單元整體視域下的初中數學復習教學研究

基于單元整體視域設計初中數學復習教學，需教師學會用結構化的思維探尋知識間的縱橫聯系，追溯知識本源，通過一定的教學方法鞏固學生的基礎知識，為學生的深度學習做鋪墊.然而，當下仍有部分教師在復習教學中依然延續“知識點一例題一練習\"的老套路.但單元整體視域下的復習教學講究的是“融通”與“創新”，即根據學情設計豐富的問題情境，帶領學生在回顧舊知的基礎上建構完整的知識體系，實現知識的融會貫通，為學生提煉數學思想方法與積累活動經驗創造條件，也為學生發展創新意識奠定基礎本文以“解直角三角形\"的單元教學為例，談談如何開展單元整體視域下的初中數學復習教學.

教學分析

1.教學內容分析

在\"解直角三角形\"的單元復習教學中，教師要引導學生關注知識的結構化，讓學生進一步整合各個知識點，通過建構知識網絡圖實現思維的進階，促進學生學力的生長.本單元主要由銳角三角函數、特殊角的三角函數及解直角三角形等內容構成，這些也均屬于三角形章節的內容.教學時，以“三角形唯一確定”為抓手，引導學生從知識的生長點出發，結合相似三角形與勾股定理等知識，讓學生切身體會數學知識\"生長\"的力量.

2.學情分析

本節課的授課對象為基礎較為扎實的學生.整體而言，學生對問題的思考較為深入，求知欲強，思維靈活，具有良好的學習習慣.鑒于學生認知水平較高，因此本節課的教學目標是要求學生在掌握\"四基\"的基礎上，能主動發現、提出、分析與解決問題，并通過主動銜接高中知識，提煉數學思想方法，實現知識的融通與思維的創新.

教學過程設計

1.知識本源的探索

問題1如圖1，已知 ΔABC 中的AB=3 ∠B=40^° ∠C=75^°.

師：此為一個唯一確定的三角形嗎？說明理由.

生1：是的，已知 ∠B 與 ∠C ，根據三角形內角和為 180^° 可得到 ∠A 的大小，再根據全等三角形判定中的AAS可明確這是一個唯一確定的三角形.

師：關于全等三角形的判定，具體有哪些方法？

生2：有\"SSS\"\"ASA\"SAS\"\"AAS\".

師：看來大家的基礎不錯，現在已經確定了該三角形具有唯一性，那么怎樣能獲得該三角形的 4C 值呢？

生3：可以過點A作A D 與BC垂直（圖1），點 D 為垂足，那么 AD 的值為3sin40°，由此可解得AC=3sin40sin75°

師：很好！還有其他方法嗎？

生4：還可以過點 B 作三角形 AC 邊上的高EB（圖1），在此基礎上分別求出 AE，CE ，那么 _AC 的值也可求得.

師：以上兩種解題方法呈現的結論在形式上雖然有所區別，但它們的本質并沒有區別.

設計意圖引導學生思考滿足一定條件的三角形所具備的唯一性，成功喚醒了學生判斷三角形全等的方法，當明確了三角形具有唯一確定性特征后，那么該三角形未知的邊和角該怎樣獲得呢？此為定性到定量的思考過程，需要學生及時轉換思維，通過構造直角三角形，從三角函數的邊角關系中獲得結論.如此設計，不僅揭露了知識的本源，還促進了知識間的關聯，讓學生的思維自然生長.

2.核心解法的探索

問題2如圖2，在等腰三角形ABC中，已知 BC=10，AB=AC=13，sinB， cosB ，tanB的值分別是多少？

生5：過點 A 作 AD⊥BC ，垂足為 D （圖2），可得 AD=12，BD=5 因此

師： sin∠CAB 的值是多少？

生6：關于 sin∠CAB 的值，需構造一個 ∠CAB 所在的直角三角形，過點 B 作 BE 與 _AC 垂直（圖2），只要探尋出BE的值，問題則迎刃而解

師：構思很巧妙，那么 BE 的值該怎樣獲得呢？

生7：可借助面積法來獲得，S△ABCc= ，也就是 ，那么

師：不錯，那么 sin∠CAB 的值又是多少呢？

生

生9：還可借助勾股定理進行分析，通過建構方程解題.假設 AE=x ，CE=13-x ，那么 BE²=13²-x²=10². -（13-x）² ，經解，有 因此

師：想法不錯，還有不一樣的方法嗎？

生10：還可以借助相似三角形解決問題，根據題設條件可知 ΔBEC^～ΔADC ，那么 解得

則si （4號

生11：還可以利用銳角三角函數解題，根據 有 BE= 因此

設計意圖以典型例題作為教學的切入口，通過追問的方式發散學生的思維，讓學生在一題多解中感知何為三角函數，體會三角函數與相似三角形、勾股定理等知識的內在聯系.

3.知識生長點的探索

問題3如圖3，已知 _?o 為四邊形ACBD的外接圓， _?o 的直徑 AB=1 ，∠BAD=α ， ∠CAB=β ，且 α+βlt;90^° （1）如何借助 α，β 來描述 BC 與BD的長度？（2）怎樣用與 α，β 有關的三角函數來表示CD的長度？

生12：關于第一問，考慮到AB為?o 的直徑，可確定 ∠BDA=90^° ，根據 _4B=1 ，有 BD=sinα ；與之類似，可知BC=sinβ.

