用代數(shù)思維賦能幾何結(jié)構(gòu)化教學(xué)

設(shè)x計(jì)算法，一般是用在代數(shù)中，是解決應(yīng)用題常用的方法，它通過設(shè)x （未知數(shù)）列方程的方式讓學(xué)生正向思考列式，通過解方程求解未知數(shù)，便可以解決含未知量的問題．在初中幾何中有一類兩角之間數(shù)量關(guān)系的問題，也可以運(yùn)用設(shè)x計(jì)算法來處理.筆者在遇到一道經(jīng)典題后受啟發(fā)，經(jīng)過一系列相關(guān)習(xí)題的實(shí)踐后，發(fā)現(xiàn)可以設(shè)其中一個(gè)角為 x ，通過已知條件的相關(guān)性質(zhì)（三角形內(nèi)角和、角平分線性質(zhì)、垂直性質(zhì)、兩角的和與差等等）求出另一個(gè)角（用x來表示），從而得出兩角之間的數(shù)量關(guān)系.這種方法筆者稱為設(shè)x計(jì)算法.

和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn) P.

（1）若 ∠A=40^° ∠P= ；

（2）若 ∠A=70^° ∠P= ；

（3）求 ∠P 與 ∠A 之間的關(guān)系.

價(jià)值分析：學(xué)生通過小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，具備基本的計(jì)算能力，因此在做第（1）問時(shí)，很多學(xué)生不會(huì)存在較大的困惑.把解題過程完整地寫出來，有助于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)角之間的數(shù)量關(guān)系.要解決第（2）問，只需要把第（1）問中的 ∠A 的度數(shù)改變即可.

所以 ∠1+ ，所以∠P=180^°-（∠1+∠2）=110^°. （20

（2）因?yàn)?∠A=70^° ，所以 ∠ABC+ ∠ACB=180^°-∠A=110^° ．因?yàn)?BP CP 分別平分 ∠ABC 和 ∠ACB ，所以 ， ，所以 55^° ，所以 ∠P=180^°-（∠1+∠2）=125^°.

這是一道經(jīng)典的三角形中兩內(nèi)角平分線夾角與第三個(gè)角之間關(guān)系的題目，三個(gè)小問設(shè)置由易到難.筆者在教學(xué)時(shí)，一般會(huì)先讓學(xué)生思考幾分鐘.若問題中有具體的角的大小，則對(duì)學(xué)生來說不算很難，反應(yīng)快的學(xué)生能迅速求出 ∠P 的大小.

設(shè)x計(jì)算法的由來

例題1如圖1，在△ABC中，∠ABC

解 （1）因?yàn)?∠A=40^° ，所以 ∠ABC+ ∠ACB=180^°-∠A=140^° ，因?yàn)?BP，CP 分別平分∠ABC和 ∠ACB ，所以 ∠1=

價(jià)值分析：設(shè)計(jì)第（2）問首先可以給予那些在第（1）問上存在困惑的學(xué)生一個(gè)再次練習(xí)的機(jī)會(huì)．其次，第（2）問還有助于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和第（1）問的區(qū)別就在于∠A的度數(shù)不同.當(dāng)提出第（3）問時(shí)，由于∠A沒有度數(shù)了，這對(duì)于一部分學(xué)生來說就很有難度了．此時(shí)教師可以給學(xué)生介紹數(shù)學(xué)上一個(gè)重要的思維方法：未知化已知．既然在前面兩問中，我們已知∠A的度數(shù)，有度數(shù)的我們能求了，現(xiàn)在沒度數(shù)了怎么辦呢？在做完前兩問的基礎(chǔ)下，教師可以很自然地引導(dǎo)學(xué)生想到去設(shè)一個(gè)度數(shù)，這樣就可以按照相同的方法解決這一問題.

