知識結構解讀，教學模塊思考

“直角三角形的邊角關系”是初中數學九年級下冊的重要章節內容，涉及銳角三角函數、解直角三角形等知識，是\"代數”\"函數”與\"幾何\"銜接融合最為緊密的部分.教學中，教師要指導學生理解概念、掌握方法，總結解題策略.筆者將深入探索章節內容，提出相應的教學建議.

梳理知識結構，構建思維導圖

“直角三角形的邊角關系\"知識內容較為豐富，總體上課程設計為五小節，指導學生從基本的概念出發，深入學習特殊角的三角形函數值、計算三角函數、解直角三角形，掌握解決實際問題的方法．整個單元教學設計是對\"致知于行\"理念的充分貫徹，即理解基本概念，學習知識與方法，應用所學知識解決實際問題.

對該部分知識，教材是按照“概念一方法一應用\"的邏輯進行編排的，學生學習時存在一定的思維難度，難于把握知識重難點及構建知識體系．具體教學中，筆者建議教師通過梳理知識結構，構建思維導圖，引導學生把握知識模塊之間的關聯，幫助學生強化學習，深刻理解.

在遵循知識規律，結合學生認知能力的基礎上，教師可引導學生構建思維導圖（圖1）.總體上分為六個層次：實際背景、銳角三角函數的意義、銳角三角函數的計算、三大求解模塊、解直角三角形以及利用三角函數解決實際問題.

六大思維層次是按照概念理解、方法掌握、實際應用的邏輯來構建的，遵循知識的發展規律與學生的認知規律.教學中教師要以生活實際為探究背景，指導學生理解銳角三角函數的概念及意義．在此基礎上，學生學習計算技巧及方法，掌握三大知識模塊，后續深入解題應用，解直角三角形、解決實際問題.

學生構建知識思維導圖，可以更全面、更清晰地認識本章節的知識內容，將章節內容模塊化、層次化，便于后續開展微專題探究.構建思維導圖時需要注意兩點：一是明確章節知識重難點，全面覆蓋各考點；二是按照思維層次來編排知識模塊，關注模塊之間的關聯，確保導圖的邏輯清晰.

生活實際導入，知識自然過渡

對學生而言，銳角三角函數的知識內容較為抽象，是“數”與“形”的融合.關于直角三角形三邊關系的教學，教師應結合生活實際，利用數學問題導入課堂，實現“生活實際”與“數學問題\"的自然過渡.

具體教學中，教師可采用“活動探究，引導思考\"的方式，以“古塔高度問題”為背景，構建幾何模型研究“梯子的傾斜程度”整體上分為兩個階段：階段一，情境導入，生活問題感知；階段二，模型分析，數學探究思考.在這一過程中，學生感知生活中的數學，運用幾何手段來分析研究，從而感知學習銳角三角函數的意義，了解本章節學習的重要性.

1.情境導入

“情境導入\"環節設計中，教師給出圖2所示的圖形，從生活實際出發，讓學生思考如何測量一座古塔的高度，設計如下問題.

問題1能運用所學的數學知識測出這座古塔的高度嗎？小明在A處仰望塔頂，測得 ∠1 的大小;再往塔的方向前進 50m 到 B 處，又測得 ∠2 的大小.根據這些他就求出了塔的高度，你知道他是怎么計算的嗎？

問題2在直角三角形中，知道一條邊和一個銳角，如何求出其他的邊和角嗎？

教學引導該活動設計的目的是讓學生感知傾斜程度在生活中的應用，初步體會利用直角三角形的邊角關系來求解其他的邊和角．教師可以直接展示小明的計算方法，引導學生初步感知直角三角形中的邊角關系.

2.模型分析

“模型分析\"環節中，教師可結合幾何模型來分析探索梯子的傾斜度，將生活問題“幾何化”，讓學生直觀感知“傾斜程度\"與“直角三角形的邊角關系”.

教師呈現圖3所示的四組三角形對比模型，引導學生根據分析線段比值關系來判斷梯子AB和EF哪個更陡，逐步引出正切值的概念，并加以定義.定義概括時，教師引導學生關注兩點：一是必須為直角三角形；二是明晰正切值為一角的對邊與鄰邊的比值，具有對應關系.

教師采用“知識探究”的模式，引導學生經歷了觀察、探索等數學活動過程，發展學生的合情推理能力，能有條理、清晰地闡述自己的觀點.基于此，學生能夠直觀感知\"數”與“形”之間的聯系，體會利用數學知識解決生活中的實際問題過程.

直觀量化探究，知識框圖構建

在 30^°，45^°，60^° 角的三角函數值\"探究中，教師可以采用“以數定形\"的方式，把直觀圖形數量化，使“形”更加精確.教師設計測量活動，給定特殊角，引導學生以直角三角形為背景，探索特殊角的三角函數值，并進行知識梳理，構建知識導圖.

