法國巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國運(yùn)動(dòng)員盛李豪奪得“男子10米氣步槍決賽”冠軍并且打破奧運(yùn)會(huì)記錄。盛李豪共射擊24槍，各槍命中環(huán)數(shù)如下：

10.6""10.8""10.8""10.6""10.6""10.6""10.5"""10.2""10.4"""10.7""10.3"""10.4

10.8""10.9""10.9""10.7""10.4""10.0""10.5"nbsp;"9.8"""10.7""""9.9""10.5"""10.6"，

請(qǐng)問盛李豪射擊的平均環(huán)數(shù)是多少？

解："平均環(huán)數(shù)

接下來教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行深入分析，讓學(xué)生以知識(shí)發(fā)現(xiàn)者的身份自已得出新的概念[5]。設(shè)隨機(jī)變量X表示射擊命中的環(huán)數(shù)，xk表示隨機(jī)變量X可能的取值，為事件{"X"="xk}發(fā)生的頻率。經(jīng)過計(jì)算得到的平均環(huán)數(shù)是以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)。此時(shí)教師啟發(fā)學(xué)生回憶頻率的二特性：試驗(yàn)次數(shù)n不是很大時(shí)，頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性，導(dǎo)致平均環(huán)數(shù)也具有隨機(jī)波動(dòng)性；而當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)頻率又具有穩(wěn)定性。波動(dòng)性反映的是事物偶然性的一面，穩(wěn)定性反映的是事物必然性的一面。偶然中蘊(yùn)含必然，必然中也蘊(yùn)含偶然，二者既對(duì)立又統(tǒng)一。隨著事件的頻率穩(wěn)定于事件的概率pk，平均環(huán)數(shù)穩(wěn)定于。于是得到了以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)，它是一個(gè)常數(shù)，就將它定義為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，也稱為均值。

教師隨后將教學(xué)過渡到對(duì)中國奧運(yùn)精神的探討。盛李豪的成功離不開祖國的培養(yǎng)，也離不開他數(shù)年如一日的勤奮努力。歷經(jīng)數(shù)百萬次舉槍、瞄準(zhǔn)和射擊，經(jīng)過漫長的過程，最后他獲得登頂后的喜悅、豪邁和榮耀。中國奧運(yùn)精神是奮發(fā)圖強(qiáng)、超越平凡、挑戰(zhàn)自我的拼搏進(jìn)取精神。

3.3"探討概率經(jīng)典問題，感悟數(shù)學(xué)的神奇與震撼

“概率統(tǒng)計(jì)”中有很多經(jīng)典問題，比如“生日問題”“三門問題”“貝特朗悖論”等等。這些隨機(jī)問題充滿趣味性，而且與人類的直覺相悖，引人探究和深思。將這些問題設(shè)計(jì)成小實(shí)驗(yàn)或小游戲，讓學(xué)生參與其中，親身體驗(yàn)到隨機(jī)世界的神奇、震撼與魅力，然后再用數(shù)學(xué)的途徑去探索驗(yàn)證答案，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋事物的本質(zhì)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情與激情，課堂上學(xué)生就會(huì)有更愉悅的心情以及更活躍的思辨能力。

以生日問題為例。假設(shè)一年是標(biāo)準(zhǔn)的365天，在地球上隨機(jī)挑選兩個(gè)人，他們?cè)谕惶爝^生日的概率大約是0.274%。對(duì)于一個(gè)規(guī)模不算大的23人的群體，“至少有兩人同一天生日”的概率大約是50.7%，很多人可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)概率應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于50%，但實(shí)際上這個(gè)概率大于50%，出乎意料的高于直覺。因?yàn)榕c我們的直覺相悖，所以這個(gè)現(xiàn)象被稱為“生日悖論”。隨著人數(shù)的不斷增加，“至少有兩人同一天生日”的概率也不斷增加。

