基于“生本\"理念的數學教學實踐與研究

“生本\"理念是指將學生放在課堂主體地位的教學模式，學生因親歷知識的形成與發展過程，實現思維與能力的雙重發展.《義務教育數學課程標準（2022年版）》再次強調了學生在課堂中的主體地位，特別提出教師應關注學生認知發展所遵循的基本規律，基于“以生為本\"理念實施教學，達到理想的教學成效.這要求教師在課堂上科學設計高質量的問題或活動，讓學生在主動思考的基礎上建構新知，提升學力，為發展數學核心素養奠定基礎.現以“特殊角的三角函數（第二課時）\"的教學為例，來展開具體研究.

教學分析

“特殊角的三角函數\"是繼正弦函數、余弦函數、正切函數之后，分別對 30^°，45^°，60^°，15^°，75^° 角三角函數的探索，需要學生在銳角三角函數概念的基礎上進行研究.考慮到本班學情特征，筆者決定在與學生共同探索完 30^°，45^°，60^° 角的三角函數值之后，增設一堂綜合實踐課，繼續探索特殊角的三角函數值，擬通過活動誘導學生的思維.教學過程中不僅要堅持“以生為本\"的教學理念，還要關注到學生合作交流、實踐探索等能力的發展.本節課擬以特殊角的三角函數為載體，利用從特殊到一般、類比、數形結合等數學思想方法，解決特殊角的三角函數問題[1].

教學過程簡錄

1.舊知回顧，引發思考

建構主義理論認為：學生新知的建構需建立在舊知的基礎上，新舊知識的融合形成了新的知識結構.數學是一門系統的學科，學生所學的知識遵循由淺入深、循序漸進的原則.講授新課時，部分教師會選擇以舊知回顧作為教學的起點，引導學生通過對自身認知結構中的已有信息進行提取與鞏固，為構建新的知識體系夯實基礎.本節課之前，學生已經學習過 30^° 角 、45^° 角 ?60^° 角的三角函數值相關知識.顯然，這部分知識就是本節課教學的起點，通過對這部分知識的回顧可勾連新舊知識，為建構新知奠定基礎.

師：大家還記得上一節課我們學了什么內容嗎？

生1：主要探索了特殊角，即 30^° 角 、60°. 角 、45^° 角的三角函數值.

問題1現在請大家說一說 30^° 角 、45^° 角 ?60^° 角的三角函數值分別是多少，并闡明原因.

設計意圖艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們，新建構的知識遺忘遵循一個由快到慢的過程，若想讓學生減少遺忘，最好的辦法就是在恰當的節點及時復習鞏固.上一節所學內容與本節課間隔了一天的時間，此時引導學生回憶，能起到鞏固記憶的效果.因此，此環節教師引導學生分別回顧 30^° 角、 45^° 角、 60^° 角的三角函數值，一方面起到強化記憶的目的，另一方面為本節課教學做鋪墊.

問題2除了 30^° 角 、45^° 角 ?60^° 角的三角函數值之外，你們覺得還有哪些特殊角的三角函數值能人工求得？

生2：我認為 15^° 角的三角函數值可以獲得，理由在于 30^° 角 、45^° 角之間相差 15^°，45^° 角 ?60^° 角之間也相差 15^° ，而且 30^° 角 、45^° 角 ?60^° 角這三個角均為 15^° 的倍數.

生3：我認為 22.5^° 角的三角函數值也能獲得，理由在于 45^°÷2=22.5^°

師：想法都不錯，還有其他想法嗎？

生4：或許還能獲得 75^° 角的三角函數值，因為 30^°+45^°=75^°

師：非常好！大家分別從角的和、差、倍、分關系等角度進行了分析，可見大家的思維都很活躍，既然存在那么多種可能，你們更想選擇哪個度數的角來分析呢？

生5：如果讓我選，我會選 15^° 的角.

師：說說你的理由.

