探源析流，啟思踐行2024年鹽城中考數學第27題深度解析與教學啟示

福建中考評價體系指出：未來福建中考命題改革應繼續探索“學科 + 生活\"的命題方向，強化核心素養考查，加強考試內容改革，引導培育創新人才．從數學學科核心素養視角思考培育目標，重點突出應用意識和創新意識的培育，暨在對數學課程內容本質的深度理解的基礎上，研究學生認知規律，做好指向問題解決教學，培育學科核心素養，充分發揮數學學科的育人價值[1]本文以“2024年江蘇省鹽城市中考數學試卷第27題為例”，探命題導向，析能力要求，精準定位教學環節的關鍵發力點，真正做到把“解題\"過程轉化為“解決問題\"的過程，密切監控教學評價的效能與反饋，動態優化教學策略與手段，促進學生學科核心素養的進階與躍升.

試題呈現與分析

（一）原題呈現

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體（如圖1所示），若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.如圖2所示，該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有 個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為 d（n，k 均為正整數， ngt;k≥3 ）

小明設計了如下三種鏟籽方案，

方案1圖3是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為_，共鏟_行，則鏟除全部籽的路徑總長為 ；

方案2圖4是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為 ；

方案3圖5是銷售員斜向鏟籽 示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路 徑總長.

解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的鏟籽操作方法進行評價.

（二）題目解讀

該試題取材于真實生活情境，引導學生從數學視角出發去觀察發現并提出問題，促使其完成從現實情境向數學問題的轉化，深入探尋其中的數學關聯、性質與規律．在此過程中，學生親身經歷運用數學知識解決問題的全流程，通過融合方程與不等式等核心知識要點，進行全面且有條理的問題剖析，嘗試構建模型、展開計算、優化模型，直至最終解決問題，進而感悟科學探究的步驟與方式，累積數學活動經驗，提升數學思維能力，逐步培育“三會\"所涵蓋的數學學科核心素養.此試題的核心要點在于構建、求解并驗證模型，著重考查學生運用數學知識解決真實生活問題的能力.

探源：命題導向與意圖剖析

（一）關注核心知識

1.考查核心知識：列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用.2.意圖：關注核心知識，會使得教師將更多的注意力放到基礎但重要的知識與方法的教學上，而不是那些特殊的知識技能、技巧上[2].

（二）凸顯思維過程

1.考查思維過程：設置3個不同梯度的問題.

（1）三種鏟籽方案，要求分別計算各方案鏟除全部籽的路徑總長；

（2）比較哪種方案路徑總長最短；

（3）對銷售員斜向鏟籽的操作方法進行評價.

以上問題設計不僅能考查學生的思維水平，還能考查學生對相關數學知識的掌握程度.

2.意圖：凸顯思維過程，引導教師在課堂上切實關注學生對知識的感悟、理解過程，重視知識的發生過程，而不是死記硬背，在探究活動中讓學生多動手、多思考、多總結，使其真正理解和發現數學規律[2].

（三）強調素養考查

1.考查數學核心素養：包括抽象能力、推理能力、運算能力、模型觀念、空間觀念等核心素養.抽象能力與空間觀念在將菠蘿和籽的實際形態轉化為圓柱體與平面點集的過程中得以體現；推理能力貫穿整個方案設計與路徑長度計算的推理過程，從分析籽的排列規律到確定計算方法都有涉及；模型觀念表現為在構建圓柱側面展開圖模型及不同鏟籽方案數學模型的過程中，依據計算比較不同方案的結果，得出最優方案并評價銷售員的操作.

2.意圖：強調對數學核心素養的考查，提示教師應當把促進學生的一般發展、可持續發展作為教學中首要關注的目標，教學過程中需要經常讓學生從事探究性學習，經歷觀察、抽象、歸納、類比等一系列過程，發展學生合情推理、演繹論證的能力，通過數學建模活動，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，讓具體的知識、技能不再成為學生學習過程中花大氣力反復操練的對象[2].

