基于“三會\"能力發展的初中數學教學實踐與思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱\"新課標\"）明確提出要讓學生通過數學學習獲得會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學語言表達現實世界的能力（簡稱\"三會\"在以發展核心素養為導向的當下，“三會\"能力的高低，對學力的發展具有決定性意義.教師在課堂上要以“三會\"為教學目標，引導學生從具體事物中抽象出知識本質，以讓學生真正具備“三會\"能力為此，筆者以“零指數冪與負指數冪”的教學為例，分別從數學眼光、數學思維、數學語言的培養三方面展開教學，為發展學生的\"三會\"能力奠定基礎

促進“三會”發展的教學實踐

（一）培養學生學會用數學的眼光觀察現實世界

數學學科為人們提供了一種認識現實世界的新途徑，即用數學的眼光來客觀分析現實世界中的數量關系或空間形式，并通過數學問題的提出，抽象事物的本質屬性，由此獲得相應的數學概念、結構或關系等.用數學的眼光觀察現實世界，促使學生發現現實世界中存在的數學原理，在探索中發展創新意識.

數學的眼光可以理解為數學抽象，在初中階段表現為抽象能力，即捕捉現實世界中的數學信息，基于數學的視角理解相應的信息，以獲得問題本質的能力.雖然每個人對數學的眼光存在不一樣的理解，但每一種理解都強調了現實世界與數學學科的關聯，可以說數學是人類認識現實世界的一座橋梁[2]

“零指數冪與負指數冪\"屬于正整數冪的推廣，為了讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，教師可以帶領學生以“同底數冪相除\"作為教學的起點.

情境1已知某種液體每毫升中含有 10¹² 個有害菌，實驗發現某種消毒劑1滴能夠滅掉 10⁹ 只細菌，若想要把1升這種液體內的細菌都消滅掉，要用多少滴消毒劑？說明理由.

設計意圖此為現實世界中常見的一個問題，學生并不陌生，但少有學生將這一生活情境與數學知識相關聯.教師將這個生活情境應用到課堂中，意在促使學生學會用數學的眼光觀察現實世界，同時起到回顧同底數冪除法運算的目的，為本節課的教學奠定基礎.

在學生自主完成以上問題之后，教師則帶領學生進入本節課的探索.

師：該情境喚醒了大家對同底數 冪相除運算性質的認識，進一步明 確了 a^m÷aⁿ=a^m-n 0 Δ_m，n 是正整數， mgt;n ， a≠0 ，哪位同學說一說規定 mgt;n ， 的理由？

生1：若 ?_m?n ，可從以下兩種情況分類討論： ① 如果 m=n ，則有 a^m-n=a⁰ ② 如果 mm-n 的指數為負，例如m=3，n=4 ，則有 a^m-n=a^3-4=a^-1 ，顯然這種情況并不合理.

師：為什么 a^m-1 的指數為負不合理呢？

生2：從 aⁿ 的意義出發， aⁿ 是指 ξ_n 個 相乘，而 ^?-1 個 χ_a 或 個 相乘的情況并沒有實際意義，因此不合理

師：不錯！接下來，我們一起分析在 m?n 的條件下， a^m÷aⁿ 是否具有運算的可能呢？以 2³÷2⁴ 與 2³÷2³ 為例.

生：這兩個式子可以運算，結論分別為 與1.

師：通過以上探索發現，解決與同底數冪相關的除法運算在 m?n 的情況下的問題，我們可將這一類問題提煉為解決 ^s0 個或-1個 a 相乘沒有意義”的問題.

設計意圖新課標將“用數學的眼光觀察現實世界”中的“世界”二字定位為學生發現或提出問題的背景，即問題的來源.簡而言之就是獲得用數學的眼光觀察自然或社會中數學規律或關系結構等.此環節，在教師的引導下，學生著重探索了同底數冪相除所具備的運算性質，尤其對 的情況展開了具體分析，培養了學生用數學的眼光觀察現實世界的能力.

