撥開云霧見天明，網格作圖基本方法初探

網格中的基本作圖及方法

（一）過直線外一點作已知直線的平行線

如圖1，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C均在格點，P_? 是線段AB與網格線的交點（下面稱作格線點），請用無刻度直尺完成以下作圖：

（1）過點A作BC的平行線AD；（2）過點P作BC的平行線，交A c 于點E.

思路分析第（1）題因為A，B，C均為格點，比較簡單，取格點 D ，構造□ABCD即可，如圖2.

第（2）題， P 是格線點，不妨先假設存在A _1C 上的點 E 使得 PE//BC ，由平行線分線段成比例得P ·如圖3，構造“X\"型相似： ΔAPG^～ ΔBPF ，得 則 然后取格點 H 構造 “X” 型相似：ΔAGE～ΔCHE ，使得 構造出 E 的位置之后，需要進行正向推理，通過證明 ΔAPE～ΔABC 知∠APE=∠B ，得 PE//BC

問題延伸如圖4，BC是邊長為1的正方形網格中的一條盲線， P 是盲點，請用無刻度直尺過點 P 作PQ//BC.

思路分析由特殊的格點和格線點到盲點問題，是從特殊到一般的研究問題的策略，把盲點問題轉化為格線點問題來解決，滲透從一般到特殊的轉化思想研究解決問題的策略.

作圖過程（1）如圖5，取BC與格線的三個交點 _D，E，F ，由平行線分線段成比例知 |E| 是線段DF的中點；

（2）連接DP并延長到任意點 G ，連接 GE，GF，PF，PF 交 _GE 于點 H ，連接 DH 并延長交 GF 于點 Q ，連接 PQ 則 PQ//BC.

證明思路如圖6，延長 HE 到點 H^′ ，使 HE=H^′E ，可證四邊形 HDH^′F 是平行四邊形，則 PH//DH^′，HQ// H^′F. 由平行線分線段成比例可知： ，所以GP_ （24號 可證 ΔGPQ～ΔGDF 得 PQ//BC

（二）作線段的等分點

在過直線外一點作已知直線的平行線中，我們已經遇到了作格點線段的等分點問題，下面我們繼續探究作線段等分點的一般方法.

1.格點線段的等分點

如圖7，在邊長為1的小正方形組成的網格中， ^，A，B 均為格點，請用無刻度直尺完成以下作圖：（1）在線段AB上確定點 M ，使得AM：BM=3：2 （2）在線段AB上確定點M，使得AM：BM=4：5

思路分析（1）如圖8，直接構造\"X\"型相似： ΔADM?ΔBCM ，得點M的位置.（2）如圖9，網格不夠，先取格線的中點 c ，減半來湊，把AM：BM=4：5 轉化為A 1M：BM=2：2.5 來解決.這是解決格點線段的等分點問題的通用方法.

問題延伸如圖10，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A，B均為格點，請用無刻度直尺完成以下作圖：在線段AB的延長線上確定點M，使得 1M：BM=1：4.

思路分析如圖11、圖12，構造“A\"型相似： ΔBAC～ΔBMD ，或者利用平行線分線段成比例，得點M的位置.這是解決在格點線段的延長線上按比例確定分點簡單且通用的方法.

2.非格點線段的等分點

如圖13、圖14，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A為格點，B為格線點，請用無刻度直尺完成以下作圖：在線段AB上確定點M，使得AM=2BM.

思路分析圖13中的線段AB的豎直距離是定值3個單位長度，如圖15，直接利用正方形網格中的平行線，依據平行線分線段成比例得點M的位置.圖14中的線段 _AB 的水平距離是4個單位長度，可以取兩條格點線段 AC 和DE，利用作格點線段等分點的方法，構造\"X\"相似，得點 Q，P 且滿足 AQ=2QC，DP=2PE ，再利用平行線分線段成比例，得點M的位置，滲透了將非格點問題轉化為格點問題的處理策略.

問題延伸如圖17，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A為格點， B 為盲點，請用無刻度直尺完成以下作圖：在線段AB上確定點M，使得 AM=2BM.

思路分析類比將格線點轉化為格點問題的處理策略，我們把盲點問題也轉化為格點和格線點問題來處理.如圖18，過盲點 B 作線段 CD 5其中C是格點， D 是格線點，則AC是格點線段， _AD 是格線點線段，利用前面介紹的確定格點線段和格線點線段等分點的方法確定點P，Q，使得AP=2CP，AQ=2QD ，連接 PQ 交AB于點M，可利用相似三角形證明結論的正確性.另外，如果A，B均為盲點時，可借助塞瓦定理，感興趣的讀者可以自行研究.

（三）過一點作已知直線的對稱點

1.過格點作格線的對稱點

如圖19，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C均為格點，請用無刻度直尺過點C作AB的對稱點 C^′ ：

思路分析1如圖20，過點C作CD⊥AB ，垂足為 o ，連接 CA 并延長交格點 E ，則A是 CE 的中點，過點E作EF//AB 交 CD 于點 C^′ ，由平行線分線段成比例可得 CO=CO^′

（四）作已知角的平分線

問題1如圖23，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C均為格點，請用無刻度直尺，作△ABC的角平分線AH.