（四）導向數學應用

1.考查應用意識：試題以切菠蘿這一常見生活場景為背景，要求學生運用所學數學知識解決實際問題.將抽象的數學概念與實際的操作相結合，把生活中的鏟籽行為轉化為數學模型中的路徑計算問題，考查學生靈活運用數學工具處理生活事務的能力，提高學生用數學視角分析生活問題、用數學方法解決生活問題的意識.

2.意圖：注重考查學生應用數學知識解決問題的水平，無疑會引導教師在教學中更貼近學生的真實生活，而不是游離于學生生活之外的另一套抽象的符號游戲.這樣的教學更利于學生理解所學的數學知識、方法，提高運用這些知識、方法解決問題的能力，并更為全面地認識數學的價值。

析流：解題思路與能力探究

構建一般數學問題的解題思路，需遵循完整嚴謹的流程.學生要先運用閱讀能力，從題目中提取關鍵信息，明確已知條件與目標，這是解題基礎.接著，利用信息轉換能力梳理信息，將其轉化為數學語言，構建模型并規劃解題步驟.求解時，借助批判性思維評估思路、優化解法.完成后，用數學語言完整呈現過程，確保邏輯清晰、步驟準確.最后，反思解題過程，優化模型，總結方法并積累經驗.這一流程緊密關聯閱讀、信息轉換、批判性思維、規范表達這四項關鍵能力，下面將圍繞其作用展開詳細剖析.

（一）閱讀能力在建模初始階段的關鍵作用

該試題以生活中的削菠蘿情境展開，學生首先面臨的是對題目文本的理解與信息提取，考查學生的閱讀理解能力.數學試題不是簡單考查學生的文字閱讀理解能力，而是需要學生以數學的知識、數學的背景為基礎和依托，理解題目文字語言中所蘊含的數學內容.學生只有具備良好的數學學科閱讀能力，才能夠準確把握題目所設定的條件與要求，識別出其中蘊含的數學元素與關系.如學生需要閱讀并理解諸如“某菠蘿可以近似看成圓柱體\"的題目條件，也就是能將菠蘿的形狀抽象為近似圓柱體，知道圓柱體側面展開圖是矩形，從而能夠理解題意并想象沿著菠蘿的母線將其側面剪開并平鋪，形成一個矩形．只有理解了“忽略籽的體積及削去果肉的厚度與寬度”“橫向、縱向、斜向鏟籽\"等關鍵信息，學生才能夠體會將三維的鏟籽問題轉化為二維平面上的點與線段問題，降低問題的理解與分析難度，把菠蘿籽看作是分布在這個矩形上的點，鏟籽的路徑則對應為矩形內的線段．這樣，原本復雜的實際鏟籽操作就轉化為在平面幾何圖形中計算線段長度的數學問題.若閱讀能力不足，學生可能會遺漏關鍵信息或誤解題意，導致后續研究受阻.由此，學生只有精準解讀題目，才能明確問題的核心，為數學建模奠定基礎，從而確定以菠蘿的形狀特征、籽的分布規律以及不同鏟籽方式為研究對象，展開進一步的數學分析.

（二）信息整理能力在建模中間環節的核心意義

當學生閱讀完題目后，進人信息整理階段.以橫向鏟籽為例，需整理出每行籽的數量、相鄰籽間距以及總行數等信息，并將其合理歸類，構建起與數學模型相關的信息框架.在這個過程中，學生要能夠區分有用信息與無關信息，將分散的信息整合成有序的數學結構（如表1）.該題目中給出的每行籽數 、每列籽數k以及相鄰籽間距d是已知量，這些量將在后續的計算中作為關鍵參數.而三種鏟籽方案（橫向、縱向、斜向）各自的路徑總長是未知量，也是解題的核心目標.通過梳理已知量和未知量等信息，為后續建立準確的數學模型做好準備，

（三）批判性思維能力在解決問題過程中的主導價值

在解決鹽城第27題的過程中，批判性思維能力發揮著重要作用.

