素養導向下學生代數思維培育的不同視角分析與實施路徑

當前，在小學階段“數與代數”領域的學生代數思維培育呈現以下問題：第一，小學階段算術思維對學生的影響較大，學生要實現從算術思維到代數思維的跨越比較困難。第二，不同層次的學生顯現出的代數思維水平具有差異性，但總體的代數思維水平處于低層次、弱結構狀態。第三，越是代數思維水平層次高的學生，隨著年級的升高，他們的抽象概括能力越強，能夠選用恰當的字母或符號進行表征的方式越豐富。第四，部分教師忽視對學生進行代數思維的早期滲透和孕伏，導致學生在數學學習過程中很少有機會體會代數思維，后續出現初中代數學習的思維斷層和無銜接狀態。基于此，筆者從三個視角對小學數學代數思維培育情況進行分析，并提出了代數思維培養的實施路徑。

一、小學數學代數思維培育情況的不同視角分析

（一）從代數歷史發展視角解析

東北師范大學史寧中教授指出，代數學的發展大致經歷三個主要階段：第一個階段，修辭代數階段。公元三世紀之前，也就是丟番圖以前的時期，完全用文字語言描述求解特定的問題，沒有出現符號表示未知量。第二個階段，省略代數階段。由丟番圖首次引進字母代表常出現的量和運算，簡化文字表達的內容和過程，但這一時期仍然是算術思維。第三個階段，符號代數階段。被譽為“代數學之父\"的法國數學家韋達首次系統使用字母表示已知量、未知量，字母可以像數一樣進行運算，推動代數學的重大進步，這才是代數學研究的真正開始。由此可以看出，從修辭代數到符號代數經歷了漫長的演變歷程。所以，小學生要從對算術中具體數的操作思考轉變成對代數中符號的認識思考，但這具有一定的挑戰和困難。

（二）從課程內容編排視角研析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”在“數與代數\"領域調整了《義務教育數學課程標準（2011年版）》中培養代數思維的內容載體，將方程、反比例等內容后移到初中部分，分學段提出了代數思維培育的具體教學要求（見表1）。

（三）從兒童認知心理發展剖析

算術思維的主要對象是數及其運算，它是由程序思維來刻畫的，著重通過數的運算得到一個具體的答案。而代數思維的主要對象除了數，還有更廣泛的基本對象，即符號及其運算與變換。其本質是關注整體結構特征，對結構或關系進行描述分析與概括運用，重在關系符號化的表達。學生從算術思維到代數思維的過渡，需要從對具體的數學符號的思考理解進行轉變，學生的思維層次要實現從具體到抽象、從特殊到一般、從程序到結構的跨越。這對長期運用程序性、計算性思維方式解決問題的小學生來說，是一次重大的挑戰與突破。

從課程內容分段目標要求來看，小學第三學段“數量關系”主題中有關“字母表示數”的學習，標志著代數思維的萌芽，字母是數的更高層次的抽象，學生的數學學習逐步從理性具體上升到理性一般的層級，這是學生后續第四學段初中代數學習的重要基礎。可見，小學、初中在“用字母表示數\"這一課程內容要求上加強了學段銜接，體現課程內容的整體性、連續性和進階性。