設(shè) ∠A=x ，所以 ∠ABC+∠ACB= 180^°-∠A=180^°-x. 因?yàn)?BP，CP 分別平分ABC和 ∠ACB， 所以 （204號(hào) ，所以 ，所以 1x，所以

價(jià)值分析：這樣的教學(xué)方法在學(xué)生思維的過渡上是很自然的，學(xué)生容易理解并接受，部分學(xué)生會(huì)恍然大悟.問題設(shè)置由易到難，也體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.除此以外，通過引導(dǎo)學(xué)生用字母表示數(shù)，也能夠幫助學(xué)生更好地研究數(shù)量之間的關(guān)系，從具體的數(shù)字過渡到字母，這對(duì)學(xué)生來說，是思維上的一個(gè)重大轉(zhuǎn)變，用字母表示數(shù)，進(jìn)而表示數(shù)的共同性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)或法則，揭示一些普遍規(guī)律，形式簡(jiǎn)單，使用方便.筆者受此題的啟發(fā)，產(chǎn)生了一些想法：那么對(duì)于這一類沒有具體角度的兩角之間數(shù)量關(guān)系問題，我們是不是都可以這樣來解呢？設(shè)其中一個(gè)角為 x 把另外一個(gè)角用含 的式子表示，自然得出兩角之間的數(shù)量關(guān)系.

設(shè) ∠A=x 就是設(shè) 計(jì)算法的由來，至于為什么是計(jì)算法，因?yàn)檫@里的 $| x ＼rrangle$ 其實(shí)不是作為一個(gè)未知數(shù)，而是用x來表示一個(gè)角的大小，學(xué)生對(duì)于求具體角的大小的題目是容易的.這里的 ∣x^′ 體現(xiàn)由特殊到一般，即由具體度數(shù)到?jīng)]有度數(shù)的轉(zhuǎn)換，解題過程便是求度數(shù)的計(jì)算過程．學(xué)生甚至可以參照本題，先設(shè)其中一個(gè)角的大小為特殊度數(shù)，看看能不能求出另一個(gè)角的度數(shù).如果能求出來，把具體度數(shù)換成 ，問題就迎刃而解了.

設(shè)x計(jì)算法的優(yōu)點(diǎn)

筆者有了想法后，找了一些有關(guān)兩角之間的數(shù)量關(guān)系的題目來驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)設(shè) x 計(jì)算法都是可行的，且相較于其他解法優(yōu)點(diǎn)也很明顯，具體體現(xiàn)在：

1.表述簡(jiǎn)潔，降低難度

例題2如圖2，在 ΔABC 中， ∠A= 40^° ，點(diǎn) D，E 分別在 _AB，AC 上， BD= BC=CE ，連接 _CD，BE 車（1）若 ∠ABC=80^° ，求 ∠BDC ，∠ABE的度數(shù)；（2）寫出 ∠BEC 與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

此題為蘇科版八上數(shù)學(xué)課課練P52頁的第15題.這道題目的第（2）問有多種解法，筆者呈現(xiàn)以下三種解法1設(shè)過渡角為 x ，最后消去 x

設(shè) ∠ABE=x ， ∠A=40^° ，所以∠BEC=∠A+∠ABE=40^°+x. 因?yàn)锽C=CE ，所以 ∠ABC=∠CBE+∠ABE= 40^°+2x ，因?yàn)?BD=BC ，所以 ∠BDC= ∠BCD. 因?yàn)?∠BDC+∠BCD+∠ABC= 180^° ，所以 2∠BDC+40^°+2x=180^° ，所以 ∠BDC=70^°-x ，所以 ∠BEC+∠BDC=40^°+x+70^°-x=110^°.

解法2設(shè)兩個(gè)未知數(shù)

設(shè) ∠BEC=x ∠BDC=y ，因?yàn)?BC= CE ，所以 ∠CBE=∠BEC=x ，因?yàn)?BD= BC 所以 ∠BDC=∠BCD=y. 因?yàn)?∠BEC+ ∠BCA+∠CBE=180^°=2x+∠BCA ，∠BDC+∠ABC+∠BCD=180^°=2y+ ∠ABC，∠A+∠BCA+∠ABC=180^° ∠A=40^° ，所以 2x+2y+∠BCA+∠ABC= 360^° ， ∠BCA+∠ABC=140^° ，所以 2x+ 2y=220^° ，即 ∠BEC+∠BDC=110^°

解法3設(shè) x 計(jì)算法

設(shè) ∠BEC=x ，因?yàn)?BC=CE ，所以∠BEC=∠CBE=x ，所以 ∠BCE=180^°- ∠BEC-∠CBE=180^°-2x ，因?yàn)?∠A= 40^° ，所以 ∠ABC=180^°-∠A-∠BCE= 2x-40^° ，因?yàn)?BD=BC ，所以 ∠BDC= 110^°-x ，所以 ∠BEC+∠BDC=110^°.

