初中數學教學中幾何模型運用分析以“三角形中位線定理”一課為例

作者簡介：王臻（1979—），男，華中科技大學同濟醫學院附屬中學。

幾何知識教學是數學教學的重要內容，能有效培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力。在初中階段，學生正處于思維發展的關鍵時期，因此教師開展有效的幾何知識教學尤為重要。三角形中位線定理是初中幾何知識體系的核心內容，學生充分掌握這部分內容，能更好地理解復雜的幾何概念。

一、課前準備

（一）學情分析

學生的基礎知識水平參差不齊。不少學生雖然接觸過基本的幾何知識，但對三角形的性質及相關定理的理解不夠深入，對三角形中位線的定義和性質比較陌生。因此，教師在課堂上需要有針對性地進行知識點講解，幫助學生建立完善的概念框架[1]

要想深入理解幾何知識，學生需要具備良好的空間想象力。部分學生在學習三角形圖形變換等內容時存在問題，導致他們在理解三角形中位線定理時感到困難。一些學生在課堂上態度較為積極，愿意主動提問和討論，而另一些學生較為被動，不太愿意表達自己的觀點。因此，在教學過程中，教師應鼓勵所有學生積極參與，通過小組討論和合作學習的形式，營造一個開放和包容的學習環境，讓每位學生都能在互動中鍛煉自己的思維能力。

（二）教學目標

在知識與技能層面，教學目標應聚焦于讓學生理解和掌握三角形中位線的定義及性質。在學習本課后，學生要能夠準確描述三角形中位線的特征，運用三角形中位線定理解決簡單的幾何問題。同時，學生要能使用幾何圖形軟件驗證三角形中位線定理，并通過繪制圖形，直觀展示三角形中位線的性質，進而提升空間想象能力。

在過程與方法方面，教學目標應重視培養學生的探究能力和邏輯思維能力，鼓勵學生運用幾何作圖工具進行自主探究。教師要讓學生在動手操作的過程中加深對知識的理解，培養他們的自主學習能力。同時，教師要設計與三角形中位線定理相關的實際問題，培養學生的知識應用能力。

在情感態度與價值觀方面，教學目標應強調培養學生的學習興趣和團隊合作精神，提升他們的學習積極性。教師要讓學生感受到數學知識的價值，并引導學生進行合作學習，從而增強學生的團隊意識和集體榮譽感。同時，教師要通過生動的教學活動激發學生的學習興趣，增強學生的自信心，并鼓勵學生在數學學習中勇于探索和嘗試。

（三）內容設計

教師設計的教學內容應明確三角形中位線定理的核心概念和性質。教師可以將課程分為兩個部分：一是闡述三角形中位線概念；二是講解三角形中位線的兩個主要性質，即中位線平行于第三邊與中位線的長度是第三邊的一半。在講解這兩個性質時，教師可以借助圖示來教學，以此加深學生對相應知識的理解。在這個過程中，教師還可以引入相關幾何知識，如三角形的重心、三角形的面積計算等，幫助學生構建系統的幾何知識體系。

在教學活動的設計上，教師可以充分利用多種教學手段，以提高學生的參與度和動手能力。在引入三角形中位線定理時，教師可以采用探究式學習的方式。具體而言，教師可先提供一個三角形，讓學生自己尋找邊的中點，并利用量角器和直尺繪制中位線。之后，教師可讓學生通過測量、對比的方法驗證中位線的相關性質[2]。為了增強趣味性，教師還可以設計“中位線挑戰賽”，讓學生以小組為單位進行實際操作，看看哪個小組能又快又準確地找到三角形的中位線，并進行性質驗證。此外，教師可以通過動態演示的方式展示三角形及其中位線的變化情況，以此加深學生對相關知識的理解。教師還可以讓學生親手操作這些軟件，觀察不同情況下中位線的特性，從而提升他們的計算機應用能力與空間想象力。

在開展評價時，教師應將過程性評價與結果性評價相結合。具體而言，教師可以結合學生在課堂活動中的表現、參與討論的情況以及完成作業的質量等綜合評估學生的情況。在課后，教師可以設計一些題目，考查學生對三角形中位線定理的掌握程度。在此基礎上，教師要根據學生的回答與反應給予其及時的反饋，并提供有針對性的改進建議。

