幾何學習回歸生活

教科書的國際比較研究已經成為世界數學教育的重要研究課題.在我國，課程標準與數學教科書的研究也是近10年數學教育的核心研究主題之一[1].數學是研究數量關系與空間形式的一門科學，數學中的幾何對象來源于現實生活，又要通過數學教育回歸到現實生活.課程設置上，《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“圖形與幾何\"列為四大學習領域之一;教科書編排上，浙教版七上（以下簡稱《數學》）將“圖形的初步認識”單獨列為一章，開展單元學習.美國更是為學生的幾何學習單獨編制初中幾何教科書《發現幾何》，以回歸生活的方式引導學生“發現”幾何.對兩國教科書中幾何內容的比較，既有利于為圖形與幾何這一學習領域的教科書編寫提供借鑒，也有利于深化對“幾何直觀”“空間觀念”“推理能力”等學科核心素養的理解.

1兩版教科書的基本情況

2024年8月，教育部發布《2024年義務教育國家課程教學用書目錄（根據2022年版課程標準修訂）》，其中的浙教版教科書《數學》已于2024年秋季學期正式投入使用.具體到圖形與幾何領域，新版教科書對編排順序和具體內容進行了部分調整，旨在強化幾何思維的培養.例如，增加了直線的相關描述，還增加了對圖形性質的深入探討，如相似圖形、圓的性質等.

《DiscoveringGeometry》是美國初中幾何教科書，從第1版發布至今已經過4次修訂.我們選擇了最新版本的《Discovering Geometry（FIFTH EDITION）》（以下簡稱《發現幾何》）[2].就和它的書名一樣，《發現幾何》的最突出特色就是“發現”.例如，在幾何學習的起步階段，《發現幾何》就讓學生嘗試用自己的語言定義幾何概念，并設置了定義表（DefiniteList）的學習活動.《發現幾何》是如何讓學生經歷“發現”的過程呢？

我們發現，它的主要方式是“回歸生活”，即為學生的幾何學習打造生活化的學習場域

2選擇\"線”的理由

《數學》依然保留了之前版本前6章的內容：有理數、有理數的運算、實數、代數式、一元一次方程、圖形的初步認識.但是部分小節和具體內容發生了變化.例如，在《數學》的第167頁，增加了直線的基本事實的相關表述.

點、線、面是幾何圖形的基本構成要素，《發現幾何》中就將“幾何的基本元素（BuildingBlocksofGeometry）”作為章節標題.其中，“線”在幾何學習中具有基礎性.其一，在幾何概念的構建上，當點按照某種規則進行運動，就形成了線，而線的運動或封閉形成了面.其二，在知識體系的遞進上，線的學習一方面為后續復雜圖形的學習提供基礎，另一方面又是學習幾何變換的前提.例如圖形的平移、旋轉或軸對稱圖形等，都離不開對線的“變與不變”的分析.其三，在核心素養的培育上，線的學習有利于幫助學生從直觀的實物模型中抽象出幾何元素，在實際生活和幾何概念之間建立起聯系，并且線的基本性質還是幾何證明的邏輯起點.由此可見，線的學習與幾何直觀、空間觀念和推理能力等學科核心素養的形成有著密不可分的關系.基于上述分析，我們選擇《數學》和《發現幾何》中“線”的內容進行比較研究，以期對我國教科書的編寫和使用提供借鑒.

3兩版教科書“線”的內容比較

通過對兩版教科書知識點的對比，我們選擇從“線”的定義及表示、“線”的關系與運算、“線”的模型這三個主題進行分析.表1呈現了兩版教科書所涉及的具體知識點及其對應主題.

3.1 線的定義及表示

線的定義是指線段、射線和直線的概念.線的表示是指線的作圖和用符號表示線.《數學》借助手電筒照射夜空的案例以及連線圖的學習活動，引導學生回顧了小學階段有關線的概念，于是比較合理地過渡到了線的符號表示方法.值得注意的是，《數學》在射線的符號表示方法中設置了1個問題：

如圖6一9中的射線記作“射線BA”，而不能記作“射線AB”（為什么？）.

這一問題旨在引導學生思考射線與線段、直線的不同之處.學生在比較不同類型線的符號表示方法的過程中，逐漸加深對線的概念的認知.

