指向核心素養，突出函數模型教學

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(1. 2. )

高中數學涉及的函數較多，主要有二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等。教師在教學中既要做好對這些函數概念的講解，又要注重啟發學生從模型的角度深人理解這些函數，并在系統學習這些函數的基礎上，形成函數的整體意識。同時，學生要在頭腦中形成構建不同函數模型的思路，借助于所學的函數性質求解實際問題，更好地鍛煉學以致用能力，提高運用函數知識解題的能力。

一、模型思想的內涵

模型思想是指學生在數學學習過程中，對于所要研究的對象從實際出發建立恰當的數學模型，并通過解數學模型來揭示、反映研究對象的本質特征和內在聯系的一種數學思想。在解決實際問題時，學生需要對所面臨的實際問題建立恰當的模型。一般來說，數學模型可分為兩大類：一類是定量模型，另一類是定性模型。學生可根據問題的具體背景、已有知識和經驗，借助于代數、幾何、統計等方面的知識和方法，將實際問題轉化為數學問題來解決。數學建模可以幫助學生認識事物的本質特征，促進其對數學知識之間的內在聯系的理解與感悟。學生通過建模活動，可以將抽象、復雜的問題具體化，生動直觀地表示出來。建立恰當的數學模型是學生獲得解決實際問題能力的前提條件，學生要能在現實生活中發現有用的信息，并把它們組織起來進行加工和處理，形成解決實際問題的方案。學生要能根據問題所給條件選擇合適的模型，并運用這些模型

解決問題。

二、高中函數教學中模型構建的意義

函數是高中數學的重點，也是難點。高中數學函數的內容豐富、抽象，對高中生來說，面對這類問題，如果不能很好地把握，就會影響學習的興趣和效果。因此，在教學中教師必須注重模型構建，這不僅有助于學生理解函數概念的內涵和外延，還能有效培養學生的數學思維能力和創新意識。高中函數模型教學是以學生為主體的教學活動。學生通過觀察、分析、歸納、總結等多種方式，主動地構建數學模型，并對所構建的數學模型進行合理解釋和應用。在這個過程中，學生對數學問題的理解能力也會得到提高。

(一)能夠幫助學生減輕記憶負荷

對于高中數學函數教學來說，學生的記憶負荷重是一個比較大的問題。在函數教學中，學生需要記憶大量的概念、公式、定理和圖像等知識，尤其是一些比較復雜的函數問題，如果不能將其理解透徹，就會增加記憶負荷。同時，學生在理解函數概念時，需要綜合運用各種數學知識，因此，在高中函數教學中教師必須重視模型教學，引導學生對所學知識進行分類、整理，讓學生構建模型，從而有效減輕記憶負荷。這樣不僅能幫助學生構建比較系統的知識結構體系，而且能提高學生學習數學知識的效率和效果。

（二)能夠幫助學生實現知識遷移

在高中函數教學中，學生要想全面地掌握函數知識，就要不斷地對所學知識進行總結和歸納。對于同一問題，不同的學生會有不同的解題方法和思路。學生在對函數概念進行理解時，需要不斷地運用所學知識，在這個過程中，學生不僅要理解函數概念的內涵和外延，還要了解不同類型的函數問題。因此，在函數教學中教師必須重視模型教學，引導學生主動構建數學模型，這樣學生才能實現對知識的遷移，形成良好的學習習慣。學生在學習函數知識時，教師應該引導學生從定義出發構建數學模型，這樣學生就能在頭腦中形成“概念 $$ 定義 $$ 函數”的知識結構圖，在遇到問題時就能根據題中條件迅速建立數學模型。

三、高中函數教學中模型構建存在的問題

(一)理解不透徹

在高中數學教學中，教師要重視函數概念與定義、圖象與性質的教學，引導學生深刻理解函數概念及定義，理解基本定義中變量之間的對應關系，在此基礎上開展函數圖像和性質、函數應用等方面的教學，從而讓學生掌握函數的基本概念和基本性質，再逐步構建基本的函數模型。然而，在實際教學中，許多學生不能深入理解和掌握這些知識內容，只是停留在對知識內容的記憶上，忽視了這些知識內容與具體問題之間的聯系。因此，在教學中教師要引導學生從實際問題出發，通過對具體問題中變量之間關系的研究構建基本數學模型，使其能夠從本質上理解變量之間的關系及模型構建的意義。