將三種解法進(jìn)行對(duì)比，我們不難發(fā)現(xiàn)解法3的設(shè) 計(jì)算法表述簡(jiǎn)潔解法1多一個(gè)過渡角要消去；解法2多一個(gè)未知數(shù)，思維要求較高.

此外，解法3設(shè) Φ_x 計(jì)算法也使問題難度降低.解法1的難點(diǎn)在于要找到正確的過渡角，解法2設(shè)2個(gè)未知數(shù)，從一個(gè)未知數(shù)到兩個(gè)未知數(shù)，增加的難度不是簡(jiǎn)單的 1+1=2 ，學(xué)生很有可能繞不出來.而且設(shè) 計(jì)算法與解法1和解法2有本質(zhì)上的區(qū)別：解法1本質(zhì)上是連同兩個(gè)待求角有三個(gè)未知數(shù)，最后消去一個(gè)未知數(shù)；解法2本質(zhì)上是連同兩個(gè)待求角有四個(gè)未知數(shù)，最后消去兩個(gè)未知數(shù)；設(shè)x計(jì)算法不需要消元，它就是一個(gè)計(jì)算過程，其思維難度要小很多.

2.思路清晰，目的明確

例題3如圖3，在△ABC中， ∠ABC=

40^° ， ∠ACB=90^° AE 平分 ∠BAC 交BC 于點(diǎn) E.P. 是邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)（不與^B，C 重合），連接 AP ，將 ΔAPC 沿 AP 翻折得 ΔAPD ，連接 CD ，記 ∠BCD=α.

（1）如圖3，當(dāng) P 與 E 重合時(shí)，求 α 的度數(shù)；

（2）當(dāng) P 與E不重合時(shí)，記 ∠BAD= β ，探究 α 與β的數(shù)量關(guān)系.

這道題是2022年浙江紹興數(shù)學(xué)中考第22題，筆者將呈現(xiàn)第（2）問的兩種解法.

解法1如圖4，點(diǎn) P_? 在線段 BE 上，因?yàn)?∠BCD=α ， ∠ACB=90^° ，所以∠ACD=90^°-α. ，因?yàn)?∠ABC=40^° ，所以 ∠BAC=50^° ，因?yàn)?∠BAD=β ，所以∠CAD=∠BAC+∠BAD=50^°+β. 因?yàn)榉郏?AC=AD ，所以 ∠ACD= ，所以 所以2α-β=50^°

如圖5，點(diǎn) P 在線段 CE 上，因?yàn)?∠ACD=90^°-α ， ∠CAD=∠BAC- ∠BAD=50^°-β ，所以 ∠ACD=∠ADC= 所 所以 2α+β=50^°

綜上所述： 2α-β=50^° 或 2α+β= 50^°.

解法2（設(shè) x 計(jì)算法，本題已設(shè)好 ?α 與 β ，可省去設(shè) x 的步驟）

如圖4，點(diǎn) P 在線段 BE 上，因?yàn)椤螧CD=α ， ∠ACB=90^° ，所以 ∠ACD= 90^°-α. 因?yàn)榉郏?CD⊥AP ，所以∠CAP=90^°-∠ACD=α ，所以 ∠CAD= 2∠CAP=2α. 因?yàn)?∠ABC=40^° ，所以 ∠BAC=90^°-∠ABC=50^° ，所以∠BAD=∠CAD-∠BAC=2α-50^° ，即2α-β=50^°

如圖5，點(diǎn) P 在線段 CE 上，所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=50^°-2α ，即2α+β=50^°

綜上所述： 2α-β=50^° 或 2α+β= 50^°

解法1的實(shí)質(zhì)是把 ∠ACD 作為一個(gè)過渡角，用兩種不同的方法表示，消去 ∠ACD ，從而得到關(guān)于 α 與 β 的等式.但從學(xué)生的角度來思考：首先考慮2個(gè)未知數(shù)就是難點(diǎn)，其次找到正確的過渡角也是難點(diǎn).