《數學》中的習題主要包括做一做（例題）課內練習（練習題）和作業題.《數學》中的例題是緊跟在知識之后的，在學習完線的表示后，就呈現了涉及線的作圖、用符號表示線的相關例題，并且在練習題和作業題中，也出現了一些生活實例.例如建筑工人砌墻（P167，第3題），此題涉及直線的基本事實.還有用火柴棒擺數字（P168，第4題），本質是用線段表示數字.總的來說，《數學》結合具體案例介紹數學的概念和定理在現實生活中的應用，以加深學生對這些概念和定理的理解，從而能把幾何學習和現實生活聯系起來.

與《數學》不同的是，《發現幾何》并沒有先將線分為線段、射線和直線，而是從動態角度對線的形成進行解釋，即點動成線、線動成面，并給出了線的1個數學模型和1個實物模型，如圖1所示.

《發現幾何》沒有直接給出線的定義，而是設計了名為“定義表（DefiniteList）”的數學探究活動.在這一探究活動中，首先介紹了古希臘人和我國古代墨家對線的定義：古希臘人說，一個點是沒有部分的，一條線是沒有寬度的；中國古代墨家的哲學家說，線是有部分的，而當將線分為若干部分，且沒有剩余時，剩下的就是點.然而這兩個例子卻是反例.因為對學生而言，定義點、線、面對他們的幾何學習并沒有多大幫助.但是，借助未經定義的點、線、面，學生可以定義其他任何幾何術語或幾何圖象.定義表（DefiniteList）這一探究活動的第一項任務就是定義“共線”和“共面”.學生一方面要用自己的語言解釋該術語，另一方面又要在旁邊配上草圖.

習題設計上，與《數學》的分層設計不同，《發現幾何》并沒有對題目進行分層，而是在學完線的所有內容之后一次性羅列35道習題.習題內容上，《發現幾何》的習題中幾乎全是抽象的幾何圖形，更加注重學生的操作如命名（name）、畫圖（draw）、標記（label）等.比較特別的是第1題，要求學生在攝影照片中找出盡可能多的點、線、面，以及共線和共面關系，如圖2所示.左邊是一個幾何體的實物模型的照片，右邊則是一場乒乓球比賽的照片.

Exercises

1.In the photos below identify the physical models that representapoint，segment，plane，collinearpoints，and coplanarpoints.

3.2 線的關系與運算

線的關系，涉及兩條線段的大小關系（“gt;”和“lt;”和\" σ=σ ”），以及比較兩條線段大小的方法.《數學》以一個生活中的實際問題開始：

要比較兩根繩子的長短，你有幾種方法？

這一問題的解決有直接測量和間接測量兩大方法，在這里我們主要討論間接測量的方法.

在現實情境中，我們會將兩根繩子的一端固定在一起，并觀察兩根繩子的另一端，從而比較出兩根繩子的長短.將現實問題抽象成數學問題后，則需要借助工具“圓規”.關于圓規的使用方法，《數學》中的說法是“用圓規把它們‘疊’在一起進行比較”.其意圖是先讓學生動手操作，再給出尺規作圖的定義，引導學生在做中學，如圖3所示.

線的運算，涉及兩條線段的相加或相減，以及線段的中點.以上三種運算在本質上都是對線段的劃分.在《數學》中，既有對線的大小關系和加減運算、線的中點等概念的學習，也有對刻度尺、無刻度的直尺、圓規等工具的學習，較為合理地將尺規作圖融入這一主題的學習與鞏固之中.此外，在習題設計上，也體現出從數學情境到現實情境的層次變化，例如第176頁的第6題就設計了村民打井的現實情境.

《發現幾何》在這一主題中將重心放在符號（sym-bol）和標記（mark）上.首先，《發現幾何》對表示“相等”的符號（symbol）進行了說明.在我國，“ ”一般用于表示兩個三角形的全等關系.而在《發現幾何》中，4 Σ=Σ ”和“ ”都可以用于表示兩條線段的相等關系.它們的區別是：數字上的相等用符號“ Σ=Σ ”表示，而圖象中的相等用符號“ ”表示，如圖4所示.此外，《發現幾何》又引導學生在圖象中使用多種標記（mark）來表示不同的相等關系，例如單橫線、雙橫線和三橫線，也如圖4所示.

When drawing figures，you show congruent segments by making identical markings.

These single marks mean these two segments are congruent to each other.