對于怎樣用與 α，β 有關的三角函數來表示 CD 的長度，學生都感到很棘手．為此，教師鼓勵學生以小組合作學習的方式進行交流，希望通過集體的智慧獲得解決問題的辦法.終于功夫不負有心人，在教師的點撥與學生的互相協作下，學生共同探討出如下兩種解題路徑

路徑1過點 D 作圓的直徑 DE ，將CE連接起來（圖3），則有 ∠CED=α+ β，∠ECD=90^° ，那么CD的值為sin （α+β）

路徑2過點 B 作BF垂直于 CD，F 為垂足（圖3），根據 ∠FCB=α 與∠BDF=β ，可確定 FC=BC?cosα= sinβ?cosα，FD=BD?cosβ=sinα?cosβ. 因此 CD 的值為sina·cosβ+cosa·sinβ.

師：非常好！通過以上兩種解題思路的探索，可總結出什么結論？

生13：可確定 sin（α+β）=sinα ·cosβ+cosa·sinβ.

師：很好！據此可否確定 sin（α+ β） 與sinα+sinβ之間的大小關系？

生14：根據 DB+CBgt;CD ，不難理解 sin（α+β）

生15：還可以借助 sin（α+β）= sinacosβ+cosasinβ，與cosa， cosβ 均小于1的條件，明確sin （α+β）

設計意圖在問題的導向下，學生從圖形著手，結合三角函數研究各條線段的長度，有效復習與鞏固直角三角形相關的知識．其中，第二問意在引導學生綜合應用已有的知識從不同維度探索同一條線段的問題，并在數形結合思想的輔助下，獲得三角函數兩角和的正弦公式.雖然此內容為高中知識，但在本節課的復習教學中適當滲透，能深化學生的思維．從這一點來看，數學是一門知識具有連續性的學科，并非高不可攀．只要順應學生知識生長的規律去探索與思考，自然就會深入理解數學本質，這也體現出數學學科頑強的生命力.

4.課堂總結提煉

要求學生對本節課的整個教學流程進行回顧、反思，并在過程性評價的基礎上，分別從基礎知識、數學思想、學習方法、學習能力等方面進行總結.筆者建議應用簡潔易懂的結構圖對每一項內容進行提煉、歸納.

如圖4，此為學生根據本節課教學過程及涉及的知識點、思想方法等梳理的結構圖.通過圖示，可見學生已經掌握了“解直角三角形\"的單元內容，獲得了“四基與四能”，為核心素養的發展夯牢了根基.

設計意圖核心素養背景下的數學教學關注過程性教學，基于單元整體的視角在課堂尾聲引導學生自主總結、提煉本節課所學內容，不僅能將知識脈絡梳理清楚，還能有效增強學生的反思能力，讓學生學會從宏觀的視角審視自身的學習過程，為深度學習創造條件，也有效發展了自身的數學能力與數學品質.

教學思考

1.關注教學框架的設計單元整體視域下的復習教學與新知教學最大的區別在于教學的關注點不一樣，新知教學一般將目光鎖定在新課講授上，即使關注到單元整體的重要性，但教學重點依然放在新知的建構上；而復習教學，則是基于學生已有認知經驗帶領學生站在宏觀的角度促進知識的融通與創新的教學，通過復習獲得完整的知識體系與舉一反三的解題能力.因此，教師確定好復習主題時，就要有突破教材的勇氣，尋找與復習主題相關的知識，為構建學生完整的知識結構網奠定基礎.

本節課，教師以“三角形的唯一確定性”為思維的起點，不僅加深了學生對三角形有關內容的理解，還根據學情特點滲透了高中階段才會涉及的三角函數相關知識，讓學生從一個系統化的角度認識三角形相關內容，為構建學生完整的知識體系奠定基礎.

2.注重教學過程的實施

復習教學的目的在于促進學生的長期可持續發展，而非單純鞏固舊知那么簡單.因此教師在設計復習教學活動時，要基于單元整體視域分析教情與學情，盡可能幫助學生在深層次思維下促進自身學力的發展.那么，究竟該如何緊扣復習框架設計層次清晰、思維容量充足的復習活動呢？此為教師需要思考的問題，也是復習教學的重點.

縱觀本節課的教學流程，當面臨實際問題時，學生積極思考，從多視角觀察與思考，在轉化與化歸、數形結合、方程與函數等思想的幫助下發散思維，獲得了多種解題路徑．這種關注學生思維生長的教學模式，成功豐富了學生的認知，不僅幫助學生鞏固了舊知，還發展了思維，對未來將要學習的內容有了初步認識，真正意義上實現了深度學習.

3.探尋知識生長點

“生長”一詞應用在數學教學中，有知識的生長、思維的生長等.其實，從教育的本質來說，數學教育就是為了通過課堂教學實現學生的長期可持續發展．從單元整體視域設計復習教學活動，除了引導學生對基礎知識進行查漏補缺之外，更重要的是幫助學生在二次接觸數學知識的過程中再次親歷探索過程，獲得新的發現，實現新舊知識的融通.

本節課探索的主題雖然為“解直角三角形”，但課堂上涉及的內容異常廣泛，與教學主題相關的知識點基本都有體現.如課堂伊始的三角形唯一確定到全等關系的判定，將未知邊角問題轉化為與直角三角形相關的問題和經典的一題多解等，豐富的知識為學生的思維播下了“生長”的種子.學生通過對不同問題的思考與探索，逐步完善認知，促進了自身學力的發展.

總之，整體教學法倡導利用整體思維去理解學科內容，揭示知識之間的聯系，幫助學生充分理解整體知識結構[2．尤其在以核心素養為導向的教學中，教師更應關注知識間的聯系，基于結構化的視角去設計教學活動.

參考文獻：

[1]童官豐.探本源固方法尋\"生長”—整體視角下單元復習課的設計與反思[J].初中數學教與學，2021（15）：1-3+33

[2]程龍軍，劉樹龍.基于問題構建三維一體的單元整體復習［J].中學數學教學參考，2022（14）：31-33.