指向量感培養的“教一學一評”研究

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱課標2022年版）新增了一個核心概念——量感.“量感”是指對事物可測量屬性及大小關系的直觀感知[].量感的認識涉及對事物的可測量屬性、度量過程、度量單位以及可測量屬性大小關系的理解2.隨著教育改革推進，高質量的數學教育愈發重視量感的培養與滲透.而度量相關內容作為量感培養的重要載體，在全球多個國家和地區的課程標準中均有涉及.如澳大利亞于2010年12月正式公布了第一個全國統一課程標準，其中數學統一課程標準中增設了“度量與幾何”的內容[3].在2016年發布的《美國洲際核心數學課程標準：歷史、內容和實施》中詳細給出“度量”的具體學習要求和內容[4].日本2017年《學習指導要領》課標和韓國2015年《數學教學課程》課標中均有涉及“測量”內容.然而，在初中數學素養框架中，量感培養在一定程度上被納入抽象能力培養的范疇，尚未形成獨立且具體的教學內容支撐.因此，以香港地區初中數學課程中“度量的誤差”學習單元為例，從“內容主題”和“認知水平”兩個維度，分別對課程標準、教材內容、試題情況進行研究，總結香港地區量感的“教一學一評”經驗，以期對學生量感的培養和評價提供一定的借鑒與思考.

1“度量的誤差”相關概念的“教一學一評”研究

1.1 課程標準分析

課程標準作為“教一學—評”的準繩，為“教什么”和“考什么”提供了依據.教材、試題與課程標準間的一致性，即指三者間的吻合程度.關于一致性的分析，是上世紀90年代由美國學者安德魯·帕特（AndrewPor-ter）與約翰·史密森（JohnSmithson），基于韋伯一致性分析工具構建而成，是應用頗為廣泛的分析模式之一.

“SEC\"（SurveyoftheEnactedCurriculum，譯為“對可執行課程的調查”）一致性分析模型是主要研究工具之一.該分析模式通過“知識廣度”（“內容主題”）和“知識深度”（“認知水平”的劃分，構建以“內容主題”和“認知水平”為框架的二維矩陣，制定統一的評價標準[5].香港《數學教育學習領域課程指引（2017）》（以下簡稱香港課標）將初中數學課程學習目標分為“數與代數”“度量、圖形與空間”和“數據處理”三大模塊.其中“度量的誤差”屬于“度量、圖形與空間”范疇.

將香港課標中誤差的相關概念進行分析后，按照學習內容的不同分為三個“內容主題”，即：“誤差概念”“最大絕對誤差”和“相對誤差與百分誤差”.綜合考量一致性模型、國內數學認知水平劃分、香港課標實際情況及SEC維度的可操作性，文章依據課標2022年版，將“認知水平\"劃分為“了解”“理解”“掌握”和“運用”四個層次.（在課標、教材及試題中，“內容主題”與“認知水平”的界定由一位大學教授、兩位碩士研究生及一位中學數學教師共同完成.存在異議處，經協商、討論及參考專家意見后，最終達成共識.）

從“內容主題”和“認知水平”兩個維度對“度量的誤差”中相關概念的課標構建一致性進行分析.從“內容主題”來看，對于誤差概念，香港課標要求學生需理解誤差概念，了解無論度量工具多精確，誤差都不可避免；對于最大絕對誤差，要求掌握度量值與實際值差的絕對值即為絕對誤差，并探究其與刻度間距的關系，進而確定實際度量的取值范圍及最大絕對誤差；相對誤差與百分誤差則圍繞誤差精確度展開，要求會描述度量中誤差的大小，除此還需將相對誤差轉化為百分數，以便能更精確地描述和比較不同誤差的大小.

從“認知水平”上看，對于誤差的概念，學生須認識到任何度量的實際值均為未知量，屬于“了解”水平；對于最大絕對誤差，學生需理解度量值與實際值之差的絕對值即為絕對誤差，并通過教師引導，探究其與刻度間距的關系，進而確定實際度量值的取值范圍及最大絕對誤差，屬于“理解”水平；對于相對誤差和百分誤差，學生需通過延伸最大絕對誤差的概念，認識相對誤差及百分誤差，并通過現實案例理解其用途，屬于“掌握\"水平.

