立足章起始課教學 發展數學核心素養

隨著課程改革的推進，單元整體教學受到廣大教育工作者的關注章起始課屬于統領型課程，能幫助師生從整體上把握章節知識的要點，揭露數學的思想方法，提升單元整體教學的成效.實踐表明，一節高質量的章起始課能起到激趣啟思、挖掘潛能、發展素養等作用.“二次函數”是初中數學的重要內容，是后續高中數學學習的基礎，本章節的章起始課教學，可進一步明確學生的學習目標，為實現知識與方法的正遷移奠定基礎.

章起始課教學的理論基礎

（一）結構主義理論

美國心理學家布魯納提出：任何學科的學習，掌握學科基本結構是教學的核心，掌握研究方法是教學的靈魂，關于基本原理的探索可交給任何年齡階段的學生.這句話詮釋了教師應關注知識結構、研究方法與“以生為本\"的重要性.然而，在實際教學過程中，該如何達成上述目標呢？利用學科基本結構調動學生的積極性，可提升學生主動探索的內驅力，為主動發現奠定基礎.但是，完整發現并掌握教學內容，需要耗費大量的時間與精力，利用章起始課幫助學生構建知識結構，能平衡完全掌握與初步了解之間的關系.

（二）先行組織者理論

美國心理學家奧蘇泊爾提出有意義學習的教育理論，該理論強調一切有意義的學習均產生于學習者已有認知經驗基礎上.其中，最著名的莫過于“先行組織者\"理論，即在正式探索相應的教學內容之前，用通俗易理解的語言為學生介紹一下比教學內容更開闊、更一般的資料，作為新舊知識連接的紐帶.先行組織者策略給學生提供了一個整體架構，即將待研究的內容轉化為有意義的知識關聯.章起始課一般會借助章引言、章頭圖等內容達到先行組織者的作用，促進數學思想與文化的滲透，也便于學生更好地理解接下來將要探索的內容.

課例展示

（一）解讀二次函數章起始課

二次函數屬于初中數學的重要內容之一，是繼一次函數與反比例函數之后的一類描述事物數量關系的基本模型[1.《義務教育數學課程標準（2022年版）》以下簡稱“新課標\"）關于二次函數的教學要求提出，要基于實際問題揭露二次函數的意義，讓學生充分理解兩個變量之間存在的對應關系，分別掌握列表、描點與連線等繪圖方法，能順利繪制部分函數圖象，并結合函數圖象掌握相應的性質.根據新課標要求與二次函數知識特點，在設計章起始課教學時，教師需將上述內容簡要地呈現給學生，讓學生初步了解章節知識的地位與目標等，注重學力與核心素養的培養.

（二）教學過程設計

1.情境問題，激活思維

問題1張阿姨準備用 16m 長的柵欄圍成一個長方形的小菜圃，聰明的你，請幫張阿姨思考一下怎樣圍才能讓菜圃的面積最大.

師生活動：學生根據問題要求思考并列表分析，分別從長方形菜圃的長為 1m，2m，3m^…… 著手，逐個分析（見表1）.通過對不同長與寬長方形的比較，獲取最大面積為 16m². 教師對學生的方法表示肯定，并將表格投影展示，便于學生更好地觀察與理解.

設計意圖引入具體生活情境，學生并不陌生.以該情境為問題背景，能促使學生主動抽象數學模型，即遇到周長確定的長方形，長和寬不一樣時，面積也不一樣.基本規律為：長與寬越接近，面積就越大；兩者差距越大，面積就越小.

追問通過以上分析，大家對周長固定的長方形面積大小有了初步認識，為什么會提煉出“長寬越接近，面積越大，反之越小\"的規律呢？

學生合作交流，提出將長方形的一條邊用 表示，那么相鄰一條邊就是 （8-x）m ，面積 =x（8-x）=8x-x². （20從式子結論不難看出，菜圃面積會隨著 的變化而發生改變，且呈現出一種函數關系，即 y=-x²+8x

問題2假設人民幣一年存儲率為 ，存滿一年期之后本金與利息將按照一年定期儲蓄進行轉存.李大爺存入1000元，請用表達式描述兩年之后的本息y元與存儲率x之間的關系.

問題3小張準備為一面長寬比 為 2：1 的鏡子鑲上邊框，已知鏡面的 價格為 ，邊框的價格為30 元/m，加工費統一為54元.請根據現 有條件寫出鏡面寬 xm 與所需總費 用y元之間的函數解析式.