教師在提出“生日問題”的時(shí)候，不要急于公布答案，而是先讓學(xué)生根據(jù)直覺，對(duì)“全班60名學(xué)生中至少有兩人生日相同”的可能性大小進(jìn)行猜測(cè)，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。接下來進(jìn)入學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié)，在微信群或QQ群中，讓學(xué)生按照從一月到十二月的先后次序，分別寫出自已的生日。經(jīng)過簡單地統(tǒng)計(jì)，學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，確實(shí)有兩人甚至三人同一天生日，并且可能不止一組。對(duì)于這樣的結(jié)果，學(xué)生覺得不可思議。

在學(xué)生的好奇與質(zhì)疑中，再用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)計(jì)算，“全班60名學(xué)生中至少有兩人生日相同”的概率為

它確實(shí)是一個(gè)接近于1的相當(dāng)大的概率。在一次試驗(yàn)中，大概率事件幾乎必然發(fā)生。

用數(shù)學(xué)的思維理解世界，正是數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)之一。通過對(duì)“概率統(tǒng)計(jì)”經(jīng)典問題的研究，提高學(xué)生的科學(xué)探究意識(shí)，幫助學(xué)生透過現(xiàn)象去認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)。

3.4"融入數(shù)學(xué)軟件及實(shí)驗(yàn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)計(jì)算的能力

在“概率統(tǒng)計(jì)”課程中可以結(jié)合不同的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)。教師需要提前制作數(shù)學(xué)軟件操作手冊(cè)，發(fā)放給學(xué)生。教師在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行指導(dǎo)性教學(xué)，以學(xué)生動(dòng)手為主，教師適當(dāng)輔導(dǎo)。

“概率統(tǒng)計(jì)”課程可以用Excel、Matlab、Python、SPSS、SAS、STATA、R語言等軟件作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)類型有演示性實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)、模擬性實(shí)驗(yàn)、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)等等。實(shí)驗(yàn)課題有：隨機(jī)變量的分布、隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算、蒲豐投針實(shí)驗(yàn)?zāi)M、中心極限定理的模擬、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)與估計(jì)、回歸分析與方差分析[6]等等。

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，使學(xué)生擺脫了枯燥繁冗的數(shù)據(jù)計(jì)算，不僅可以提高“概率統(tǒng)計(jì)”課程學(xué)習(xí)的質(zhì)量，也培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)計(jì)算與數(shù)據(jù)處理的能力，為將來參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽做好鋪墊，使學(xué)生能更好地適應(yīng)未來的工作和科研環(huán)境。

結(jié)語

本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，從四個(gè)方面對(duì)“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中的策略做了探討：引入應(yīng)用型案例、滲入課程思政元素、解析經(jīng)典概率問題、融入數(shù)學(xué)軟件及實(shí)驗(yàn)教學(xué)。教學(xué)策略是多種多樣、豐富多彩的，教師應(yīng)當(dāng)依據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容，以學(xué)生為中心，選擇最優(yōu)的教學(xué)策略，以期提高教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

• 孫毅，高彥偉，張靜.大學(xué)數(shù)學(xué)：隨機(jī)數(shù)學(xué)[M].4版.北京：高等教育出版社，2021．
• 陳艷麗，秦麗娟，史戰(zhàn)紅，等.基于學(xué)生需求的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)策略優(yōu)化[J].吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，"33"（03）：87-90.
• 張琦.談貝葉斯公式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2024，"63（08）"：23-28.
• 張宇，姜雄，李芳芳.基于課程思政理念的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例設(shè)計(jì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2024，"40"（03）：114-122.
• 孫鴻雁，趙明，王翠香.以學(xué)生為中心的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)創(chuàng)新和實(shí)踐[J].高教學(xué)

刊，2024"（16）：107-110.

• 李輝來，朱本喜，劉明姬.大學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)驗(yàn)[M].3版.北京：高等教育出版社，2021．

作者簡介：李立明（1975—""），女，漢族，吉林四平人，碩士研究生，副教授，研究方向?yàn)槲⒎址匠獭?/p>