1.2 教材內容分析

以香港主流教材Pearson版《MathematicsinLife3rdEdition》2A冊中的“度量的誤差”單元為例，從基礎概念和引入方式兩個方面分析誤差相關概念的教材內容，結果如圖1所示.

從“內容主題”來看，教材通過“三種刻度直尺測筆長度”的探究活動，揭示不同刻度直尺測量同一物體所得度量值的差異，從而引入度量中誤差不可避免的概念.在此基礎上，教材進一步通過“真實值取值范圍”的探究活動，引導學生認識到最大絕對誤差為刻度間距的一半.

通過實際舉例與探究，教材使學生認識到最大絕對誤差用于描述度量誤差的精確度.在此基礎上，教材指出最大絕對誤差在某些情況下無法充分判斷量度值的準確性，進而引入相對誤差概念及其用途.為了更有效地比較不同度量工具的精確度，教材進一步將相對誤差轉化為百分誤差，闡述其概念及應用

文章將教材的章節內容分為“新知引入”“教材例題”和“課后習題”三個部分.經研究論證，若兩個及以上部分都歸屬于同一認知水平時，則判定該章節內容歸屬于對應的認知水平.例題與習題的選取均采用統一標準：既能涵蓋本節核心知識點，又能體現出經典的解題思路.

因此從“認知水平”上看，對于誤差概念，新知引入部分主要通過探究活動，逐步讓學生認識到誤差概念的內涵，屬于“了解”水平；教材例題注重考查學生對概念的認識，屬于“了解”水平；課后習題注重考查對誤差概念的理解，屬于“理解”水平.綜上誤差的概念在教材中屬于“了解\"水平.

對于最大絕對誤差，新知引人部分通過創設實際探究活動，讓學生理解最大絕對誤差概念的內涵;教材例題考查概念的簡單運用，以鞏固對概念的理解；課后習題側重考查對概念的理解掌握.三個部分內容均屬于“理解”水平，因此最大絕對誤差在教材中屬于“理解”水平.

對于相對誤差與百分誤差，新知引人部分通過實踐案例和活動，提出相關問題，引導學生思考并最終呈現概念內容，屬于“理解”水平；教材例題主要考查對概念的熟練掌握程度，屬于“掌握”水平；課后習題側重考查概念的理解掌握，屬于“掌握”水平.綜上，相對誤差與百分誤差概念在教材中屬于“掌握”水平.

1.3 試題情況分析

全港系統性評估（Territory-wide System Assess-ment，TSA）自2004年起每年在香港地區統一實施，具有較大影響力和較高權威性.香港中學文憑考試（Diploma of Secondary Education Examination，DSE）每年3至5月舉辦，是國際認可的考試評價項目.通過對近五年TSA和DSE考試的分析，共篩選出12道考查“度量的誤差”相關概念的試題，統計“內容主題”及“認知水平”分布，結果如表1所示.同時，選取涵蓋核心概念和經典解題方法的代表性例題進行分析.

例1（TSA-2024）永亮用圖2中直尺度量一張車票的長度所得結果為 8.5cm ，準確至最接近的 0.5cm ，求該度量值的最大絕對誤差.

從“內容主題”上看，例1考察了最大絕對誤差概念，學生理解該概念以后，可以較為直接地得到解題思路，從“認知水平”上看，要求學生知道最大絕對誤差的概念，屬于“理解”水平.

