探究米勒張角問題

為進一步激發學生的科學探索精神，培養其數學學科核心素養，推動初中數學深度教學課堂的構建，促進課堂教學模式的創新與變革，并輻射帶動周邊學校的發展，作者與6位教師共同組建了“名師課題研究團隊”，在4所學校開展了系統的課例教學實踐研究，取得了顯著的教學成效與學習成果.現將其中關于米勒張角的探究案例整理成文，與廣大數學教師及數學愛好者分享，以期為初中數學教學的深化與創新提供參考.

1背景問題

在一場足球比賽中，甲乙兩隊始終處于焦灼狀態，比賽進入最后十分鐘，雙方依舊無法打破對方的球門.在需要球星挺身而出時，甲隊一名具有遠射能力的邊鋒球星，帶球沿邊路前進，在邊線某處完成突破后突然起腳爆射，一記驚天遠射進球打破了場上僵局，幫助球隊取得了領先優勢，請你用數學知識解釋一下他選擇起腳射門位置的科學性，

為了從數學的角度搞清楚這個問題，探究小組設計了如下探究過程：第一步搜集有關球場的相關數據，第二步從這個具體問題中抽象出數學問題，第三步提出假設并驗證，第四步邏輯推理，第五步從數學的角度找到依據，闡釋球星的作用，第六步研究一般情況并總結相關結論，第七步應用探究成果解決問題，第八步查閱資料了解相關數學文化知識

2 探究過程

2.1 搜集數據

經過調查，本場比賽足球場地尺寸是世界杯決賽階段足球場尺寸.如圖1，球場長105米、寬68米，球門長7.32米、高2.44米，該球星打進這粒進球時的起腳位置是位于左邊線距離對方球門底線34米處

2.2 抽象問題

如圖2，已知矩形 ABCD，AB=105 米， BC=68 米，邊 AD 正中間有定長線段 EF=7.32 米，邊 AB 上有一動點 P ，請問動點 P 從點 B 移動到點 A 的過程中， ∠FPE 是否存在最大值，如果存在請確定此時點P 的位置.

2.3 驗證假設

根據數學經驗，探究小組認為動點 P 從點 B 移動到點 A 的過程中， ∠FPE 是存在最大值的.為了驗證假設，如圖3，探究小組利用幾何畫板進行了驗證，并應用“制表”功能記錄了動點 P 從點 B 移動到點A的過程中 ∠FPE 部分過程性數據，通過觀察發現動點 P 從點 B 移動到點 A 的過程中 ∠FPE 先變大后變小，所以可以確認假設是正確的.

2.4 邏輯推理

如圖4（魯教版五四制九年級下冊第五章第 4節），根據學習圓周角積累的經驗.如圖5，探究小組作出過點 P，E，F 的"?o"，根據垂徑定理可知圓心 o 始終在線段 EF 的垂直平分線上.當 OP⊥AB 時半徑OP 最小，此時 ∠FPE 最大.作直徑 PM ，連接 EM ，所以 ∠MEP=∠APM=90°"，所以 ∠EMP=∠APE ，因為 ∠EMP=∠AFP ，所以 ∠APE=∠AFP ，又因為∠A=∠A ，所以 ΔPAE～ΔFAP ，所以有nbsp;"即AP2=AE?AF. 根據球場相關數據可以求出 AE =48.84 米 ∠AF=56.16 米，所以易求 AP≈33.8 米.

圓周角和圓心角的關系

在射門游戲中，球員射中球門的難易與他所處的位置對球門的張角（如圖5-21中的∠ABC）有關。就角度大小而言，球員在B，D，E中的哪一個點處射門更容易些？還是都一樣？

在圖5-22中，點A，B，D，E， c 在同一個圓上。當球員分別在B，D，E 處射門時，他所處的位置對球門"AC"分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，ZAEC。觀察可以發現，這三個角的頂點在圓上，它們的兩邊在圓內的部分分別是圓的弦。像這樣的角，叫做圓周角（angleinacircularsegment）。

2.5 解釋問題

拋開防守球員位置、對方門將位置、本方進攻球員位置等其他因素，單純從數學角度來看該球星在邊線處的起腳射門的位置非常接近理論最佳位置

根據上述的探究過程，探究小組得到了初步結論.

初步結論：如圖6，線段AB是直角 ∠MON 一邊OM上一定長線段， P 為另一邊 ON 上一動點，當""時∠APB 最大（或當 ΔABP 的外接圓與邊ON相切于點 P 時，∠APB 最大）.