新的結論，形成相應的邏輯系統.史寧中教授認為一個人的數學思維能力重點反映在他的邏輯推理上，在初中階段表現為推理能力.引導學生學會用數學的思維思考現實世界，是培養學生數學推理能力的過程，推理能力的發展為核心素養的落地奠定基礎.本節課，為了讓學生獲得解決問題的能力，需引導學生回歸到知識原點，學會用數學的思維來分析與思考問題

（二）培養學生學會用數學的思維思考現實世界

情境2如果一個細胞第一次分裂，形成2個細胞；第二次分裂，形成22個細胞；第三次分裂，形成23個細胞，以此類推.

師：那么這一類細胞不分裂，即分裂的次數為0，其數量是幾個？

生：是1個，那就是說 2%=1

新課標認為數學學科為人類提供了一種分析現實世界的方式.數學思維是一種建立在數學對象與現實世界間的邏輯，它能有效揭示客觀事物的本質.同時，借助數學思維還能根據已有的原理或事實推導出.

師：不錯，推廣乘方的定義，發現2°具備了現實意義，那么同底數冪除法運算的法則處于 m=n 的條件下是成立的.那么， 2^-1 有意義嗎？

在這個問題的引導下，學生將思維投射到數軸上進行分析，即在數軸上逐個標注出 2⁴，2³，2²，2¹，2⁰ 所處的位置.通過對各個點之間位置關系進行探索，獲得新的發現：如圖1，表示 2ⁿ⁺¹ 的點與原點的中點，即為表示2的點.

師：從點的位置關系規律趨勢來看，若2-存在現實意義，那么它所對應的點位于哪兒？與之對應的實數又是誰呢？

師：以上猜想而來的結論滿足該特性嗎？

生：滿足.

師：基于以上探索，根據你們現有的認知經驗，大家覺得 2^-n （n為正整數）的值是多少？

設計意圖循循善誘的引導，成功激活了學生的思維，讓學生對本節課的教學內容有了更加深刻的理解，尤其是數軸的應用，讓學生從直觀中發現點的位置特點，實現了深度學習，有效發展了學生的幾何直觀、空間觀念等數學核心素養.由此可以看出，用數學的思維思考現實世界，可給課堂增添更多的活力.

（三）培養學生學會用數學的語言表達現實世界

用數學的語言精準描述現實世界中的數量關系或空間形式，可將生活實際與數學模型建立聯系，讓學生學會用確切的數據來描述相應的數學事物，為形成合理的決策奠定基礎.正如史寧中教授所認為的：數學語言就是典型的數學抽象，或者說數學語言就是人類交換數學思想的基本方法，如圖形、符號或圖象等，都屬于數學語言的范疇.

林崇德認為數學語言對學生思維品質的發展具有重要影響，良好的數學語言可有效推動學生思維的深刻性、廣闊性與批判性的發展，尤其對學生自我監控水平有促進作用.因此，教師在課堂上要注重對學生數學語言的培養，讓學生獲得熟練運用數學語言表達現實世界的能力.然而，當下有不少學生雖然具備一定的解題能力，但缺乏良好的數學語言表達能力，無法將自己在解題過程中遇到的困難描述清楚.為此，在課堂中加強對學生數學語言的訓練，是提升學生“三會\"能力的重要途徑.

生：與之對應的實數是

師：確實為 ，請大家用數學的語言對這一現象進行描述

學生沉默，教師加以點撥：結合正整數指數冪的概念，在明確 2ⁿ=x 的條件下， 2ⁿ⁺¹ 的值是多少？

生：應該是 2x 業

師：如何用數學語言來定義2^°，2^-1 與 2^-n（n 為正整數）.

學生自主描述，提出用 來描述，教師又鼓勵學生說一說 a^-n（a≠0） 的情況，學生給出的結論為a=1.教師將學生的描述進行板書，并強調 a^m÷aⁿ=a^m-n（a≠0，m，n 為正整數）是成立的.基于此，教師引導學生表述a^m×aⁿ=a^m+n（a≠0，m，n 為正整數）成不成立？并說一說同底數冪的乘除法運算之間是否存在一定的關聯.

在教師的引導下，學生思考并描述，整個教學過程自然且流暢.學生表達的過程就是暴露思維的過程，學生在豐富的表達中提升了對教學內容的理解，獲得了用數學的語言表達現實世界的能力.