1.4“教—學—評”一致性分析

從“內容主題”上看，對于誤差的概念，香港課標要求學生理解誤差的內涵；教材通過探究活動引出誤差概念；試題直接考查對誤差概念的了解.對于最大絕對誤差，香港課標要求學生理解刻度間距與最大絕對誤差的關系；教材設計多層次探究活動引出概念；試題主要考查對最大絕對誤差概念的理解.對于相對誤差和百分誤差，香港課標圍繞誤差精確度描述，介紹出相對誤差與百分誤差；教材圍繞探究誤差精確度的實踐案例引出概念；試題結合數學情境，考查學生對概念的掌握程度.綜上，香港課程體系在“度量的誤差”相關概念的教學中呈現遞進式內容架構：課標側重概念內涵的學理闡釋，教材通過探究活動實現概念生成，試題則聚焦概念遷移應用與評價，三者共同構建“教一學—評”的內容閉環.

從“認知水平”上看，對于誤差概念，香港課標要求學生認識誤差概念：教材通過探究活動、例題及習題使學生初步了解概念；試題考查學生對概念的認識，三者屬“了解”水平.對于最大絕對誤差，香港課標要求學生認識刻度間距與概念的關系并會求最大絕對誤差；教材通過探究活動、例題及習題使學生理解概念；試題結合生活情境側重考查概念的理解，三者都屬“理解”水平.對于相對誤差和百分誤差，香港課標要求學生理解概念的由來且掌握其用途；教材通過探究活動、例題及習題使學生理解并掌握概念；試題結合實際問題側重考查概念的掌握程度，三者都屬“掌握”水平.

綜上，香港課程體系在“度量的誤差”相關概念的教學中構建了以課標要求為認知標準，教材活動為認知實施，試題考查為認知內化與評價的“教一學一評”認知閉環.

2“度量的誤差\"相關應用的\"教一學一評\"研究

2.1 課程標準分析

對于“度量的誤差”相關應用，香港課標要求“在認識度量誤差概念的基礎上，能應用其有關知識解決實際應用題”.借用SEC分析模式，按照學習內容的不同將其劃分“度量誤差的實際應用”和“度量誤差的估算策略”兩個內容主題.“認知水平”同樣分為“了解”“理解”“掌握”和“運用”四個水平.從“內容主題”和“認知水平”兩個維度對“度量的誤差”相關應用的課標構建一致性分析.

從“內容主題”上看，香港課標明確度量誤差的實際應用需在熟練掌握相關概念基礎上，依據物件的已知度量結果、度量工具的刻度間距或實際值取值范圍，計算實際生活中的各種度量誤差；對于度量誤差的估算策略，應引導學生探索不同情境下減少誤差的三種方法，如基準策略、拆分重組策略及度量一組物件策略.

從“認知水平”來看，對于度量誤差的實際應用，香港課標要求學生基于物件的已知度量結果、度量工具的刻度間距或實際值的取值范圍，計算度量的各種誤差，并從已知度量結果及準確度中求出物件實際值的上下限，屬于“掌握”水平；對于度量的估算策略，香港課標建議教師根據學生能力和興趣，引導學生探索不同情境下減少誤差的策略，例如通過同時度量多件相同物件的總重量并取平均值來減少相對誤差和百分誤差，屬于“應用”水平.

2.2 教材內容分析

以香港主流教材Pearson版《MathematicsinLife3rdEdition》2A冊中的“度量的誤差”單元為例，從基礎概念和引入方式兩個方面對度量誤差相關應用的教材內容進行分析，結果如圖3所示.

從“內容主題”來看，教材在度量誤差的實際應用方面，通過創設實際情境并結合數學問題引入，借助例題和習題講解與鞏固相關概念.具體而言，要求學生能夠依據物件的已知度量結果、度量工具的刻度間距或實際值的取值范圍，計算生活中的各種度量誤差；對于度量的估算策略，教材通過列舉生活實際案例，依次介紹基準策略、拆分重組策略和度量一組物件策略，并通過相關生活情境的習題進行鞏固運用.

從“認知水平”上看，對于度量誤差的實際應用，新知引人部分通過創設實際數學情境，引導學生熟練使用各種概念解決問題，屬于“掌握”水平.教材例題注重考查學生對概念應用的熟練程度，屬于“掌握水”平.課后習題注重考查對概念的掌握應用.綜上，度量誤差的實際應用在教材中屬于“掌握\"水平.