解法2思路清晰： ∠BCD=α 作為一個(gè)未知數(shù)，利用三角形內(nèi)角和、直角、翻折性質(zhì)，以及已知條件，通過計(jì)算求出另一個(gè)角 ∠BAD （用含 的式子表示），從而得到兩角之間的數(shù)量關(guān)系．全程將問題看作只有一個(gè)未知數(shù) α 求解，解題思路簡(jiǎn)單粗暴，就是想方設(shè)法把另一個(gè)角求出來．思路越簡(jiǎn)單清晰學(xué)生越容易接受，大多數(shù)學(xué)生更喜歡計(jì)算而不是消元.設(shè)x計(jì)算法本質(zhì)上是一個(gè)計(jì)算過程.

再結(jié)合第（1）問，其實(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，其實(shí)有個(gè)等量關(guān)系是始終不變的（ ∠CAD= 2α） ，在變化中找不變，若能認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，本題的難度就會(huì)直線下降.

設(shè)x計(jì)算法思路清晰、目的明確，對(duì)學(xué)生來說，思路越清晰簡(jiǎn)單越好.設(shè)一個(gè)角為 x 后，剩下的就是把另一個(gè)角用含 的式子表達(dá)出來，目的明確.

3.承前啟后，發(fā)展思維

在小學(xué)階段，學(xué)生就多采用“算術(shù)\"法解決問題，例如由兩三個(gè)已知數(shù)值直接算出未知的結(jié)果.學(xué)生在應(yīng)用設(shè) 計(jì)算法解決問題時(shí)，實(shí)質(zhì)上就是在進(jìn)行計(jì)算，只不過已知數(shù)值換成了x.因此，對(duì)學(xué)生來說，設(shè)x計(jì)算法還是相對(duì)比較容易理解的.

在初中階段，方程思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想之一.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何幫助學(xué)生理解并有效運(yùn)用方程、建立方程，是教師教學(xué)的重點(diǎn)．方程思想是數(shù)學(xué)思想方法中一種重要的思想，其實(shí)質(zhì)是將問題中的文字語言轉(zhuǎn)為符號(hào)語言，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感和數(shù)感，借助符號(hào)來分析數(shù)量關(guān)系.方程思想包含：數(shù)與符號(hào)的統(tǒng)一關(guān)系的思想；從其他的知識(shí)領(lǐng)域中提取出方程問題的思想.設(shè)x計(jì)算法從數(shù)字到符號(hào)的轉(zhuǎn)換標(biāo)志著學(xué)生從算術(shù)思維過渡到方程思維．方程思想具有許多重要作用.第一，方程思想的形成可以使學(xué)生將實(shí)際問題中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，在運(yùn)算中尋找等量關(guān)系，建立方程解決實(shí)際問題.第二，方程與函數(shù)靠量與量之間的數(shù)量關(guān)系連接，數(shù)量關(guān)系是連接數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的橋梁．第三，方程與函數(shù)緊密相連，學(xué)生對(duì)方程思想理解程度越深，就越容易理解方程中的函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)量關(guān)系求解函數(shù).方程思想的培養(yǎng)無論是對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是思維的發(fā)展，都起到了至關(guān)重要的作用.

史炳星認(rèn)為在算術(shù)向方程過渡的階段，教師幫助初中學(xué)生理解符號(hào)的內(nèi)涵以及符號(hào)之間的運(yùn)算，對(duì)培養(yǎng)他們方程思想是十分有益的.教師在課堂教學(xué)中，通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用設(shè) 計(jì)算法解決問題，不僅便于學(xué)生理解與掌握方程思想，還能讓學(xué)生感受在計(jì)算中用字母表示數(shù)的優(yōu)勢(shì).學(xué)生在經(jīng)歷從具體、已知的數(shù)過渡到抽象、未知的數(shù)的過程中，擺脫了算術(shù)方法的局限，實(shí)現(xiàn)了從算術(shù)思維向方程思維的進(jìn)階