1.“以數定形\"活動探究

教師呈現圖4，提出問題：如何測量這棵大樹的高度？

測量工具： ① 含 30^° 和 60^° 兩個銳角的三角尺； ② 皮尺，

思考：設計測量方案，測出一棵大樹的高度.

教學中引導學生利用前面所學的三角函數的定義，構建比例關系 將測量問題轉化為求解 CD=atan30^° ，從而引出章節內容一特殊角的三角函數值.

2.知識框圖規律探究

在探究特殊角的三角函數值中，教師借助三角板和皮尺，讓學生自主探討、交流，得出 30^° 角的三角函數值.在此基礎上拓展到 45^°，60^° 的角，教師適時引導，指導學生構建特殊角的三角函數表，即表1.

教師應注重引導學生關注表中的規律，讓學生思考如下兩個問題：一是隨著角度的增加，正弦值、余弦值、正切值的變化情況；二是若已知銳角的三角函數值，是否可以反推角度大小.在這一過程中，學生可以發現三角函數值的增減規律，以及角度與三角函數值的一一對應關系，

結合生活實際，提升解題能力

“測量物體的高度”知識模塊的教學目標是指導學生綜合利用直角三角形的邊角關系來解決實際問題，這對學生的綜合能力要求較高整個環節涉及了方案設計、數據分析、應用分析、結果矯正等.具體教學時，教師可以選取貼近生活實際的問題，從不同側面來提升學生的能力.

活動1不同情形下的方案設計

教師呈現兩種不同的情形，引導學生結合所學知識設計解決方案，測量物體MN的高度，情形1：可以直接測量出底部AN的距離；情形2：底部存在障礙物無法直接測得AN的距離.

思考1：要測量圖5（1）中MN的高度，應如何設計解決方案？

思考2：若底部AN存在障礙物，如圖5（2），無法直接測得AN的長度，應如何設計解決方案？

教學引導教師讓學生自主設計解決方案測量5（1）中的MN的高度，構建測量模型： MN=ME+EN=ANtanα+"_AC"（其中 α 表示仰角 ∠MCE .在此基礎上拓展變式，設計障礙物（圖5（2）），引導學生拓展測量方案.

分段構建： ① 在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角 ∠MCE=α

② 在測點A與物體之間 B 處安置測傾器，測得此時M的仰角 ∠MDE=β

③ 量出測傾器的高度 AC=BD=a ，以及測點A， B 之間的距離 AB=6 業

根據測量數據，可求出物體MN的高度 MN=ME+a. 活動2測量中的誤差處理.

教師以測量報告為背景，設計活動讓學生完善表格，學習測量誤差的處理方法．展示表2所示的報告.

思考1：根據上述測量結果，如何填寫表格？

思考2：通過計算，地王大廈的 高為（已知測傾器的高 CE=DF=1m ） m（精確到 1m

教學引導學生在掌握數據處理的方法時需要注意兩點，一是刪選數據，刪除明顯錯誤數據；二是處理誤差，根據要求按照尾數保留來處理，無要求則按照四舍五入精確.數據處理是學生需要重點掌握的技巧，教師應結合實例針對性地培養學生的數據處理能力.

滲透數學思想，培養核心素養

“直角三角形的邊角關系”的單元教學中，教師采用“活動設計，知識探究\"的模式，引導學生參與課堂活動，經歷探究過程，逐步理解概念，掌握知識，合理應用.

銳角三角函數內容融合了幾何與函數的知識，教師需注意滲透函數思想和數形結合思想.如利用三角函數的概念和性質解直角三角形時，滲透函數思想；討論“解直角三角形”中聯系現實問題，將“數”與“形\"有機結合，按照數形結合的思想方法來構建思路.

該部分內容中涉及幾何直觀，并且知識應用的屬性極強，對學生的計算能力有著較高要求.教師需要注意提升學生的幾何直觀和運算能力，培養學生的應用意識.教師在引導學生分析梯子傾斜程度問題時，合理利用圖形來描述問題，將復雜的數學問題直觀形象化；利用三角函數測量山坡的傾斜程度、測量塔的高度時，讓學生感悟知識應用的魅力，提升解決問題的能力.教師應注意強化學生的計算能力，重點指導學生掌握處理“已知一定邊和角的情況下解直角三角形”的問題.

寫在最后

對于“直角三角形的邊角關系”，教師需要從整體上理解章節間知識的關聯，構建思維導圖，深入分析章節的知識內容，采用活動探究的方式進行教學設計，合理滲透數學思想，注重培養學生的核心素養.