基于機構轉化的平面機構速度分析

中圖分類號：TH16 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.005

0 引言

對平面機構進行運動分析，無論是設計新的機械，還是了解現有機械2的運動性能，都是十分必要的。典型的機構運動分析方法有矢量法、型轉化法和桿副約束法等。DIGREGORIO[5-利用速度系數矢量和加速度系數雅可比矩陣來解決單自由度和多自由度平面機構運動學分析問題。

矢量法是列出機構運動的矢量方程，可用圖解法和解析法作機構的運動分析。在機構分析中常遇到兩類問題：第一類問題為同一構件上兩點間的速度求解；第二類問題為以移動副相連的兩個轉動構件上的重合點間的速度求解[7]35-49[8[]82-86[1]。對于第二類問題，可能直觀地認為所選取兩構件的重合點并沒有接觸，對所列矢量運動方程較難理解。

本文以Ⅱ級基本桿組[21-24為研究對象，采用機構轉化法分析它們的運動，列出它們的運動矢量方程，對它們進行速度分析。

1平面低副機構轉化法速度分析

對平面低副機構的組成進行分析，可把平面機構拆分成原動件和基本桿組[]。基本桿組可分為兩類：全部由轉動副組成的基本桿組和由轉動副、移動副組成的基本桿組。對全部由轉動副組成的基本桿組進行速度分析時，在做平面運動的構件上施加反轉運動（反轉法）使其靜止；對于含有移動副的基本桿組，也在做平面運動的構件上施加反向運動使其靜止，這使得平面運動的構件與其相鄰的構件就構成了3副構件。

本文以Ⅱ級組為研究對象，其類型如圖1所示，分別為RRR、RPR、RRP、PRP、PPR（R為轉動副；P為移動副）。

對圖1中的基本桿組采用機構轉化后，列出速度矢量方程，并用矢量圖來表示。

1.1RRR基本桿組機構轉化法速度分析

已知平面四桿機構[RRRⅡ級桿組，見圖1（a）]所有的幾何尺寸，構件1以角速度 沿逆時針方向轉動。為了求出構件3的角速度 ，需要先求出 C 點的速度 ；基于 c 點列出的運動矢量方程（正解）[圖2（a）]為

式中， 、 分別為 B 點的速度和 C 點相對于 B 點的相對速度。圖2中構件2的角速度為 。

為求出 C 點的速度 ，也可以基于 B 點列出運動矢量方程（反解）[圖2（b）]，即

式中， 為 B 點相對于 C 點的相對速度。

機構轉化的基本原理：如圖3（a）所示，拆除原動件1和機架4，構件2和3構成RRRⅡ級桿組，構件2做平面運動；在構件2上施加一個角速度 ，這使得構件2和3成為了3副構件，如圖3（b）所示。

機構轉化后，構件2的角速度 為

（b）3副構件上 B 點的轉化速度

（c） B 點相對于點 c 的轉化相對速度 （204

3副構件上 B 點的轉化速度 為

式中， 為 B 點到 D 點的距離；下同。

B 點相對于 C 點的轉化相對速度 為

式中， 為構件2的長度，如圖3（c）所示。

如圖3（d）所示， B 點處的速度是3副構件上B點的轉化速度 和其相對于 C 點的轉化相對速度 的合成， 為

如圖4所示，由 B 點處的速度計算構件3的角速度 ，即

且 D E 的長度 是個定值。

下面證明式（7）的正確性，兩個 和Δ B D C [ 圖3（d）]中，由于 和 ∠ C B D ，所以， ，則式（7）成立。

將式（7）簡化為

根據式（8），構件3的角速度 用計算機編程可快速計算得出。

構件2的角速度 為

1.2RPR基本桿組機構轉化法速度分析

如圖5所示，已知平面四桿機構[RPR I 級桿組，圖 1 （ b） ]所有的幾何尺寸，構件1以角速度 沿逆時針方向轉動，求構件3的角速度 。

機構轉化的基本原理：如圖7（a）所示，拆除原動件1和機架4，構件2和3構成RPRⅡ級桿組，構件2做平面運動。所以，在構件2上施加構件2相對于構件3的相對速度 ，使得構件2和3成為3副構件。

γ 是構件2和3的夾角，如果 ，當構件1逆時針方向轉動時，構件2和構件3所處的平面位置不容易確定。所以，在使用機構轉化速度法求解構件3的角速度前要優先解決這個問題。具體的方法如圖6所示，過 D 點作 D E ⊥ B C ， E 點也是構件3上的點，

3副構件上 B 點的轉化速度 為

在 、 組成的三角形中，利用正弦定理，則相對速度 、構件3的角速度 分別為

對式（10）、式（11）分別化簡，有

1.3RRP基本桿組機構轉化法速度分析

如圖8（a）所示，已知平面四桿機構[RRPⅡ級桿組，見圖1（c）]所有的幾何尺寸，構件1以角速度 沿逆時針方向轉動，求構件3的速度 。

動件1和機架4，構件2和3構成PRPⅡ級桿組，構件2做平面運動。所以，在構件2上施加構件2相對于構件1的速度 ，這使得構件1和2成為3副構件，則 C 點的轉化速度為