設計意圖結合生活實際提出兩個問題，讓學生主動提取變量之間的數量關系.在這一過程中，該情境問題不僅能活躍學生的思維，還能為抽象二次函數的定義奠定基礎.函數表達式的提煉，使得學生能用數學的眼光和思維去觀察與思考現實事物，這為發展學生抽象能力和模型觀念做了鋪墊，

2.深入探索，理解概念

問題4通過對上述三個問題的思考與分析，提煉相應的函數關系式，觀察這些關系式之間存在什么共同點嗎？

追問1與一次函數的概念進行類比，這幾個函數關系式有什么特點？

追問2觀察下列幾個式子，找出它們的共同點并命名： y=x²+6x;y= 250x²+1265 ·y=20x²+10x+2

問題5分別說一說追問2中三個式子各項的系數.

問題6展示一組函數關系式（略），請學生自主判斷這些式子是否屬于二次函數.若是，分別說出各項的系數以及常數項分別是什么.

師生活動：教師提出問題，學生自主讀題審題，并在教師的點撥下，通過對一次函數概念的回顧，自主類比出二次函數的定義.此為知識的遷移過程.學生從一次函數概念著手，經過分析與思考，提煉出形如y=ax²+bx+c（a，b，c 為常數， a≠0 的函數為二次函數.其中，自變量為 _x，y 稱為 ?_x 的函數.教師將這一結論展示在多媒體上，并與學生共同\"咬文嚼字”，強化對二次函數概念的理解

設計意圖遵循\"生本\"理念，鼓勵學生自主觀察提煉而來的關系式，并以類比法獲取二次函數的概念，加深了學生對二次函數定義的理解，為接下來的教學奠定了基礎.

3.類比分析，搭建框架

問題7在之前的學習中，大家已經接觸到一次函數、反比例函數等內容，哪位同學說一說當時是怎么研究這些函數的？

師生活動：學生以小組討論的方式回顧研究過程，探索這兩類函數都以生活實際問題為出發點，在建模的基礎上掌握兩個變量間的聯系，逐步抽象出相應的函數特點.基于此，再分別對函數的概念、圖象以及性質展開分析，并應用構建的函數來解決生活實際問題.在類比思想的輔助下，教師引導學生初步感知這種研究方式同樣適用于二次函數的研究.如圖1，與一次函數的研究過程進行類比，初步設計二次函數的研究框架數學問題實際問題（變量之間相互關系）建模 定義解釋、應用 特定函數圖象（二次函數）性質設計意圖一次函數與反比例函數研究過程的回顧，是為了喚醒學生原有的知識經驗，讓學生在類比遷移中獲取研究二次函數的基本路徑與方法，為后續教學做鋪墊.

問題8從研究框架來看，探索完二次函數的定義之后，就要研究其圖象了，那么二次函數的圖象可從何處著手展開研究呢？

師生活動：學生回顧研究一次函數圖象的過程并展開分析，教師則適當點撥：二次函數圖象可能是什么樣子？為了探索這個問題，師生共同回顧課堂初始“圈菜圃\"的情境，教師鼓勵學生根據表2呈現的數據，將 x 值作為橫坐標，將與之對應的y值作為縱坐標，依次描點連線.學生按照要求操作，形成“拋物線\"形狀的圖象，確定面積y剛開始隨著邊長x 的增大而增大，而后又隨著 的增大而減小.教師適時強調二次函數的圖象與一次函數的圖象有較大差別，二次函數圖象為曲線

設計意圖以研究框架為出發點，回歸到教學初始的情境中繪制二次函數的圖象，使得學生主動發現二次函數圖象的特點為“拋物線”而非“直線”，由此對平面直角坐標系內圖形運動與點坐標間的變化關系形成深刻理解，滲透數形結合思想，培養了學生數學直觀想象、推理能力等核心素養.

追問圖象上的哪個點可以反映出圍起來的菜圃面積最大？

師生活動：教師將學生根據表2所畫的圖象投影展示，學生觀察圖象并分析，發現圖象上的最高點所圍成的正方形面積最大.關于緣由，通過本章節的學習才能明朗.