在構建好三種鏟籽方案的數學模型后，需要比較不同方案路徑總長的大小以確定最優方案.批判性思維能力促使學生深入思考不同方案的合理性與局限性.如，在比較橫向與縱向鏟籽方案時，學生不能僅僅機械地代入公式計算，而要批判性地分析兩種方案在不同菠蘿籽分布密度（即變量取值不同）情況下的優劣.同時，在選擇比較大小的方法（如作差法、作商法等）時，批判性思維能力讓學生能夠權衡不同方法的適用性，根據具體的數學表達式特點選擇最簡潔有效的比較途徑.缺乏批判性思維能力，學生可能會盲目跟從常規解題思路，無法發現模型中的潛在問題，難以靈活應對不同情況，影響問題的解決.

（四）語言表達能力在書寫解答過程中的重要體現

在書寫鹽城第27題的解答過程中，語言表達能力至關重要.學生需要將自己的解題思路、數學模型構建過程以及最終結論清晰準確地呈現出來．在比較不同方案優劣并得出結論時，語言表達要條理分明，邏輯連貫.如，“通過比較橫向、縱向、斜向鏟籽方案的路徑總長公式，采用作差法先分析橫向與縱向方案，得出…，再比較縱向與斜向方案，最終確定斜向鏟籽方案在一般情況下路徑總長最短，原因是”若語言表達能力不佳，即使學生具備正確的解題思路和答案，也可能因為表述不清導致閱卷教師無法理解其過程的正確性，從而影響得分，清晰準確的語言表達不僅能展示學生的數學思維成果，更是數學交流與傳播的必要手段，體現了學生對數學知識的綜合掌握與運用水平.表達是思維過程和思維結果的展現，同時精準的表達可以反過來激發思維，促使思維具有條理性和深刻性.

啟思：對數學教學的啟示與借鑒

（一）重視問題情境創設，開啟思維激活之門

在數學教學起始階段，創設貼合實際生活的問題情境具有至關重要的意義.教師在日常教學中，應巧妙引入形形色色的生活實例，積極開展綜合與實踐活動，如在購物場景中探討折扣計算背后的數學原理，或是在規劃行程時分析速度、時間與路程之間的數量關系．如此一來，數學知識自然而然融入具體生活中，激發學生的數學學習興趣與好奇心，使得學生在熟悉親切的情境中觸摸到問題解決的基本脈絡，為深入探究數學奧秘做好充分的心理與認知準備.

（二）探尋心理機制與對策，突破解題困境之鑰

解決“鏟去菠蘿的籽”的問題，需要學生經歷高認知水平的學習活動.首先，它是指向問題的，而非指向知識的；其次，它是具有挑戰性的整體問題，在選擇總路徑最短的方案中，問題呈現沒有鋪墊和提示；第三，它需要列代數式來解決方案選擇問題，其間涉及整式的加減，作差法比較量的大小，對學生抽象能力有要求．思考和制定解決問題的策略與途徑是問題得以解決的關鍵環節，也是問題解決教學的重點和難點．因此，教師應將學生置身于問題情境之中，利用獨立操作加小組合作的方式嘗試探索解決之道.深入挖掘學生在這一過程中的心理機制并尋覓行之有效的應對策略，便成為教學的關鍵環節．數學核心素養的形成與發展不能單憑傳統課堂，而應在外部學習環境輔助下，以“問題解決\"為載體，讓學生經歷對問題的感知和識別，對問題的分析和理解，剖析其本質、條件和限制，運用記憶中的數學知識、經驗進行聯想和推理，形成多種可能的解決辦法或假設，之后對這些假設進行驗證和評估，判斷其可行性和有效性，在實施過程中根據實際情況不斷調整策略和行動.學生經歷領悟、內省、鑒賞、評價、探究等實踐過程，在積累、摸索、體悟等過程中就有機會凝結解決問題所需的經驗，形成解決問題的路徑與策略.