（二）表征不靈活

數學模型是用來表示現實世界中的數量關系和空間形式的，而函數模型是數學模型的一種，它能把現實世界中的數量關系和空間形式轉化為一種數學模型。通過建立和應用函數模型，學生能夠更好地認識現實世界中的數量關系，能夠更好地理解現實世界中的空間形式，這是教師開展函數思想方法教學的重要任務。學生在構建函數模型時，要注重對函數圖像和性質進行表征，有些學生在解題時，對函數圖像、性質進行了正確表征，卻不能準確地將函數圖像、性質表達出來，導致解題結果不能全面反映實際問題。有些學生在解題時沒有考慮到實際問題中變量之間的關系，將變量間的關系轉化為一種數量關系進行求解。因此，教師要加強對學生數學模型思想方法的訓練，讓學生掌握數學模型思想方法。

四、模型思想下函數概念教學策略

（一）函數概念教學中幾種問題情境的設置

1.情境問題的構建

教師應注重在模型思想指引下展開教學活動。人教版課本中問題1描述的是路程、速度與時間的關系，結合以往所學知識，學生很容易知道對應的模型是 S=350t ，其中 χ_t 的取值范圍是 0?t?0.5 。問題2描述的是周工資、上班天數、每天工資之間的關系，同樣結合所學數學知識可構建出對應的模型為 ，不過在該模型中 d 的取值范圍為 1? d?6 且為整數。問題3則以圖像的形式給出時間 Φ_t 和空氣質量指數 I 的關系，該情境中雖然無法用學習過的知識表達其函數關系，但是觀察可知 Ψ_t 和 I 的取值范圍分別為 0?t?24，0

2.情境設置中問題的思考

① 上述四個問題情境有哪些共同點？ ② 聯系所學的集合知識，嘗試著從集合角度，概括自變量與因變量之間的關系； ③ 由此你能總結出函數的概念嗎？學生通過認真思考，從集合角度不難歸納出上述四個問題情境的特點：均包含兩個非空數集（用 A，B 表示)；均有一個對應關系（用 f 表示)；任意一個自變量 x 依據對照關系，均能找到一個因變量 y 與其對應。教師在此基礎上要求學生思考：如何用圖形模型概括四個問題情境的特點？學生通過討論可用圖1模型概括上述關系。

3.情境設置中問題的解決

分析可知上述模型涉及的情境并不完善。課堂上教師應要求學生聯系所學的二次函數知識對圖1模型進行修正。在二次函數中兩個自變量對應的函數值可能是相等的，基于此，將圖1修改成圖2。教師在此基礎上進行函數概念的講解，學生更容易接受與理解。

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綜上，教師需要針對一類情況采用不同的函數模型。這種模型的核心體現在兩方面：一是建立關于這種現象中量與量之間的確切關系一—函數模型y=f(x) ，從而精確地刻畫一個量是如何隨另一個量的變化而變化的；二是通過代數運算、圖像直觀地揭示相關函數的性質，奠定學習函數性質的基礎。

（二）識別運算規則，建構同構模型

對于一些復雜的函數來說，通過同構化可以簡化原來的函數，但是，題目通常不會給出同構型，需要不斷地對其進行變換，才能構成同構型，然后，運用同構思想把復雜問題簡單化。同構化一般發生在指對函數中，也就是說把一個非同構的方程用運算法則化為同構化。重新構建新的函數，運用函數的性質進行研究、解決問題。因此，同構法的難點在于如何將異構轉化為同構，學生應熟悉以下常見的指對函數：

有了上述的指對運算，若干通用同構模型就可以被有效構造： ① 和差型： ，則構造函數 f(x)=e^x±x;e^a±a>b± （204號 ，則構造函數 f(x)=x± 。 ② 積型： ，構造函數 f(x)=xe^x ，構造函數 。 ③ 商型： ，構造函數 f(x)=e^x/x ： e^a/lne^a 。由上面所述，通常所采用的轉換方法是將 x 變為 eln^x 或將 x 變為 lne^x ，很明顯，它們的本質就是找出指對

運算規則。

(三)例題中函數模型的構建

實際上高中階段涉及的函數本身屬于函數模型。構建函數并運用函數性質解決實際問題，是函數模型應用的具體體現。同時，一些測試以及高考中非常注重對函數模型的考查，因此，教學實踐中教師應注重在模型思想指引下開展工作，結合具體例題為學生講解構建函數模型的具體步驟。首先，認真審題，歸納題目中的有用信息，尋找相關參數之間的邏輯關系；其次，聯系所學的函數知識，構建對應的函數模型；再次，運用函數性質進行模型求解；最后，檢驗得出的結果是否符合題設情境。實踐中教師尤其要注重采用與學生互動的方式激發學生思考，使其真正地參與課堂教學活動，這在激活數學課堂的同時使其更好地掌握函數模型構建理論，把握構建函數模型的步驟與細節，指引其在以后的解題中能夠迅速找到模型構建的切人點。