在度量誤差的估算策略上，教材通過構建恰當的生活場景，引導學生思考并選擇出合適估算策略，屬于“掌握”水平;教材例題著重考查策略的熟練掌握，屬于“運用”水平；課后習題則檢驗學生根據不同場景靈活運用策略的能力，同樣屬于“運用”水平.綜上，度量誤差的估算策略在教材中屬于“運用”水平.

2.3 試題情況分析

同樣對香港近五年的TSA和DSE考試進行分析，共篩選出15道考查“度量的誤差”相關應用的試題，統計其“內容主題”及“認知水平”分布，結果如表2所示.選取涵蓋核心概念和經典解題方法的代表性例題進行分析.

例2（TSA-2022）如圖4所示，A與 B 為不同刻度燒杯，各盛有一些水，浩然想量出一粒小金珠的體積，下列度量方法中哪個是最好的？

A.浩然把一粒小金珠放入燒杯A內，度量所增加的體積B.浩然把一粒小金珠放人燒杯 B 內，度量所增加的體積C.浩然把30粒小金珠放入燒杯A內，度量所增加的體積，然后把該體積除以30D.浩然把30粒小金珠放入燒杯 B 內，度量所增加的體積，然后把該體積除以30

從“內容主題”來看，考查學生對度量準確度的認識及度量的估算策略；從“認知水平”來看，要求學生認識并比較度量工具的精確度，并根據不同情境選擇合適的估算策略，屬于“運用”水平.

2.4“教一學—評”一致性分析

從“內容主題”上看，對于度量誤差的實際應用，香港課標要求學生在熟練掌握誤差相關概念的基礎上，能夠計算度量過程中的各種誤差；教材通過實際問題情境引入誤差應用；試題考查對誤差概念的理解與掌握.對于度量誤差的估算策略，香港課標引導學生探索不同情境下的誤差減少策略；教材構建生活場景，引導學生選擇合適估算策略；試題考查估算策略的掌握與應用.綜上，香港課程體系在“度量的誤差”相關應用的教學中呈現出：課標強調概念的運用、教材創設多樣應用情境、試題注重檢驗掌握水平，三者共同構建“教一學一評”的內容閉環，實現理論與實踐的雙軌并進

從“認知水平”來看，對于度量誤差的實際應用，香港課標要求學生能在各種情境中計算出度量誤差和真實值上下限;教材通過實際數學情境、例題及習題引導學生掌握相關概念的應用；試題側重考查學生對相關概念的熟練運用，均屬“掌握”水平.對于度量誤差的估算策略，香港課標要求學生能在不同情境下應用不同的減少誤差策略；教材通過實際場景引導學生選擇合適的估算策略;試題重點考查估算策略的掌握與應用，屬“運用”水平.綜上，香港課程體系在“度量的誤差”相關應用的教學中構建了以課標的要求為認知標準，教材實踐為認知實施，試題考查為認知內化與評價的“教一學一評”認知閉環，實現從確定性計算到情境化策略的雙重能力建構

3 思考與啟示

3.1課標將度量單獨列為學習單元，強調量感培養的重要性

課程標準作為教學的指導性文件，為課程設計、教學與評估等環節提供標準和方向，保障教育目標的實現及教育質量的提升.因此，對于一門課程而言，清晰的學習目標和學習重點是不可或缺的先決條件.香港課標將“度量的誤差”內容單獨列為學習單元，并指明了學習目標、學習重點、教學建議和育人要求，為教材編寫和試題設計提供了綱領性的參考，體現出香港課標對于度量內容的重視.