機構轉化的基本原理：如圖8（b）所示，拆除原動件1和機架4，構件2和3構成RRPⅡ級桿組，構件2做平面運動。所以，在構件2上施加構件2相對于構件1的角速度 ，使得構件1和2成為3副構件，則 C 點的轉化速度為

式中， 為A點到 C 點的距離。

在 中利用正弦定理，則構件3的速度 為

式中， 為構件3上轉動副至移動副導路的距離。

構件2的角速度 為

1.4PRP基本桿組機構轉化法速度分析

如圖9（a）所示，已知平面四桿機構[PRPⅡ級桿組，見圖1（d）]所有的幾何尺寸，構件1以角速度 沿逆時針方向轉動，求構件3的速度 。

機構轉化的基本原理：如圖9（b）所示，拆除原

在 中利用正弦定理，則構件3的速度 為

構件2相對于構件1的速度 為

1.5PPR基本桿組機構轉化法速度分析

如圖10（a）所示，已知平面四桿機構[PPRⅡ級桿組，見圖1（e）]所有的幾何尺寸，構件1以角速度 沿逆時針方向轉動，求構件3的角速度 、構件2相對于構件1的速度 、構件3相對于構件2的速度 。

機構轉化的基本原理：如圖10（a）所示，拆除原動件1和機架4，構件2和構件3構成PPRⅡ級桿組，構件2做平面運動。所以，在構件2上施加構件2相對于構件1的速度 ，在構件3上施加構件3相對于構件2的速度 ，這使得構件2和構件3成為3副構件，則 D 點的轉化速度為

式中， 為A點到 D 點的距離。

如圖10（b）所示，在 中利用正弦定理，則構件2相對于構件1的速度 為

構件3相對于構件2的速度 為

如圖10（c）所示，為求得構件3的角速度 ，在構件2上施加構件1相對于構件2的速度 ，在構件3上施加構件2相對于構件3的速度 ，這使得構件2和3也成為3副構件，則 A 點的轉化速度為

由于 及 、 大小分別相等，所以

即

2 實例驗證

為了驗證上述方法的準確性，特別是基本桿組中有移動副的，以RPRⅡ級桿組為例進行速度分析。

如圖11（a）所示，已知機構985尺寸（單位：in，1i n=2 . 5 4c m ）和原動件2（曲柄）的角速度（ 3 6 r a d / s ，順時針方向轉動），求構件4的角速度 。

如圖 1 1 （ b） 所示，在構件3上施加構件3相對于構件4的速度 ，使構件3和4構成RPRⅡ級桿組。根據速度矢量 ，構件4的角速度 7 . 4 5 r a d / s ，為逆時針方向轉動，該結果與文獻[9]的結果一致。

3結論

以Ⅱ級基本桿組的5種類型為研究對象，分別對其進行機構轉化，列出平面機構運動的矢量方程，并給出了速度和角速度的計算式。機構轉化速度分析法對解決平面機構中同一構件上兩點和兩構件重合點間的速度分析這兩類問題都適用，尤其是在求解基本桿組中含有移動副的速度問題時更為方便直接，并通過實例驗證了該方法的準確性。

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Velocity analysis of planar mechanisms based on conversion mechanism

LI Xiuming'WANG Changlu2 DONG Zhifeng1 [1.SchoolofMechanicalandElectricalEnginering，ChinaUniversityofMiingndTechnology（Beijing），Beijingo8，Cina] （2.Jiangsu Zhonggong Research Institute of Advanced Equipment Co.，Ltd.，Taixing 225403，China）

Abstract：[Objective] Inthescenario where thedimensionsofthe mechanismandthemotionlawof thedriving link are alreadyknown，thepurposeofkinematicanalysisofmechanismsistodeterminethemotioncharacteristicsofotherlinkswithin the mechanismand toadresstwo types ofproblems：velocity analysis concerming two points onthe samelink and velocity analysisconcerningcoincidentpointsbetween twolinksinaplanarmechanism.However，thevelocityanalysisofcoincident pointsbetween twolinksisrelativelydificult tocomprehend.[Methods]Byutilizing thecomposition principleof planar mechanisms，theplanarmechanism was disasembled into thedriving linkandfundamental ink groups.Areverse motion was imposedonthelinksundergoingplanarmotionwithinthefundamentallinkgroups，therebyresultinginmechanism transformation.Themechanismtransformationvelocityanalysismethodwasemployed toperformcorrspondingvelocity analysis forthefivetypesofclassIIfundamentallink groups，whichwasappicable toothaforementionedtypesofproblems. [Results]Theaccuracyofthe mechanismtransformationvelocityanalysis methodisvalidated through practical examples.

KeyWords：Velocity analysis;Basic link group; Conversion mechanism;Planar mechanism