例：為創造宜居的生活環境，某小區準備建造一個矩形休閑區 ABCD ，如圖3所示，休閑區由草坪（陰影部分） A₁B₁C₁D₁ 和環休閑區人行道構成。其中草坪區的面積為1000平方米，人行道的寬分別為4米和10米。問：草坪區 A₁B₁C₁D₁ 的寬和長分別為多少時，休閑區 ABCD 的占地面積最小？

課堂上教師設計如下問題指引學生進行函數模型的構建： ① 休閑區ABCD和草坪區間的什么量存在怎樣的聯系？ ② 怎樣應用草坪區的面積為1000平方米這一已知條件？ ③ 怎樣設出參數，參數的取值范圍怎么確定？

顯然矩形ABCD和草坪區的長和寬存在一定的聯系，即人行道的寬與草坪區的長、寬之和為矩形ABCD的長和寬，構建模型時可借助于“草坪區的面積為1000平方米\"表示出其長或寬。根據題意不妨設休閑區的長為 x 米，矩形ABCD的面積為 S 。構建模型的依據為矩形面積計算公式，由圖3可構建出如下函數模型：

那么接下來該怎么求解該模型呢？展開該模型得到 ，觀察可知需要運用基本不等式進行解答，即 800+1160=1960 ，當且僅當 . x=50 時取等號，即當草坪區 A₁B₁C₁D₁ 的長和寬分別為50米、20米時休閑區ABCD的占地面積最小，為1960平方米。經驗證，可知結果符合題意和實際情況，表明得出的模型結論是正確的。

(四)依托圖形表征，構建不等式模型

函數和不等式的結合問題一直是我國高考的難點之一，它一般出現在最后的環節，這對學生的思維能力要求很高，基礎不牢的學生，很難有效解決，更遑論解決實際的綜合問題。因此，在日常的教學中，教師應注重引導學生對常用的經典不等式進行積累。盡管教師講課時，會詳細說明常見的典型不等式，但學生在解決問題的過程中，常常會出現記憶困難的情況。造成這種現象的一個重要原因就是學生對知識的理解與記憶還不夠深人。舉個例子，以下為四個常用不等式：

（20(3)e^x>1+x，x≠0; （204號

如果僅僅靠死記硬背，學生會感到困惑、使用混亂，或者根本就無法使用。從形式上來說，這四個不等式所涉及的函數都是相當簡單的，學生可以從圖像的角度去理解并記憶它們。記憶力是把知識運用到實踐中的基礎，這樣的話，學生就不用每次遇到問題都要推導出通用的結論，從而節省很多時間。在同一坐標系中，繪制出 y=e^x，y=x+1，y=x，y= 的函數圖像，根據兩個函數圖像的位置關系，就可以很容易地看到它們的尺寸關系。以圖像表征為基礎構造不等式模型，學生可以通過對圖像的直接觀察，以理解為基礎，通過對“形\"的認識，加深對不等式的認識，實現數與形的高效組合。

結語

在函數教學中，教師要始終讓學生感知并體會模型思想是一種重要的數學思想，在教學實踐中應注重將該思想融入教學的各個環節。當用函數構建數學模型解決實際問題時，要對實際問題中的變化過程進行分析，析出其中的常量、變量及其相互關系；明確其運動變化的基本特征，從而確定它的運動變化類型，然后根據分析結果，選擇適當的函數類型構建數學模型，將實際問題轉化為數學問題；再通過運算、推理，求解函數模型。教師要借助于圖形模型進行函數概念的講解，借助于關系模型進行函數性質的講解。不僅如此，函數本身也是一種模型，實踐中教師應通過例題講解以及習題訓練，深化學生對函數模型的理解，提高其建模水平及解題能力。

函數是一個重要的數學模型，可以用其描述客觀世界的變化趨勢和規律。它能夠幫助學生準確描述數學問題的性質和解決方法。學生在學習函數時，應當樹立完整的函數概念意識，應學會運用集合與對應的語言刻畫函數概念，掌握其基本性質，并通過對高中函數的學習整體感受如何在研究一個函數的基礎上，找到研究其他函數的思想和方法，從而整體感知函數的模型思想。

參考文獻：

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責任編輯：唐丹丹