課標2022年版強調要“確立以核心素養為導向的課程目標”，數學核心素養不是一種具體的技巧和知識，而是一種綜合性的能力與品質.其中，量感無疑是數學核心素養的重要表現之一.而“度量的誤差”內容作為量感培養的重要載體，有著加深學生對數學知識的理解、提高學生的知識應用能力、促進學生思維能力發展等重要作用.因此，通過單元系統的學習，有助于學生對“量\"獲得更加直觀的理解與感受，進一步提升學生對量感的認識，落實量感的培養

3.2教材設計豐富的探究活動，引導學生直觀體驗度量過程

從量感來源上看，直觀性是其重要的特征之一.學生在量感學習中并非被動接受，而是憑借主觀能動性積極參與數學活動.通過主動觀察、猜測、驗證，在不斷探索中深化對量感的理解，逐步構建起更完善的量感認知體系.香港教材每個概念的引人都設計了豐富的探究活動，引導學生直觀體驗與思考度量過程.在此過程中學生能直觀體會到度量過程中存在的誤差，從而引導學生主動發現、提出和思考問題，完善對度量知識的認知體系.

在度量教學中，部分量的測量存在難度，還有些量無需借助度量工具直接測量[6].因此在教材教學時，引導學生了解度量單位和工具形成的過程十分關鍵.這既能幫助學生積累量的學習經驗，深入理解度量的意義，還能有效培養他們的量感，發展學生數學思維.因此，香港教材通過設計一系列探究活動，不僅能幫助學生深化對知識點的理解，還能豐富學生在學習過程中的體驗.

3.3試題注重設置現實情境，凸顯真實情境下核心素 養的評價

從學習認知本質上看，數學學習離不開數學的各種情境.數學情境主要包括現實情境、純數學情境與科學情境[8].現實情境一般指學生在現實生活中遇到的問題情境，大多數是與生活密切相關的.在香港教材例題、習題及相關考題中，均創設了豐富的現實情境，以實際應用為導向考查學生的量感，

在數學核心素養的評價中，情境的設計和構建顯得尤為重要，直接影響著數學核心素養的有效評價[9].課標2022年版指出“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題”“在具體數學情境中，進行簡單估算”等等，均表明了情境的重要性.問題情境的融合度是指數學問題與情境的關聯度.問題情境融合度越低，意味著試題情境和問題聯系越微弱甚至無關；融合度越高，意味著學生需要對情境理解越透徹才能解決問題.因此，試題情境的設計與構建極為關鍵，恰當融合度的問題情境能將抽象問題具象化，幫助學生更好理解試題，同時更利于凸出對學生核心素養的評價.

3.4量感的培養貫穿學習全過程，“教一學—評”保持 高度一致

量感的培養依托于具體的學習內容和認知活動因此，香港課標將度量誤差內容設為單獨學習模塊，明確學習重點：教材通過探究活動讓學生體驗度量過程中的誤差；試題結合現實情境考查誤差概念.從“內容主題\"看，量感培養貫穿“教一學—評”各環節.課標針對不同概念設定不同“認知水平”，教材以多種活動和分層例題體現對應認知要求，試題依概念認知水平差異調整考查角度與難度，確保“教一學一評”在“認知水平”上的一致性.

課標2022年版在各學科的“課堂教學評價建議”中提出了“教一學一評”一致性要求，為教研工作指明了新的方向.所謂“教一學一評”一致性，就是在學習目標引領下，教師的教、學生的學、課堂的評價所達成的一致性[10].為落實“教一學—評”一致性，需以課程目標為基準，如香港課標中明確提出度量的課程學習目標.教學應基于明確的課程目標與內容，按計劃有序開展，如香港教材中列出的學習單元與學習模塊.學生的學習應在教師引導與教材輔助下進行，朝著共同目標努力，如香港教材中呈現豐富探究活動與習題模塊.評價則應用于衡量教學目標的達成情況，發揮引領、檢查與診斷等功能，如香港試題中設置豐富的現實情境，多角度考查度量誤差的相關內容等，這些舉措均利于“教一學—評”一致性的實現.

參考文獻

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[10]何萍，胡麗艷.指向數學核心素養的“教、學、評一致性”教學實踐：以“一元一次方程解決實際問題”為例［J].中學數學雜志，2022（4）：15-19.

作者簡介夏智鵬（2002—），男，江西上饒人，碩士研究生；主要從事數學教育研究.

林子植（1983—），男，江西九江人，博士，副教授，碩士研究生導師；主要從事數學教育研究.