Thesedoublemarks mean that These triple marks mean that

與《數學》不同的是，《發現幾何》中“線的中點”這一知識被設置在解析幾何專題學習的第一節.《發現幾何》選擇直接呈現出平面直角坐標系中線段中點坐標的計算公式，如圖5所示.同時，《發現幾何》還設計了一系列例題和習題幫助學生加以鞏固.結合計算公式，學生能夠進一步體會中點的雙重含義：中點的“中”不僅體現在點的位置關系上，還體現在坐標的數量關系上.

Coordinate Midpoint Property If （x₁，y₁） and （x₂，y₂） are the coordinates of the endpoints of a segment，then the coordinates of the midpoint are

3.3 線的模型

線的模型包括線的數學模型和實物模型.實物模型有利于學生理解數學概念，而數學模型有利于學生解決現實問題.在《數學》中，我們選擇“身體中的尺子\"這一設計題加以分析.其實，本題是對新課標中“身體中的尺子”這一教學案例的改編.新課標中指出，本案例在于引導學生了解非標準測量單位，能根據實際需求選擇或創造合適的單位，能進行合理估測，在活動中逐步加深對度量思想的體會[3].活動的第一部分是“認識”.《數學》直接呈現了3個身體上的尺子，分別是1拇、1肘和1柞，如圖6所示.由于不同人的身體存在差異，首先需要用刻度尺測量自己身體上“尺子\"的長度.

活動的第二部分是“應用”.選擇合理的“尺子”，測量教科書、課桌與黑板的長與寬，再與刻度尺的測量結果進行比較.活動的第三部分是“發現”，發現身體上的其他尺子并進行實際地應用.總的來說，這一活動即有生活化的問題（如何在沒有合適的測量工具時利用身體中的尺子進行測量），又有生活化的思考（嘗試發現更多身體中的尺子并進行實際應用），將現實問題（現實物體的測量）與數學方法（疊合法）以及幾何概念（線段和差的意義）等很好地結合在了一起，為學生的幾何學習提供了生活化的學習場域

在引入點、線、面這些概念時，《發現幾何》就呈現了它們的數學模型和實物模型，引導學生將現實生活和幾何概念聯系起來進行學習.此外，《發現幾何》還設置了有關“數學模型”的調查題，以及有關“數學推理”的推理題.《發現幾何》中的調查題以小組合作的形式設計了4個任務，具體為：（1）發現教室中的幾何術語；（2）發現照片中的幾何術語；（3）發現圖象中的幾何術語；（4）用自己的話解釋這些幾何術語.從問題的情境看，是從具體的現實情境過渡到抽象的數學情境；從觀察的對象看，是從具體實物到攝影照片再到抽象圖形；從學習的方式看，是在小組合作的過程中形成自己對幾何術語的定義.《發現幾何》并不關注幾何術語的精確定義，而是重視在現實生活和數學學習之間建立起有意義的聯系，讓學生在觀察中發現并理解這些幾何術語.

新課標確立了初中數學9大學科核心素養，與幾何學習密切相關的有“幾何直觀”和“空間觀念”.事實上，幾何學習還涉及推理與證明，所以幾何學習還需關注“推理能力”這一核心素養.而《發現幾何》就設計了有關“數學推理”的推理題，主要是介紹多聯骨牌.多聯骨牌是指若干個正方形彼此相連的不同形式.當正方形數量為1或2時，稱為1聯骨牌和2聯骨牌，其形式都只有1種.當數量為3時，稱為3聯骨牌，且存在2種不同形式.圖7給出了1聯骨牌到4聯骨牌的部分形式.

比較有意思的是4聯骨牌，有5種不同形式.游戲“俄羅斯方塊”中的不同方塊就是4聯骨牌.《發現幾何》給出了4聯骨牌的1種形式，要求畫出其它4種形式.學生如果在學習之前曾玩過游戲“俄羅斯方塊”，就能比較快速地畫出其他形式的4聯骨牌.此探究題的設計既有數學史的滲透，又有與數學游戲的結合，在貼近學生生活的同時培養其推理能力.其實在《數學》中也可發現多聯骨牌的影子，正方體的不同平面展開圖其實就是不同形式的6聯骨牌.《發現幾何》和《數學》對多聯骨牌這一素材的運用，恰好證明了幾何學習回歸生活是有其教育價值的.

