對無限的形式與內涵的思考

初看這個標題，相信很多人會有疑問""0.3333·與""難道不是一個意思嗎？難道“ a=b*"與“ b=a ”不等價嗎？

帶著這些疑問，本文嘗試用通俗、生動但不失科學、嚴密的語言，對這個問題一無限（無窮）的形式與內涵進行解釋.

首先，本文明確分數的概念及其意義.

1分數既是一個數，又表示分子除以分母的運算

分數是對于整數而言的.從自然數到分數是數的發展史上的重大進展.自然數非常直觀，是現實數量的抽象，由數量的多少抽象為數的大小.有了1以后，陸續有了2，3，…， n ，…對于0的認識，人類經歷了較長的時間.沒有0，就無法表述相同的兩個自然數相減的運算結果，可以說，0進人自然數集合，使自然數集合如虎添翼.自然數集合對于加法、乘法運算是封閉的，通俗地說，就是任意兩個自然數的和、積都是自然數.對于大數減小數來說，減法運算也是封閉的；小數減大數的情況，產生了一類新的數一一負數，我們姑且不談.

但是，對于除法運算，大數除以小數，有時能夠整除，有時無法整除.無法整除的，產生商以及余數.小數能不能除以大數？如果能，這種新的數如何定義？意義是什么？這就是分數.

上述描述都是從數自身的運算來看，也就是從數學內部自身的系統來看.從現實實際看，我們會遇到一類問題：把整體分為2份、3份，每份是多少的問題.對于具體的6個蘋果，即使沒有學過除法，如果我們把它平均分為2份、3份，學生也會通過具體的操作，得到每份是3個、2個.如果把這個過程一般化，不失一般性，把整體看作1（對它的認識并不容易）.實際上，把6個蘋果看成一個整體，不難.但是，把它看成1，這個1既是抽象的整體的1，又是具體的數字1.對整體是1的認識會伴隨數學學習的始終.抽象為1，會為后續的運算帶來極大的方便，同時不失一般性，這里面其實是符號意識的重要表現.符號意識、符號化是具體到抽象、特殊到一般、直觀到邏輯的重大轉折.為了獲得一般性的規律，必須抽象，使得它能表示一類事物，進而能夠解決一類問題

產生分數有其現實必要性，這樣每份定義為"""它們都是相對于整體1而言的.如果整體是""份就是""份是就""都是分數單位.

如何理解""《義務教育數學課程標準（2022 年版）》第107頁有一個經典的案例“例16除法可以寫成分數的形式為什么 4÷2 可以寫成"”[1這個案例講的很好、講的很透徹.由此，分數既是一個數，也表示分子除以分母的運算，是除法運算的結果.

在低年級階段，對整數、分數還是要做區分，這種區分是必須的.這是基于低年級學生具象、直觀的思維特點，抽象、邏輯和辯證思維較弱.而且分數一般來說，是真分數，不然不會出現“假分數”這樣的名詞概念.隨著后續的學習，符號化、形式化、一般化的數學特點，使得我們可以把整數看作特殊的分數，整數與分數有統一的解析式""，其中 p，q 是互質的整數，""0.這是后話.

下面認識分數與小數的關系.

2 分數 ? 有限小數或無限循環小數

只從數的大小的角度看，整數可以寫成有限小數的形式，小數點后有有限個0.對于一般的分數來說，可以表示為有限小數的形式，如""；有限小數可以寫成分數的形式，如""這個很容易理解，也不存在認識上的歧義.但是對于""的認識，只從形式上看，似乎不存在問題，因為 1÷3 的運算可以無止境地進行下去，小數點后的3重復出現，我們稱之無限循環，像0.3333…這樣的小數稱為無限循環小數.由此，根據邏輯學的排中律，還有一類無限不循環小數，這類數稱之為無理數.我們姑且不談

在‘""中，“ Φ=' 的意義，其實是表示的意思，或者說 1÷3 運算結果的形式表達.但是無限循環的意義是什么，沒有給出任何解釋.對于低年級的學生來說，我想沒有太大的問題.形式表達是數學很重要的方面，但更重要的是數學的內涵．也就是L""的內涵是什么？如何理解無限循環的數學意義？這個必須首先界定，不界定的話，容易產生歧義.而且，無限的問題與有限的問題有著本質上的不同，真正駕馭無限的集合論、極限等工具、思想在歷史上出現的很晚（19世紀末期），這本身就說明對于無限的嚴密、精致的理解并不是一件容易的事情.

自然數集合我們說是無限集合，這很直觀，是我們研究一般無限問題的基礎.嚴格一點的話，就是對于自然數集合中的任意一個元素 n ，總存在一個比它大的元素""，這個集合中不存在最大的元素，它是無限集合.進一步，對于下面的數列

當 n 越來越大時，""的值越來越小，與0的差的絕對值可以小于任意給定的大于0的正數 ε .顯然，這個數列表達的是一個變化的過程，而且這個變化是無限變化，是沒有止境的.""既是一個變量，也是一個常量，這種辯證思維是字母表示數的雙重性決定的：字母既是特殊、具體的數，也是一般、抽象的數

如何理解這種沒有止境、無限變化的過程？極限出現了，極限對這種過程蓋棺定論.正如偉大的數學家高斯所言：“不要把無窮看作已經完成的過程，這在數學上是絕對不允許的.無窮只是一個形象的描述，其真正的意義是一種極限.”[2]

對上述無限、取極限的過程，用現在標準化的符號語言表示就是

通俗地講，就是當 n 趨向于無窮大時，""的極限為0，或者說""是無窮小量.極限是一個極其“微妙”的概念.這種“微妙”就是，它是變量""無限趨近的一個值，而不是達到的一個值，因為無論正整數 n 取何值，""的值恒不等于0.理解極限的概念并不容易，無論直觀上，還是抽象的用絕對值不等式進行嚴格描述，它是一個高級概念.極限的這種思想方法奠定了現代高等數學的重要基礎.