2. 6 拓展探究

探究小組根據上面的探究活動經驗，猜測當∠MON 為任意角度時， ∠APB 仍然存在最大值.

，幾何畫板-[未命名1]

（1）驗證猜測

如圖7，探究小組采取了相同的探究過程，繼續對銳角、鈍角兩種情況進行了分類驗證，并應用“制表”功能記錄了動點移動過程中角度的變化情況，通過觀察發現動點 P 移動過程中 ∠APB 先變大后變小，所以可以確認假設是正確的.

（2）歸納結論

一般性結論：如圖8，線段 AB 是任意角 ∠MON 一邊OM上一定長線段， P 為另一邊ON上一動點，當ΔABP 的外接圓與邊ON相切于點 P 時， ∠APB 最大（或當 OP2=OA?OB 時 ∠APB 最大）.

（3）邏輯證明① 證明存在性

證明：如圖9，設 P′"是邊""上不同于點 P 的任意一點，連結 AP′，BP′，AP′"與圓交于點 c ，連接 CB 根據三角形外角的性質，可知""，根據圓周角定理可知， ∠APB=∠ACB ，因此 ∠APBgt; ∠AP′B ，也就是當且僅當 ΔABP 的外接圓與邊 ON 相切于點 P 時， ∠APB 最大.

② 等價條件證明證明：如圖9，作直徑 PD ，連接 AD 因為 OP2=OA?OB ，所以有""又因為 ∠O=∠O ，所以 ΔOPA～ΔOBP 所以 ∠OPA=∠ABP. 因為 ∠ADP=∠ABP

所以 ∠OPA=∠ADP ，所以 ∠OPA+∠APD= ∠ADP+∠APD=90°"，即 ∠OPD=90°

所以 ΔABP 的外接圓與邊""相切于點 P ，即OP2=OA?OB 與 ΔABP 的外接圓與邊""相切于點P 是等價條件.

3 結論應用

例（2023年宜賓）如圖10，拋物線 y=ax2+bx+ c 與 x 軸交于點 A（-4，0） ，B（2，0） ，且經過點 C（-2，6）

（1）求拋物線的表達式；

（2）在 x 軸上方的拋物 線上任取一點 N ，射線 AN BN 分別與拋物線的對稱軸 交于點 P，Q ，點 Q 關于 x 軸 的對稱點為 Q′"，求 ΔAPQ′"的面積;

（3）點 M 是 y 軸上一動點，當∠AMC最大時，求M 的坐標.

本文關注的是彌勒張角的問題，所以本題中的第（1）（2）兩問的答案直接給出，此處就不呈現（1）（2）兩問具體的求解過程了.

解析 （1）拋物線的表達式為""（2） ΔAPQ′"的面積為"

（3）如圖10，作射線 AC 交 y 軸于點 N. 因為 A（-4 0）， C（-2，6） ，所以易求直線 AC 的解析式及點 D 的坐標分別為： y=3x+12，D（0，12） ，進而可求得 DC=""經分析可知，線段 AC 為 ∠ADO 一邊 CN 上一定長線段，點 M 為 ∠ADO 另一邊 CN 上一動點，根據探究結論可知，當 DM2=DC?DA 時∠AMC 最大，所以易求""，所以 M 的坐標（0，"》

4文化浸潤

教師帶領探究小組共同查閱米勒問題的相關歷史故事（1471年，德國數學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長，即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角.最大視角問題是數學史上100個著名極值問題中的第一個極值問題而引人注目，因數學家米勒提出該問題，所以該問題又稱米勒問題1），并了解米勒問題在其他方面和領域的應用.

本案例的實踐不僅是一次教學模式的創新嘗試，更是對傳統數學課堂教學模式的深刻反思與變革.它強調教學設計應遵循學生的認知規律，注重知識生成的過程性，讓學生在探究中建構知識、積累經驗、體驗成功.這種以學生為中心的教學理念，不僅回歸了學習的本質，也真正實現了“以學育人”的教育目標，為數學課堂教學改革提供了有益的借鑒與啟示.

參考文獻

[1]崔濤.波利亞解題理論解決中考米勒問題的探究及反思：以2019年煙臺中考25題為例[J].中學數學雜志，2020（6） ：58-60.

作者簡介李強（1981—），男，山東淄博人；中學一級教師，淄博市教學能手，淄博市名師，淄博市初中數學學科建設基地主持人，淄博市教育科學規劃課題“教育數字化背景下的初中數學深度教學實踐研究\"（2024ZJY064）主持人.

肖暉（1980一），女，山東淄博人；中學一級教師.