4研究的結論

通過對兩本教科書三個主題的比較，我們發現《數學》和《發現幾何》都在一定程度上引導學生的幾何學習“回歸”生活，我們可以從中發現一些相同點.但同時，兩本教科書在“回歸”的內容上又各有側重，在“回歸”的方式上又各有特色，我們亦能從中發現一些不同點.

4.1 《數學》和《發現幾何》的相同點

一是利用生活化的素材，促進學生的觀察、思考和表達.例如，《數學》在每一小節的開頭都設置了與實際生活相關的情境與問題，讓學生帶著生活中的問題進人幾何知識的學習，而不是空著腦袋直接學習某些概念.而《發現幾何》則是以留白的方式引發學生的思考與表達.表現之一是定義表（DefiniteList）這一探究活動，《發現幾何》讓學生自己對幾何術語進行解釋，并進行相應的作圖.

二是設計生活化的情境，引導學生在做中學.在《數學》中，由于學生是首次接觸尺規作圖，《數學》先是降低難度，設計了一系列含有簡單幾何圖形的習題，又進一步設計了較為復雜的生活問題.而從《發現幾何》習題的設問中可以看出，命名（name）、畫圖（draw）和標記（label）等操作性的動詞出現的頻率較高，學生在“做”的過程中不斷鞏固之前學習到的幾何知識.

三是提供生活化的鏈接，提高學生的學習興趣《數學》在解釋“兩點確定一條直線”這一基本事實時鏈接到了建筑工人這一職業：建筑工人在砌墻時，經常在兩個墻角分別立一根標志桿，在這兩根標志桿之間拉一根線.而《發現幾何》則鏈接到了木工這一職業：木工使用一種叫做刨子的工具來刮削粗糙的木質表面，以打造出完美光滑的平面.制作高質量的木制品需要對線條、平面和角度有深入的理解，同時還需要仔細的測量.這些鏈接既提高了學生的學習興趣，又能使學生體會到數學學習是未來生活與工作的基礎.

4.2 《數學》和《發現幾何》的不同點

一是在題目設計上.《數學》中尺規作圖的學習以生活中的問題為開始，穿插抽象化的數學例題，又在最后設計了生活化的數學習題，實現了從生活到數學再到生活的良好過渡.而《發現幾何》中的題自大多配以抽象化的數學圖形或直接沒有圖形，側重于學生的畫圖與計算.

二是在圖片選擇上.不難發現，《數學》中的圖片大多是卡通風格，學生在觀察這些圖片往往能產生聯想，《發現幾何》呈現了不少的實物圖，例如介紹點、線、面時的面包、意大利面和烙餅，很好地將數學概念和生活中的美食結合了起來.除此之外，《發現幾何》還特別注重引導學生從攝影照片或身邊環境中發現幾何圖形.

三是在拓展內容上.《數學》和《發現幾何》都在正文之外設置了相應的拓展內容.例如《數學》中的設計題既能教會學生一些測量線段長度的簡易方法，又能幫助其理解疊合法這一度量線段長度的基本原理而《發現幾何》中的拓展內容既包含名人名言和職業介紹，也包括有關“數學模型”的調查題（investigation）和有關“數學推理”的推理題（reasoning）.

5 研究的啟示

數學教學回歸生活，核心是主體的回歸[4].要想讓學生的幾何學習回歸生活，從教科書編寫角度看，要實現工具使用、圖片選擇、閱讀資料等方面的相互配合.只有為學生的幾何學習打造生活化的學習場域，才能有助于學生將所見、所思、所得與自己的生活實際相結合，最終實現主體的回歸.結合研究的結論，我們對教科書的編寫也產生了一些思考：一是要在工具使用中設計生活化的場景；二是要在圖片選擇中補充生活化的照片；三是要在資料拓展中實現生活化的鏈接.

5.1在工具使用中設計生活化的場景

前面提到，《數學》和《發現幾何》都重視學生的“在做中學”.有學者對浙教版初中數學新教科書的特色做了分析，其中就提到新版教科書增強了尺規作圖的基礎性與工具性[5].尺規作圖的學習有利于學生理解幾何概念及其關系，而對幾何概念及其關系認識的深化反過來又有利于學生尺規作圖的規范化.這給予教科書編寫的啟示是，在學生使用工具動手操作時，教科書應為學生提供生活化的場景.一方面，不僅要介紹工具有什么用、如何使用，還可以適當介紹工具產生與發展的歷史、工具與人類生產生活的關系.另一方面，將工具的使用與生活中的實際問題結合起來，通過設問的方式引起學生對生活中的數學問題的思考.