讓我們回到 0.333… 上來，它的內涵是什么？這是我們首先要界定的，必須要界定的.現在標準化的界定有兩種方式：

（1）把0.333…看作數列0.3，0.33，0.333，…

的極限.具體來說就是，數列0.3，0.33，0.333，的一

個通項公式為""

（2）把 0.333… 看作無窮級數

0.3+0.03+0.003+…

而無窮級數的值是這個無窮級數的前 n 項和的極限具體來說就是， 0.3+0.03+0.003+… 的前 n 項和為"，根據（1），它的極限為"

由上面的表述，不難看出（1）與（2）是等價的.同時，我們得到“ 0.999…=1…"這樣的結論.推而廣之，所有的無限循環小數都可以通過這種方式表示為分數.所以，分數與有限小數或無限循環小數等價.

但是，上述內容在小學或中學階段講授顯然不合適，在大學伊始講授也是一個難點.怎么辦？怎么把無限循環小數化為分數？

現在很多小學、中學教科書采用如下的方式：

假設 0.333…=x ，那么 3.333…=10x 10x-x=3 ，所以"

這種處理方式，從形式上看，沒有問題.低年級階段，也只能講到這種程度.這種處理方式，有三個默認：（1）默認 0.333… 雖然看上去是一個無限變化的過程，似乎是一個變量，但實際上是一個具體的常量x ，只不過我們不知道它的具體數值，現在就是求出它的值；（2）默認0.333…與10相乘，小數點向右移動一位，其結果也是一個具體的數值 10x ；（3）默認3.333與0.333可以進行類似有限小數的減法運算，小數點對齊后，小數點前后的數字從左到右上下對齊，對齊的數字上下相減即可.

當然，從后續的學習，特別是大學微積分的學習看，假設 0.333…=x ，與 3.333…=10x 并不是顯然的，而且無限小數的運算與有限小數的運算有著本質的不同，這是后話.

教學中，很多老師、學生認為""或者說0.999…lt;1 （兩者意義等價）.這種認識，有一定的道理.這個道理就是把""只看成一種形式，而非內涵.現在標準的教科書都把無限循環小數的形式以及內涵統一了起來.在這種意義下，0.333…與""等價，也就是說"

上述對無限循環小數意義的表述，可以幫助我們解決很多有限的問題.看下面的問題.

3神奇的142857[3]

數142857的神奇，不需要贅言.142+857=999，14+28+57=99，1+4+2+8+5+7= 2 .7（2+7=9 ）142857×1=142857 1142857×3=428571 142857×2=285714 142857×6=857142 5 2142857×4=571428 8142857×5=714285 而 142857×7=999999 圖1

142857分別與1，2，3，4，5，6相乘，結果都是142857的一個排列，而且這個排列保持數字的順序不變，如圖1所示.

為什么出現這種情況？我們是否可以給出理由？這時無限循環小數就可以大顯身手了.

首先，我們有一個前提"". 142857 142857142857在這個前提下，給出證明.

觀察乘積的結果，我們發現，它們都是分數""的循環節中的數字向右移動1＼～6位的一個排列.如何讓小數點向右移動？最簡單的方法是乘以10，100，1000等等.我們先看乘以10的情況：

1.428571428571428571·

而""即

"即1.428571428571428571-1的結果相等，所以 3×0 ：142857 142857142857與0.428571428571428571… 相等，所以可以表述為

3×0.142857142857142857…= 0.428571 428571 428571.

由此可以得到， 3×142857=428571 同理可證其他結論.

你有興趣嗎？可以試一試.

這是一個典型的用無限方法處理有限問題的題目，很有啟發性.在某種程度上，說明無限與有限的辯證統一.

本文系統闡釋了分數“""1”、無限循環小數“0.3333···”等號“ Σ=Σ ”的內涵，以及三者之間的關系.最后，讓我們回到文章的標題上來，“"""”中的“？”是一語雙關的：既是疑問的表述，更是闡釋為什么的緣由；其中對于“ σ=σ ”的理解也是雙重的：既表示從左到右運算/推理的結果，又表示建立了“ Σ=Σ ”兩邊兩個數學對象的等價關系，而等價關系滿足的基本條件就是自反性、傳遞性等等.

綜上，中學數學學習的內容與要求的整體性、階段性與一致性告訴我們，既要整體上把握知識內容的表現形式及其內涵；又要關注不同學段學生認知結構及思維的特點，做到嚴謹適度、“混”而不錯;還要前后語言表述、思想方法一致.只有這樣，才能真正做到對同一知識內容的認識不斷螺旋上升，達到特殊與一般、具體與抽象、直觀與邏輯的辯證統一.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]埃德溫·湯普森·杰恩斯（E.T.Jaynes）.概率論沉思錄[M].廖海仁，譯.北京：人民郵電出版社，2024.

[3]R.柯朗，H.羅賓.什么是數學[M].左平，張飴慈，譯.上海：復旦大學出版社，2006.

作者簡介張勁松（1972—），男，編審；主要從事中學數學課程教材教學研究.