思路1利用平行線和等腰三角形，構造角平分線

如圖27，取AC的中點 D ，連接OD交 _?o 于點 E ，得 OE//BC ，連接 BE 因為 OE=OB ，可證BE平分 ∠CBA 元正方形組成的網格中， ΔABC 的頂點A，C均在格點上，點B在網格線上，以AB為直徑的半圓的圓心為0，請用無刻度的直尺在圓上找一點 E ，使BE平分∠CBA.

思路1利用三角形的三條角平分線交于一點.

思路分析2如圖21，類比作對稱點的方法，我們可過點 C 作 CC^′⊥AB ，垂足為 o ，使得 C^′O=2CO ，借助此方法在網格充許的條件下，可作 CC^′′⊥ _AB ，且 C^′′O=kCO. 其基本思想都是借助格線上的等分點，構造“A\"型相似三角形或平行線分線段成比例截取.

如圖24，作 ∠ACB 的平分線CG，延長BC到格點 D ，則 BD=BA ，連接AD ，取 _AD 的中點 E ，利用等腰三角形的“三線合一”，作∠ABC的平分線BE交 cG 于點 F ，連接AF延長交BC于點 H.

思路2聯想垂徑定理得等弧， 構造角平分線.

如圖28，延長 BC 交 _?o 于點 F ，由AB 是直徑知 ∠AFB=90^° ，再取A c 的中點 D ，連接 OD 交 ?o 于點 E ，得 OE// BC ，然后可證 OE⊥AF， ，利用垂徑定理得 ，由圓周角相等可得 .BE 平分 ∠CBA .思路2與思路1的作圖有類似之處，但思維的切入點不同，在圓的背景下，通過弧等，得圓心角等或圓周角等，是常用的證明角相等的方法.

2.過盲點作格線的對稱點

問題延伸若 c 是盲點，A，B為格點，此時如何確定 C^′ ？

思路2對于特殊的格點或格線點問題，先計算確定位置，再畫圖

如圖22，C是盲點，取格點 D ，連接CD并延長交AB于點 M ，作格點 D 關于AB的對稱點 D^′ ，連接 CD^′ 交AB于點 o 連接DO，交MD'于點 C^′ .其基本思想是利用線段的軸對稱性，把非格點對稱問題轉化為格點問題來解決，可以通過三角形全等驗證結論的正確性

如圖25，先計算得 ，連接格點 DE 得點 H ；或者先計算 ，再取格點 F_; ，連接 AF 延長交 BC 于點 H.

問題2如圖26，在邊長為1的小

問題延伸如圖29，將問題2中以AB為直徑的半圓推廣為以AB為弦的圓，圓心為0，其他條件不變，請用無刻度的直尺在圓上找一點 E ，使BE平分∠CBA.

思路分析當AB為OO的弦時，思路1的方法無法使用，思路2的方法依然可以沿用.如圖30，延長BC交_?o"于點 F ，作非格點弦AB的中點 Q 取線段AC的中點S，作直線QS交A F 于點T，連接OT交"_?o"于點 E ，可證OE⊥AF ，利用垂徑定理得弧等，從而得圓周角相等，即BE平分∠CBA.

關于網格作圖的幾點思考

（一）精準作圖，發展學生推理能力

作圖是幾何教學的重要內容之一，它是建立在幾何推理上的一種幾何操作.又因為在網格的背景下完成作圖要求，這就要求我們能靈活利用正方形網格為我們提供的隱藏條件，先逆向分析探尋思路，即在已知條件下，想象并畫出目標草圖，然后依據幾何性質，再進行逆向幾何推理，獲得要作“關鍵點\"的性質.了解作圖方法，作出準確圖形之后，依據作圖所給的幾何性質，進行正向論證.因此，精準作圖的過程是一個嚴謹的推理過程，能發展學生的良好推理能力[1]

（二）關注基本方法的提煉，深入理解作圖原理

問題解決后應及時進行總結和反思，將在實踐活動中獲得的經驗進行提煉與歸納，不僅有利于學生認識的深化，更有利于學生將具體的活動經驗內化為研究問題的一般性策略和經驗[2.網格作圖把相似三角形或平行線分線段成比例，以及特殊幾何圖形的性質等建立了知識的內在聯系.關注作圖方法的提煉，可以加深學生對作圖原理和思維規律的深入理解，感悟作圖的基本思想方法，也是培養學生核心素養的途徑.文章重點研究的四種基本作圖是基于通性通法，探究一題多解，在感悟轉化和類比思想的過程中，強化學生對作圖的基本原理和基本方法的理解.

（三）問題延伸，促進思維的深度參與

深度學習是增強思維的復雜性，“以深度帶廣度”，循序漸進的設置思維進階的問題，探尋數學內容的核心和本質[3.學生的學習不能僅僅是記方法、仿技巧、套題型，還需要通過親身參與來體會數學高階思維.如果去掉網格，不限畫圖工具，可以把作圖的基本原理指向幾何概念的本質.另外，還可以在不同的幾何背景下，對題目進行變式和拓展，鍛煉學生思維的靈活性、創造性，進一步幫助學生把握知識的本質.

參考文獻：

[1]章飛.幾何作圖的教學功能分析[J].中學數學教學參考，2021（2）：10-12+19

[2]陳辰俠.做中學學中悟—單元整體教學設計的實踐與思考[J].初中數學教與學，2024（8）：3-6.

[3]孫學東.數學深度學習的內涵及基本實踐問題［J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（2）：25-29.