設計意圖引導學生學會用準確、簡單、規范的語言表達數學對象，不僅能有效提高學生思維的邏輯性，還能鍛煉學生的口頭表達能力，讓學生準確表達自己的想法，這對提高師生的溝通成效具有重要意義.

思考與感悟

（一）“三會\"能力培養的困境與對策

1.用數學的眼光觀察現實世界

關于用數學的眼光觀察現實世界能力的培養，存在的困難在于：學生受思維定式的影響，認為數學是數學，生活是生活，這是兩個獨立的體系，因此習慣性地用割裂的眼光看待現實世界與數學學科.這就導致學生無法靈活用數學知識來分析與解決生活中的一些問題.想要解決這一現狀，可創設貼合教學內容的生活情境，幫助學生建立生活實際與數學之間的聯系，讓學生學會觀察現實生活，從中發現并提出數學問題，為分析與解決問題奠定基礎.如本節課，就結合教學內容特點創設了與“溶液中有害菌數量\"的生活情境引發學生的思考，幫助學生關聯情境與數學知識，使得學生自然而然地從生活實際中提取出數學問題.

2.用數學的思維思考現實世界

關于用數學的思維思考現實世界，存在的問題在于：學生的思維跳躍性比較大，有時無法把握數學問題或算理等，出現天馬行空的想象，導致思考方向出現偏差.想要改變這一現狀，最好的辦法就是引導學生親歷數學知識的形成與發展過程，讓學生在數學探究活動中提升理解能力，以獲得良好的數學抽象概括、運算推理等能力；也可以結合學生的思維特點應用具體形象的知識來提高學生的邏輯理解能力，讓學生獲得用數學的思維思考現實世界的能力.如本節課，教師就用細胞分裂與數軸啟迪學生的思維，讓學生有明確的思考方向，增加學生對知識的理解程度.

3.用數學的語言表達現實世界

雖然大部分學生都擁有良好的語言表達能力，但在遇到抽象的數學知識時，不少學生在語言表達上總是難以到位，不會應用精練的數學語言來描述現實世界中所蘊含的數學知識.想要提高學生的數學表達能力，可根據學生語言發展特點在日常教學中為學生的語言搭建支架，即讓學生從低年級開始就逐步應用數學語言來描述現實世界中的數學內容，如借助小組討論的方式逐步完善學生的語言體系，同時也可通過循循善誘的引導或數學閱讀提高學生的語言表達能力.如本節課，教師就用問題引領的方式逐層遞進地引導學生進行規范表達，進一步提升學生的語言表達能力.

（二）親歷探究過程是發展\"三會”能力的根本

本節課，以學生已有的認知經驗作為教學起點，引導學生從現實生活中發現并提出問題，使得學生學會用數學的眼光觀察現實世界.

這種教學方式與數學家探索數學問題的方法高度相似.學生因為親歷問題的發現與探究過程，因此取得了良好的教學成效.其中，同底數冪的除法運算涉及 m.

新課改背景下的數學教學更關注學生的“學”，而學生的“學”主要體現在課堂參與度上.教師通過適當的引導，為學生的思維搭建“腳手架”，是提升學生課堂參與性的基礎，本節課，教師用“細胞分裂\"問題成功吸引了學生的注意，學生在好奇心的驅使下主動參與數學推理，并自主為數學知識“下定義”，讓學生掌握了知識本質；同時，數軸的應用，讓學生對2-的位置有了初步猜想，由此逐步對負指數冪的意義有了明確認識.其中，將2\"與 2ⁿ⁺¹ 的關系作為推廣的依據，有效推動了學生數學邏輯思維的發展；關于 a⁰，a^-n 的建構過程，培養學生用數學的語言表達問題的能力.因此，學生在課堂中積極參與探究過程是發展“三會”能力的核心，對推動核心素養的發展具有重要價值.

參考文獻：

[1]郭思瑩，劉冠男，張春莉.“三會\"的理解及培養建議—《義務教育數學課程標準（2022年版）》核心素養解析[J].教育視界，2022（17）：10-13.

[2]鄭金賓.“三會\"喚醒學生的數學意識[J].天津教育，2020（4）：52-53.