在小學數學教學中，教師要有啟發學生代數思維的意識，明晰培養學生代數思維的路徑，進而抓住代數思維啟蒙的關鍵點，實現學生從算術思維到代數思維的轉變跨越。

二、小學數學代數思維培育的實施路徑

（一）挖掘代數思維因子，體現結構模式

在小學數學教學中，教師要善于觀察、捕捉、識別算術中蘊含的代數思維，養成用“代數的思維方式\"關注隱含的、更深層的數學結構解決問題的意識和習慣。這既體現“算術的程序或步驟”，又呈現“代數的關系或結構”。具體表現為：第一學段提前孕伏，第二學段滲透過渡，第三學段初步概括，做到整體梳理、分段滲透，將課程鏈前后連貫一致起來。例如，在一年級“認數\"時，經常會遇到這樣的填數問題：請從5開始，連續寫出三個自然數。在學生填寫的結果是5，6，7時，很多教師的教學到此為止了。顯然，這樣的學習僅停留在獲取某個結論或答案上，學生獲得的僅僅是認數的程序性知識。教師應深入挖掘其中蘊含的數值推理過程，合理關注學生在數值推理過程中的學習表現，從而了解學生所使用的推理策略和思維水平層次并有針對性地進行長期培養。教師可以通過“你能用不同的方式表示這三個數嗎？”這一核心問題開啟學生代數思維生長的新起點，展示學生不同表示方式，如 5，5+1，5+2;7-27-1，7或 6-1，6，6+1 ，這些方式不僅表示出結果，更使他們看到了6，7這兩個數與5之間的結構關系。

在教學中，教師除了關注學生常規的算術思維外，還應關注數里面隱含的代數關系與結構，要能夠提取出關鍵的數字，著重思考這三個數之間的關系結構。這是探索數模式的重要載體，更是第一學段學生代數思維生長的重要起點。

這個結構模式隨著學生數的學習范疇的不斷擴大，還可以進一步一般化。例如，在認識多位數489，490，491，492，493；認識小數3.5，4，4.5；學習用字母表示數，5個連續的偶數，中間數是 a ，其他數各是多少，它們的和是多少都具有相似的代數關系和結構模式。所以，教師運用整體視角清楚識別代數的核心思想，做好學段間的勾連銜接，能更好地為學生后續的初中代數學習打下基礎。

（二）理解等號的雙重意義，聚焦關系思維

等號作為數學等價標志的一個重要符號，是發展第一學段學生由算術思維向代數思維轉化的一個關鍵因素。在以往的學習中，部分教師通常將等號描述為運算的結果，而事實上，第一學段學生對等號的學習要理解并建構其具有的雙重功能，等號象征著等式兩邊所表示的表達式或量相等。所以，等號的學習應讓學生體會它從連接運算結果到標志一種平衡關系再到表示等價關系，這種關系型意義的迭代升級是學生從算術思維到代數思維的逐級轉變，能促進學生思維從“運算性理解”向“關系性理解”發展，同時為初中深入學習方程和不等式奠定基礎。

理解“等號\"表示相等關系對一年級學生來說是一個難點。所以，在教學中，教師要根據低年段學生的年齡特點，充分利用并創造平衡材料，在直觀學習工具的支持下，滲透等號的雙重意義，加深學生對等號等價意義的理解。例如，認識等號時，教師可以布置任務：天平的左右兩邊放了一些積木，天平不平衡了，你能想辦法讓天平變平衡嗎？（如圖1）請用一個算式表示你的想法。

方法一：在天平右盤里增加2個方塊，天平就平衡了，算式是 3=1+2 。

方法二：在天平左盤里減少2個方塊，天平也平衡了，算式是 3-2=1 。

方法三：在天平左盤拿走1個方塊，在天平右盤增加1個方塊，天平也能平衡，算式是 3-1=1+1 。

方法四：在天平左盤增加1個方塊，在右盤增加3個方塊，天平也可以平衡，算式是 3+1=1+3 。

學生交流發現：只要右盤比左盤同時多放2個方塊，如 3+4=1+6 ，天平就可以平衡。

教學時，教師借助天平模型，通過直觀操作和深入辨析，幫助學生獲得“等價\"的直觀體驗，打破學生固有的\"算式在左，結果在右，等號是表示結果輸出符號”的思維定式。在多次“變相等\"的挑戰性活動中，學生經歷從不相等到相等的充分體驗，寫出形如 a+b=c，c= a+b，a+b=c+d 等形式的等式，進一步豐富對等號“基礎的關系型\"和“互相比較的關系型\"的認識。借助天平這一學習載體，學生在具身體驗過程中直觀感受、累積“相等的數才能構成等式、兩邊總和相同才能構成等式\"的學習活動經驗，這些學習經驗將是學生理解等號等價意義的重要啟蒙點和思維生長點。