生5：從以上幾位同學的發言來看， 15^° 角更具特殊性，它既可從角的和差維度來分析，又可從倍分關系分析.

師：確實， 15^° 角很特殊，接下來我們就探索 15^° 角的三角函數值，希望大家能在課堂上有所收獲.

設計意圖在回顧舊知的基礎上，教師并沒有直接給出課堂探索主題，而是將主動權交給學生，鼓勵學生猜想接下來的研究方向.如此設計，不僅能讓學生體會到自己是課堂真正的主人，還激活了學生的思維，讓學生對接下來的探索充滿好奇心，由此催生出濃厚的探索欲.

2.深入探索，強化理解

問題3根據以往探索特殊角三角函數值的經驗，請大家先獨立思考5分鐘，而后以小組合作交流的方式來探索求 15^° 角三角函數值的方法.

組1：如圖1，已知 RtΔACB 中的∠BAC=30^°，AD 為該角的平分線.若BC的值為1，那么AB的值為2，AC的值為 過點 D 作 DE 與AB垂直于點 E. 容易證得 ΔADE?ΔADC ，所以A E=

在Rt△BDE中， ∠DBE=60^° BD= ，所以 在RtΔADC 中， ∠CAD=15^° tan∠CAD= DC_2V3-3=2-√3.從勾股定理出發，有 ，算到這里就無法繼續了.

師：該組同學雖然獲得了 15^° 角的正切值，卻沒能順利獲得 15^° 角的正弦值與余弦值，其他各組有沒有不同的想法？

組2：如圖 中的∠BAC=15^° ，在 _AC 邊上取點 D ，使得AD=BD ，則 ∠CDB=30^°. 若 BC=1 ，那么 .所以ta n∠CAB= 至此也卡殼了……

師：從以上兩組同學的解題思路來看，他們雖然構造的圖形不一樣，但探索 15^° 角的三角函數值時遇到的問題卻驚人的一致.從獲得 15^° 角的路徑上來說，兩組同學選擇了同一類方法，誰來說說是哪種方法？

生6：這兩組同學均是從 30^°÷2= 15^° 的維度來思考的.

師：不錯，從兩組同學的解題過程來看，這條途徑并不容易走通，那還可從什么角度來思考？

生7：還可以從和差關系來探索15^° 角.

師：依然給5分鐘的時間讓大家思考，而后各組再討論

組3：如圖3，已知Rt ΔACB 中的∠DBC=30^° ， ∠ABC=45^° ，過點 D 作DE 與AB垂直于點 E. 倘若 BC=1 ，那么 所以 DA=1- 在Rt ΔADE 中，在 ∠A=45^° 的情況下， EA=ED=

師：太棒了，換一種思維就順利解決了問題.由此帶給你們什么啟發？

生8：在探索問題時，若遇到障礙，不要氣餒，更不能鉆牛角尖，可以換個視角來觀察與思考問題，或許就能柳暗花明.

師：縱觀整個數學史的發展，每個定理或公式的形成都經歷了無數次挫折，這就是數學學科的嚴謹精神與文化魅力.關于 15^° 角的三角函數，大家還有其他研究方法嗎？

生9：從 .60^°-45^°=15^° 的維度來構造圖形，最終獲得的結論與以上 45^°- 30^°=15^° 是一樣的

師：事實上，關于 15^° 角三角函數值的探索方法，除了以上同學們所提出的四種之外，還有好多種，其中關于正切值的探索方法最多.值得關注的是，不論應用哪種方法來探索，均應用到 30^°. 或 45^° 特殊角的直角三角形的三邊關系.現在關于 15^° 角的三角函數值已經浮出水面，基于此，你們覺得還能快速獲得哪些特殊角的三角函數值？

生 10：75^° 角的三角函數值可快速獲取.