（三）積累經驗筑牢根基，鑄就素養成長之基

策略和途徑的產生不可能是從無到有的突變，而是學習者經過長期知識和經驗的積累，用自然的、慣用的思路去想出方法，遷移出問題的解決思路.如在綜合性強的情境題里，信息的篩選與整合能力不足，邏輯推導鏈條易斷裂，致使答題思路受阻.整合問題解決思路就是激活知識經驗的過程，它需要學生將那些零散的記憶和理解進行系統的歸納與分析，從而在面對新的方案時，能夠迅速調動這些信息．由此可得，打通小學、初中、高中乃至大學的貫通式培育方式是實現教育目標最省力和最有成效的路徑.如，高中學生面對的變量問題就比初中的要復雜，需要利用導數來探討一些最值或比較大小等，如果學生對初中相關內容的知識和經驗儲備不足，到高中學習時就會感覺吃力，此時需要教師滲透一些相關知識．不論是初高銜接還是小初銜接，教師有必要培養學生一脈相承的建構解決同類問題的數學思維方式．在學生經歷了完整的問題解決過程之后，教師應巧妙地引導學生對整個解題過程進行深入細致的反思，總結其中成功的解題方法與策略，同時也不忽視那些寶貴的失敗教訓，促使這些經驗教訓真正內化為學生個人數學學科核心素養的重要組成部分．受限于學生的數學知識儲備和生活閱歷，初中階段面向實際問題的數學建模，不是為了教會學生解決某一個具體的問題以達到“學以致用\"的目的，而是為了通過讓學生使用學過的數學知識解決問題來加深對已知數學材料的理解，以及掌握利用數學解決問題的思想方法，達到“用以致學”的目的．在一線教學中教師應該盡量關注問題解決的思想方法，在此基礎上舉一反三，為將來學生使用更豐富的數學知識解決問題做好思想和策略上的準備[3].

（四）思路構建提升思維，邁向高階思維之階

學科核心素養能反映學在問題解決中的思維品質.通過高層次的數學學習活動，以完整經歷相關認知活動為前提，靈活運用多元化的思維策略來實現學科核心素養培養.教師在日常教學中要鼓勵學生嘗試一題多解，運用不同的數學方法攻克同一道難題，進而拓寬思維的廣度；巧妙運用逆向思維，打破常規的思維定式，從問題的相反方向進行思考與推理，挖掘出隱藏在深處的解題思路；積極開展類比思維訓練，將新的問題與已有的知識經驗或類似的問題情境進行類比聯想，從而快速找到解決問題的切入點.如，通過深度剖析鹽城中考第27題這類極具代表性的題目，并巧妙設計一系列與之相關的拓展練習活動，能夠有效促使學生的思維逐步從單一僵化走向多元靈活，從淺層次的表面理解邁向深層次的本質洞察，實現思維的靈活性、深刻性與創造性的全方位提升.

結語

當前以“快準狠做題\"為目標的數學教育，不僅消磨了學生的學習熱情，而且忽視了學生思維層面的培養.學生一旦進入一個全新的活動情境，比如探索、發現、舉一反三，往往會變得不知所措，因此本試題放在壓軸題的位置引發了廣泛的討論，從\"解題\"到\"解決問題\"的培育方向的轉變，師生的不適應是必然的，以考導教，要把發展學科核心素養作為學科教學的培育目標，使學生具備在面對與學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時，能夠有效地認識問題、分析問題和解決問題，為學生終身發展和適應時代要求打好基礎.在培養數學學科核心素養中，以解決實際問題為核心的關鍵能力群，與“綜合與實踐”領域教學活動緊密相連．因此，教師應以“問題解決\"為載體，以培養學生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和數據觀念為目標，引導學生對客觀世界進行“抽象\"與“概括”，將“感性\"的事物與“理性\"的思維結合起來，逐步提高學生的數學學科核心素養.

參考文獻：

[1]高曉晴，董濤，胡碧蓮.激活已有知識經驗，構建問題解決策略一一以“課題學習選擇方案”為例[J].數學之友，2024（17）：77-80.

[2]馬復.實現中考改革與日常教學的良性互動——從2008年數學中考試題談起［J].基礎教育課程，2009（3）：69-72.

[3]朱浩楠，趙崢.數學建模對高中生構建數學底層思維的作用及其教學實施建議[J].數學建模及其應用，2021，10（1）：112-118.