（三）關注算式結構性質，培養一般化思考

學生代數思維的培養不是一蹴而就的。教學時，教師要在各個學段予以加強，特別要重視代數思維的早期孕育。將蘊含的數量關系和變化規律一般化，是代數思維的核心。數學家卡帕特認為，代數思維可以看作四種核心實踐，即對數學的結構與關系進行一般化推廣、表示、論證與推理。教學時，教師要精心設計學習活動，讓學生經歷“一般化\"的過程，從而發展學生符號意識，培養學生代數思維。在小學數學中，算式的結構與性質體現在各種運算律和運算性質的發現上，如學習“加法交換律\"時，依托現實情境得到一組加法算式特例： 25+32=57，32+25=57?25+32=32+25 。教師還應鼓勵學生照樣子仿寫，在交流討論中初步發現規律\"兩個加數交換位置，和不變”。在發現現象、提出猜想的基礎上，教師引發學生深人思考“為什么交換加數的位置，和不變？\"引導學生借助生活事例來解釋說明自己的發現，即“在把兩部分合成一個整體的過程中，雖然順序不同，但總和始終不變”（如圖2）。

學生圍繞關鍵問題進一步思考\"這個規律是不是總是成立？如果成立，該如何表達這個規律？”學生在自主多元表征的基礎上，歸納概括字母式 a+b=b+ α_a ，并將字母表達式與具體數的表達式進行對比，體會字母表示的一般性，即字母a，b可以用來表示任意兩個數。學生在“仿寫算式一舉出實例一發現規律一表征論證一歸納概括”的學習過程中，充分經歷“事理”“算理\"兩重視角的解釋推理，經歷加法交換律一般化的概括與表示，促進思維水平從直觀具體到抽象符號化的躍升，滲透代數思維的培育。

（四）注重尋找模式表達，滲透函數思想

尋找模式表達是指通過讓學生觀察規律來培養他們的函數思想。尋找模式表達，滲透函數思想的內容主要有第一、二學段中的\"整理加（減）法表\"“找規律”等，第三學段中的“看圖找關系”“正比例”等。函數思想其本質是通過數學模型的建立，將復雜的現實問題關系簡明化，同時抽象為明確的數量對應關系，深刻揭示事物動態變化中的規律和不變性。小學階段的概念、公式、規律、數量關系中都蘊含著豐富的函數思想，通過多元表征培養學生的函數思想，能為初中函數概念和性質的學習做好小初銜接。

在教學“正比例\"時，“相關聯的兩個量”“比值一定”是兩個重要的核心概念。教師可以利用課前布置的“收集生活中一個量隨另一個量變化而變化\"的例子，設置情境比較任務，引導學生圍繞“每個情境中的兩個相關聯的量是怎么變化的”這一核心問題展開思考，對獲得的相關信息進行解讀辨析、探究交流，從而明晰兩個相關聯的量之間的變化關系，為理解正比例意義提供經驗素材。

任務一：姐姐和妹妹的年齡變化情況如下。

學生發現：橫著看，妹妹年齡每增加1歲，姐姐年齡也增加1歲；豎著看，姐姐年齡總是比妹妹大10歲，用\"姐姐年齡-妹妹年齡 =10^′ 表示。

任務二：媽媽買同一種草莓，購買草莓的數量和總價如下。

學生發現：橫著看，數量每增加1盒，總價就增加15元；豎著看，總價/數量=單價，這個情境中的單價是相等的。

任務三：正方形的周長與邊長的變化情況如圖3。

發現：橫著看，邊長每增加 1cm ，周長都增加 4cm ；豎著看，周長/邊長=4 ，所以畫出來是如圖3中的這樣一條直線。

任務四：正方形的面積與邊長的變化情況如圖4。

學生發現：橫著看，邊長由1到2時面積增加3cm² ，邊長由2到3時面積增加 5cm² ，邊長3到4時面積增加 7cm² ；豎著看， 看，面積/邊長=邊長，由于邊長在不斷變邊長化，所以面積與邊長的比值不是一定的，所以畫出來的圖不是一條直線。