二、教學中幾何模型的應用

（一）課堂導入

在進行新課導入時，教師可以先在黑板上畫一個三角形，并標記三角形的三個頂點 A 、 B 、 C 同時，教師可以明確指出三角形 AB 邊的中點為 D 三角形 AC 邊的中點為 E 。在此基礎上，教師可以提問學生：“如果我們聯結中點 D 和 E ，會形成什么樣的線段？”這一問題能夠引導學生關注線段DE ，并激發他們的好奇心與探索欲望。圖形如圖1所示。

隨后，教師可進一步提問學生：“你們覺得線段 DE 和底邊 BC 之間有什么關系？”這一問題能讓學生思考線段 DE 與邊 BC 的關系。之后，教師可借助相關軟件實時演示三角形的構造過程，讓學生觀察當三角形的形狀發生變化時，中位線如何變化。這樣的教學能讓學生自然地了解三角形中位線的概念及性質，加深對三角形相關知識的理解。

（二）學生猜想

當教師在黑板上繪制出三角形 ABC ，并分別標出點 D 和點 E 時，學生自然會對線段 DE 的性質產生好奇心。在此基礎上，學生會圍繞線段 DE 與底邊BC之間的關系提出相應的猜想。一些學生會提出猜想：聯結中點形成的線段與底邊平行。這種猜想較為直觀，源于學生對幾何圖形特點的初步理解。

在教師的引導下，學生的猜想會逐漸深化，他們會嘗試推導線段 DE 與底邊 BC 之間的具體比例關系。一些學生會提出猜想：線段 DE 的長度是底邊 BC 的長度的一半。這一猜想不僅展現了學生對幾何性質的敏感性，還能體現學生的知識運用能力和邏輯推理能力。

（三）小組合作

在小組討論過程中，小組成員提出猜想：無論三角形的形狀如何變化，中位線的長度始終是底邊的一半。這一猜想不僅反映了學生對相關幾何規律的理解，還體現了他們的類比分析能力。在小組合作學習中，教師要鼓勵學生深入探討這些猜想的合理性，讓學生利用具體的幾何模型進行驗證或借助動態幾何軟件進行模擬。

（四）實踐應用嘗試

教師可設計一個實踐活動，要求學生在紙上繪制一個三角形，并標出三角形的頂點。在此基礎上，學生需要用直尺找出三角形兩條邊的中點，并將其聯結起來。在這個過程中，學生不僅能夠親自動手操作，還能通過測量數據了解中位線與底邊之間的關系[3]。為了加深學生對相關知識的理解，教師可以引導學生分析多組數據，驗證三角形中位線的長度是否始終為底邊長度的一半。通過親手測量學生能發現，無論三角形的形狀如何變化，中位線的長度始終是底邊長度的一半。這樣的教學不僅能讓學生掌握相關知識，還能培養學生的實驗精神和數據分析能力。

（五）任務設置

教師可設置定理證明作業等非實踐性任務，讓學生嘗試自己推導或證明三角形中位線定理。學生可通過小組合作探究的方式，結合所學的幾何知識進行邏輯推理和論證。這樣一來，學生不僅能夠加深對三角形中位線定理的理解，還能有效培養邏輯思維能力和推理能力。在布置此類任務時，教師可以提出一些引導性問題，如“為什么三角形中位線的長度是底邊長度的一半？如何利用平行線的性質來證明這一點？”等。通過這樣的問題，學生可以更有針對性地進行思考和討論。在交流中，他們能了解不同的觀點和解法，提升多方面的能力。