師：闡明理由呢？

生11：原因很簡單，銳角的正弦值與其對應余角的余弦值相等，銳角的余弦值與其對應余角的正弦值又相等，那么兩個互余的角的正切值就互為倒數關系.

師：完美！若課堂擁有充足的時間，你們還希望探索哪個角的三角函數值？

設計意圖引導學生自主提出探索主題，再圍繞主題展開深入分析，整個過程都將學生置于首要位置.教學流程圍繞學生的想法順勢而下，學生在兩次合作交流中逐漸撥開云霧見天日.如此設計，不僅充分尊重了學生的發展需要，還讓每個學生都積極地參與到課堂探索中來.

3.歸納總結，提煉升華

問題4通過本節課的實踐與探索，你們分別有哪些收獲與感悟？

此為一個開放性問題，成功打開了學生的話匣子.在教師的引導下，學生分別從知識結構、思想方法、感悟等維度展開分析.關于 15^° 角的三角函數值的探索，課堂上分別經歷了 30^°÷2 即 60^°-45^° 的過程，而后又將思維從 15^° 角的探索延伸到 75^° 角的探索.將整個探索過程匯總到一起，學生主動建構了圖4.

設計意圖課堂小結是對知識、方法與思想的梳理過程，開放式的提問可發散學生的思維，讓學生嘗試從不同的維度，用不同的方法進行總結歸納.學生自主總結提煉而來的知識架構、思想方法等，掌握程度遠遠超過教師直接講授得到的.事實證明，主動構建形成的記憶更彌久留香.

教學思考

1.生本理念下的課堂需張弛有度

本節課，從表象上來看，是完全屬于學生的課堂.從探索主題的提出、探索辦法的選擇以及總結提煉等，都由學生自主抉擇.若細細揣摩，會發現教師時刻掌著舵，學生的思維在不知不覺中沿著教師所鋪設好的路在走，至于走哪條路又由學生自主決定.這種張弛有度的民主課堂，能帶給學生良好的學習體驗，讓學生感知數學是一門充滿智慧的學科，由此產生積極的探索信心.

2.少而精的問題可實現減負增效

減負增效在很長一段時間內，一直是新課改的熱門話題.怎樣才能讓學生在短暫的課堂中感知數學的博大精深呢？事實證明，利用少而精的問題驅動學生的思維，可達到四兩撥千斤的功效.本節課，教師根據學情，提出三個簡約而不簡單的問題，成功吸引了學生的注意力，整個課堂緊緊圍繞四個問題而展開，不僅層次清晰，還讓學生的思維拾級而上，為培養學生創新意識與探索精神奠定了堅實基礎

3.自主總結提煉可發展核心素養

學習過程就是不斷提取信息、加工信息、儲存信息的過程，不論哪個環節，都要想方設法調動學生的積極性，讓學生主動參與到活動中，并主動思考、梳理與總結，以形成結構清晰、層次明確的知識架構，為完善認知體系、發展核心素養夯實基礎.課堂上關于 15^° 角的三角函數值的探索，學生經過兩次合作學習，在探索遇到困難的情況下，及時轉換思維角度重新探索，并將整個探索過程梳理成知識結構圖.如此不僅凸顯了學生在課堂中的主體性，還有效發展了學力.

總之，心理學家普遍認為，在課堂活動中，讓學生動起來實踐操作，符合學生現階段從形象思維向邏輯思維逐步過渡的特點[2].將課堂還給學生，鼓勵學生自主探索與思考是踐行生本理念的根本，也是促學力發展的原動力.實踐表明，核心素養導向下的數學教學將“生本\"理念落到實處，能真正達成“立德樹人\"的目標.

參考文獻：

[1]郭新俊.“學生為主體\"的活動課教學實踐—一以“再探特殊角的三角函數”一節的教學為例[J].初中數學教與學，2020（6）：18-19.

[2]王寧.以生為本，以學定教—《分數的初步認識》教學案例及評析[J].小學教學研究，2021（26）：44-46.