學生根據四組典型案例的對比辨析，借助列表或畫圖的方法多角度關聯分析圖表中量的對應和變化情況，從兩個量的“變\"中看到“不變”，探索成正比的量的變化規律和變化趨勢，從而正確理解正比例的意義。同時，將圖表語言、文字語言和符號語言進行靈活轉化，判斷兩個量是否成正比例，在多重表征的轉化中，建立正比例關系的結構模型。這樣，能促進學生從算術思維走向代數思維，為初中進一步學習反比例函數、方程及其他函數奠定基礎。

（五）運用數量關系推理，發展代數推理

數量推理對兒童早期代數思維能力培養有著重要作用，主要包含建立等量關系、表征等量關系和推理等量關系的過程。代數的本質是符號表示，小學階段“字母表示數”，是培養學生符號意識、發展代數思維的重要內容。通過符號意識、符號運算實現一般化代數思維的過程，從而實現表示、論證和推理的代數思維發展。代數推理是發展代數思維的重要路徑。教學時，教師要依循學生代數思維的生長過程，循序漸進、整體設計。新課標中將方程調整到初中階段學習，同時加強小學階段用字母符號表示數量、關系和一般規律，知道用符號表達的運算規律和推理結論具有一般性，會用字母符號作為數學對象去計算和推理，體會字母符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式。這樣調整課程內容，有利于發展學生代數思維，使得數學思考更為深入。

例如，五年級學生在學習用字母表示關系，體會字母參與運算時，有如下教學案例。

師：在以前學習中我們知道，任意兩個奇數相加，和是偶數。你會怎樣說明這個結論？

生：我用舉例的方法，發現“任意兩個奇數相加，和是偶數。”如 1+3=4，3+9=12，5+21=26…

生：我用舉例的方法，發現“兩個相同的奇數相加，和是這個奇數的2倍，是偶數。”如 1+1=1×2，3+3= 3×2，5+5=5×2……

生：我用畫圖的方法。

學生發現：第一個圖形中有1個方格，第二個圖形中有 1+2 個方格，第三個圖形中有 1+2+2 個方格，第四個圖形中有 1+2+2+2 個方格。任意兩個方格圖相加，和可以表示成 1+1+2+2+2+… 的形式，正好是2的倍數，所以和一定是偶數。

生：我用字母式相加的方法，用 2n+1 表示奇數，那么 2n+1+2n+1=4n+2，4 是偶數，所以 4n 是偶數， 4n+2 一定也是偶數。

生：我用字母式推理得出“任意兩個奇數相加，和是偶數。”用 2n-1 表示一個奇數，用 2m+1 表示另一個奇數， 。

師：因為 是2的倍數，所以它一定是偶數，所以“任意兩個奇數相加，和一定是偶數”。

學生由具體數字列舉、直觀圖例到符號運算后的說理驗證，經歷從不完全歸納的合情推理到字母運算的演繹推理過程。這里的字母式運算都是依據運算律進行的推理，字母符號具有高度的抽象概括性。所以，用字母參與運算和推理所得到的結論也具有一般性，蘊含了代數思維。學生從舉例說明、畫圖表征等簡單特例的說理過程，推演到用字母對算式結構進行符號表征、說理分析，可以逐步感受到字母可以像數一樣去計算、推理，發現“任意兩個奇數的和”都可以用 2× □這樣的結構模型表示，得出“和一定是偶數”的結論。在這樣的學習過程中，學生的思維從具體直觀逐步走向抽象概括，產生“一般化”的學習需求，同時實現從程序性思維到結構化思維的轉換，不斷提升學生思維的抽象水平，體會符號表達的一般性，發展學生的代數推理能力。

參考文獻：

[1]張丹，于國文.問題引領數學學習：內涵與實踐策略[M].北京：教育科學出版社，2021.

[2]路易斯·雷德福，張亞楠，黃興豐.兒童符號代數思維的萌芽[J].小學數學教師，2019（3）.

（責任編輯：楊強）