此外，教師可設置“探索三角形分類”等實踐性任務。在布置這一任務時，教師可以要求學生在課后收集不同類型的三角形（如等邊三角形、等腰三角形和不規則三角形）的實物或圖片，并進行觀察和分類。學生需要記錄每種三角形的兩條中位線的長度，并測量對應底邊的長度，以此來驗證三角形中位線定理是否正確。這一任務不僅能讓學生在實際生活中尋找數學模型，還能促使他們思考不同三角形特征與三角形中位線定理之間的關系。學生可以先選擇一個等邊三角形，測量其底邊和中位線的長度，然后選擇一個不規則三角形進行同樣的測量操作，并記錄數據。通過比較相應的數據學生能發現，無論是在什么類型的三角形中，中位線定理都正確。這樣的教學能讓學生在實踐中加深對三角形中位線定理的理解，培養他們的數據記錄和分析能力。

三、課后思考

（一）總結反思

首先，本課的核心內容是三角形中位線定理的定義和性質。通過本課學習，學生能充分理解三角形中位線的定義以及三角形中位線與對應底邊的關系。三角形中位線定理具有簡單性與普適性，本課教學有助于學生今后學習更復雜的幾何知識。通過課堂例題講解和互動討論，學生能掌握本課的基本概念，并能夠運用本課知識進行簡單的計算與推理。

本課教學中，教師主要引導學生開展小組合作探究和圖形繪制活動。學生通過繪制不同類型的三角形并進行實際測量，能有效驗證三角形中位線定理的正確性。這種動手操作能讓學生更直觀地理解幾何圖形之間的關系，培養學生的空間想象力和觀察能力。此外，學生可借助相應的幾何軟件工具進行模擬探究，從而加深對三角形中位線定理的理解，提升知識應用能力[4]。

其次，課堂討論中，學生主動分享自己在探索過程中的發現與疑惑，教師則及時提供反饋，幫助他們梳理思路。這樣的互動不僅能增強學生的參與感，還能提升學生的表達能力與邏輯思維能力，讓學生學會傾聽與尊重不同觀點，這對他們團隊合作能力和社交能力的發展有重要意義。

最后，教師在本課教學中要重視幾何知識在現實生活中的應用。這樣不僅能激發學生的學習興趣，提升他們探索數學知識的熱情，還能讓他們認識到數學與現實生活的緊密聯系。通過本課教學，學生不僅能掌握相應的理論知識，提升應用知識的能力，還能培養合作精神等。

（二）布置課后作業

在基礎練習方面，教師可布置如下課后作業（如圖2），以此加深學生對三角形中位線定理的理解。

1.在 ΔABC 中，點 D 是 AB 的中點，DE//BC。問：點 E 是 AC 的中點嗎？ DE=0.5BC 嗎？

2.在 ΔABC 中，點 D 是 AB 的中點， DE=0.5BC 問：點 E 是 AC 的中點嗎？ DE//BC 嗎？

在完成這樣的作業時，學生需要進行自主探究和邏輯推理，這有助于培養他們的推理能力和思考能力。在完成作業時，學生要注意邏輯的嚴謹性和表達的清晰性。

此外，教師可以“三角形中位線定理在生活中的應用”為主題設計一個小組合作探究項目，要求學生以小組為單位搜集日常生活中的相關實例，并思考如何利用三角形中位線定理來解決實際問題。每個小組需要提前準備一份演示文稿，用于分享他們的研究成果。在探究的過程中，學生不僅能提高團隊協作能力和溝通技巧，還能了解數學知識在現實生活中的價值。

結語

總而言之，教師在初中數學教學中運用幾何模型，能使抽象的幾何概念變得具體可感，讓學生獲得更好的學習體驗。教師通過這樣的教學，不僅能激發學生的學習興趣，還能為后續的數學知識學習奠定堅實的基礎。

[參考文獻]

[1］莊嚴勤.初中數學教學中幾何直觀能力的培養路徑［J］.數學學習與研究，2024（20）：56-58.

[2］宋陽，蒙裕勁.初中數學教學中幾何模型的建立、應用與強化：以人教版數學八年級下冊“三角形中位線定理”一課為例［J］.廣西教育，2024（13）：72-76.

[3］徐云.初中數學教學中學生幾何模型解題思維的培養［J].數學大世界（下旬），2023（9）：68-70.

[4］王沐蓉.模型思想融入初中數學教學研究[D].株洲：湖南工業大學，2023.