設計意圖追問的提出一方面是通過訓練學生的觀察能力，進一步培養學生的數形結合思想；另一方面，通過問題激發學生學習的內驅力，讓學生對“為什么最高點所圍成的面積最大”產生濃厚的探索欲，為后續教學營造良好的氛圍.

4.歸納總結，鞏固升華

問題9說一說二次函數的一般形式是什么.

追問為何二次函數的一般形式要特別標注二次項系數 一次項系數b以及常數項c可否為0？

問題10本節課你是從哪些方面理解二次函數的？探索二次函數時涉及的思想方法有哪些？

設計意圖總結性的問題主要是為了引發學生主動反思，讓學生在回顧與梳理的基礎上，進一步深化對二次函數定義的理解，并對這部分內容在數學學科中的地位與價值產生一定的認識.知識、思想方法的總結，可進一步激發學生的學習動機，增強學生的求知欲，讓核心素養落地生根.

教學分析

（一）滲透數學思想方法建構知識架構

學生通過課堂學習所掌握的數學知識，會因為時間的推移而遺忘，但學生在學習知識過程中形成的思想方法，卻會隨著時間的推移越發熟練.因此，教師在課堂中除了要夯實學生的基礎知識與基本技能之外，還要注重基本思想方法與基本學習經驗的積累，此為發展“四基\"的重要途徑.

類比思想屬于常用的數學思想方法之一，很多時候，學生在類比思想的支持下猜想與探索新知，為學習提供明確的方向.事實上，許多數學知識之間有著共通之處，類比法可加強不同知識間的聯系，為知識與方法的正遷移做準備；再如數形結合思想的應用，可將代數與幾何有機地融合在一起，為探索函數相關內容做鋪墊.思想方法的應用可以促使學生將新舊知識相融合，更利于知識的遷移，便于知識框架的構建

本節課，學生就在類比思想的應用下，根據研究一次函數與反比例函數的方法，自主推導出二次函數的研究框架，整個過程由學生主動對比分析，凸顯了新課改背景下“以生為本\"的教育理念，也揭露了數學知識的內在關聯，讓學生對本章節的教學內容形成一個大概的認識，為接下來的教學奠定基礎.再次回到固定周長搭建菜圃的情境，分析拋物線的最高點與正方形之間的對應關系，凸顯了數形結合思想在現實生活情境中的重要價值與意義.

（二）提綱挈領是章起始課教學的主要作用

數學家波利亞曾經說過：若深入到數學的細枝末節，難免會增加思維的負擔，迷失自我.章起始課起到的是統領作用，不需要帶領學生詳細地挖掘知識本質、內涵，僅需帶領學生從知識框架、思想方法、研究路徑等方面進行初步的提煉與分析，讓學生對將要探索的方向、知識要點、目標與能力發展等有一定的認識[2.因此，教師在章起始課教學過程中，應在整體性與結構性原則的基礎上，精心篩選教學內容，讓學生對章節學習做到心中有數.

本節課為章起始課，教學的重點在于幫助學生梳理章節知識結構與思想方法等，切忌出現過于細致的探索，這樣會加重學生學習的負擔.

（三）揭露核心概念為章起始課教學的重點

大部分章起始課會涉及單元核心概念，因此在章起始課教學中需注重概念教學的常見方法.一般情況下，教師會選擇用多個實際問題啟迪學生的思維，讓學生從中提取到不同的函數表達式，再對這些表達式的特征展開分析，總結共同特征.這一方法適用在一次函數的研究中，同樣也適用于二次函數的探索.因此，本節課，教師就類比一次函數與反比例函數的探索方法，通過類似的方法引發學生深入探索，幫助學生建構二次函數相關的學習體系，讓學生對核心概念形成明確的認識，也為后繼二次函數的學習打下基礎.學生從二次函數的概念中，深刻理解到二次函數的本質：描述現實世界中變量關系的一種模型.

總之，關注章起始課的宏觀調控作用，可促使學生主動建構完整的知識框架，為章節教學打下基礎.在章起始課教學中花一些時間打開學生的思維之門，這是新課改背景下數學教學的需要，也是促進學生核心素養發展的需要.

參考文獻：

[1]黃秀旺.學習二次函數應關注的三個方面—蘇科版數學九（下）第五章\"二次函數\"整體解讀[J].初中生世界，2023（47）：39-40.

[2]黃周華.指向核心素養發展的章起始課教學設計與思考—以“分式\"的章起始課教學為例［J].中學數學，2024（10）：116-117.