以尺規作圖為例，數學史上，古希臘數學家曾提出過尺規作圖三大難題：三等分角問題、立方倍積問題和化圓為方問題.此外還有著名的正多邊形問題和四等分圓周問題.數學家高斯也曾發現了正十七邊形的尺規作圖法，并給出了一般性的結論.這些數學史知識都可以嘗試著有機融入后續尺規作圖的學習之中.此外，還可嘗試從中華優秀傳統文化中挖掘尺規作圖的優秀素材，我國古代的準、繩、規、矩這些工具其實也是隨著人們生產、生活的需要而誕生的.古代的“矩”就是木工用的直角尺，既可以用于測量、畫直角和直線，還能代替圓規作圓，甚至還能用于確定角平分線[6].

5.2在圖片選擇中補充生活化的照片

幾何學習離不開對圖片的觀察，這里的圖片包括數學圖形、插畫繪畫、實物照片等.《數學》中呈現了較多的插畫繪畫，這符合學生的年齡階段特點，照顧到了學生的認知水平和思維能力.不同的是，《發現幾何》設置了一些生活中的實物照片，這體現了全書“回歸生活”的整體基調，但也在一定程度上提高了學生的學習難度.這給予教科書編寫的啟示是教科書中的圖片選擇應多元多樣，既可考慮抽象化的數學圖形，也可采用形象化的插畫繪畫，還應適當補充生活化的實物照片.《發現幾何》選擇圖片的思路是：在知識的學習過程中著重呈現實物照片，而又在知識鞏固的過程中著重呈現數學圖形.未來的教科書編寫可考慮如何適當地補充生活化的照片，有效實現幾何學習的主體回歸.

5.3在閱讀資料中實現生活化的鏈接

除了數學知識，《發現幾何》還補充了不同類型的閱讀資料，以在學生學習和學生生活之間實現有效鏈接，比如名人名言、職業鏈接、歷史鏈接等.鏈接不是從知識到生活的線性運動，而是知識與生活的雙向聯系.要想在資料拓展中實現生活化的鏈接，其一，可收集整理數學、物理及其他學科名人有關“生活與數學”“自然與數學”的相關名言，幫助學習認識數學與生活之間的關系.例如《發現幾何》就介紹了物理學家伽利略的名言：大自然這本偉大的書是用數學符號寫成的.其二，可從生活常識、人類職業、文化活動等方面挖掘數學史上的發現與發明，因為數學的產生與發展，往往以人類的某種生產或生活需要為背景.例如，《發現幾何》中“歷史鏈接”專欄介紹到，古埃及、中國、希臘和羅馬由于生活實踐的需要，設計了各種坐標系統來定位船只.最后，特別要關注學生自己的生活，這關系到知識與生活之間能否能夠真正地產生雙向聯系.要將數學知識回歸到學生自己的生活，引導學生結合生活實際發現、提出、分析、解決問題，最終形成對現實世界的數學理解.

參考文獻

[1]石義娜，吳京霖，夏小剛.近十年中國數學教育研究圖景：基于《數學教育學報》（2012—2022年）文獻共被引的視角［J].數學教育學報，2023，32（2）：88-96.

[2]Michael Serra.Discovering Geometry[M].Kendall HuntPublishing Company，2015：24-32.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：7-11.

[4]陳碧芬，張維忠，唐恒鈞.“數學教學回歸生活”：回顧與反思[J].全球教育展望，2012，41（1）：86-92.

[5]唐恒鈞，華瓊.依據課標精神立足學科本質著眼學生發展：浙教版初中數學新教科書的特色分析[J].中學教研（數學），2024（11）：5-8.

[6]黃賢明.文化自信視域下的數學教學：內涵、價值與實踐路徑[J].中學數學雜志，2024（12）：1-5.

作者簡介何城瀟（2002—），男，浙江杭州人，碩士研究生；主要研究方向為數學學科教學.

朱哲（1979—），男，浙江紹興人，教育學博士，副教授，碩士生導師；主要研究方向為數學課程與教學論、數學史與數學教育研究.